5

значимости (о вероятности при высказывании гипотезы отвергнуть верное предположение).

Из этих определений и примеров следует, что нужно знать немного о простейших комбинаторных ситуациях.

Пусть задано некоторое множество из n элементов. (Например, предложено мебель расставлять только вдоль стенок, не вынося на середину ). Тогда элементы в множестве могут менять места. В этом случае говорят о перестановках. Число таких перестановок вычисляем по формуле Pn=n! (не путать с вероятностью Р(А)!).

Если в множестве из n элементов выбрать некоторое подмножество в составе m элементов, то получим сочетание из n элементов по m элементов.Число таких сочетаний вычисляют по формуле

Если в полученном сочетании произвести перестановки, то получим

размещение из n элементов по m элементов. Число таких размещений вычисляют по формуле Anm=n(n-1)(n-2)…(n- (m-1)).

Число произвольных наборов из n объектов по m объектов равно nm . Например, из нечетных цифр можно составить 55 пятизначных номеров. Из всех арабских десятичных чисел можно составить 105 номеров.

Имеем n объектов, из которых m объектов помечено (и. следовательно, n-m непомечено). Выбираем k<m объектов. Тогда:

-если требуется, чтобы k объектов имелось в наличии l помеченых, то всего таких комбинаций будет Сnm; нужных комбинаций будет Сkl Сn-kk-1;

-если требуется, чтобы среди k объектов были все помечены, то таких комбинаций будет Сnk; если требуется, чтобы помечен был хотя бы один, то последние нужно суммировать. По этой схеме делят колоду карт на две части с условием попадания в каждую половину двух тузов.

19.3.Основные вероятностные схемы (теоремы)

Познакомимся с основными приемами рассуждений при решении вероятностных задач.

19.3.1.Теорема сложения Теорема сложения вероятностей несовместных (несовместимых)

событий. Если события А и В несовмесны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Док. Проведем только для счетного Ω. Пусть n общее число элементарных событий в Ω. Пусть m1 элементарных событий составляют событие А; пусть m2 элементарных событий составляют событие В. Тогда ввиду их несовместности событие А+В составляют m1+ m2 элементарных событий. Так как подсчитывать ничего не нужно, то находим интересующую нас вероятность Р(А+В) по классическому определению. Получаем

записано Р(А)+Р(В). Что и требуется.

5

6

Следствие 1. Если Аi i=1,…,n составляют полную группу несовместных

Следствие 2. Если А и В образуют полную группу несовместных

событий, то их называют противоположными, обозначют А и A (последнее

_

читают не-А). Поэтому Р(А+ A )=1. Или иначе Р(А)=1-Р( А). Используют условные краткие обозначения : Р(А)=p , Р( A )=q.

19.3.2. Теоремы умножения и условная вероятность Теорема умножения независимых событий. Если А и В независимы, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В). Док. Пусть n общее число элементарных событий для А (когда А есть или его нету). Пусть m общее число элементарных событий для В (когда В есть или его нету). Пусть m1 число элементарных событий , составляющих А. Пусть m2 число элементарных событий , составляющих В. Из независимости А и В следует . что mn - число элементарных событий , когда А и В появляются или не появляются вместе и m1m2 – число элементарных событий , когда А и В появляются вместе. По классическому определению

получаем Р(АВ)= mmn1m2 . Преобразуем полученное mmn1m2 = mn1 mm2 =Р(А)Р(В). Следствие 1. . Если Аi i=1,…,n независимы,

то Р(хотя бы одного из Аi)=1- q1 q2 q3 … qn.

Док. Два события : “ни одного Аi ” и “хотя бы одно Аi ” – противоположны. И потому Р(хотя бы одно Аi)=1-Р(ни одного Аi). Но Р(ни

_ _ _ _

одного Аi) по независимости Аi равна Р( А1)Р( А2)Р( А3)…Р( Аn). Откуда и следует вывод следствия.

Следствие 2. Если Аi равновероятны, то Р(хотя бы одно Аi)=1-qn. Что следует из предыдущего.

Теорема умножения зависимых событий. Если А и В зависимы, то

Р(АВ)=Р(А)РА(В).

Комментарий. РА(В) читается так : вероятность появления В, если А произошло и называют условная вероятность того, что В произошло, если А произошло.

Док. Пусть n общее число элементарных событий для А (когда А есть или его нету); n1 (n1 ≤ n) – число элементарных событий ,составляющих А; m - число элементарных событий среди n1, составляющих В. Тогда получается, что m -число элементарных событий, когда появляются А и В вместе. По

классическому определению пролучаем Р(АВ)= m = m1m = Р(А)РА(В). n m1n

Следствие. “Симметрия” вероятности. Р(АВ)=Р(В)РВ(А).

Теорема сложения случайных событий. Для случайных А и В справедливо равенство Р(А+В)=Р(В)+Р(А)- Р(АВ).

6

7

Комментарий. Следует быть внимательным к данной теореме и самой первой (там – несоместные события; здесь любые по умолчанию).

несоместных событий (ввиду противоположности некоторых из них). По

19.3.3. Полная вероятность и формула Бейеса

Теорема. Пусть А происходит только вместе с одним из событий Нi (гипотез) i=1,2,…,n , образующих полную группу несовместных событий; известны вероятности Р(Нi) гипотез; известны условные вероятности РНi(А) .

n

Тогда справедливо соотношение Р(А)= ∑ Р(Нi) РНi(А), называемое формулой

i=1

полной вероятности.

Комментарий. Не следует думать, что условие теоремы гипотетическое. Эти условия, что ни на есть реальные. По ним рассчитывают вероятность брака (или гарантии выпуска стандартной продукции) при работе разнородного оборудования. А это уже чистая экономика (расходы на гарантийный ремонт).

Док. По условию теоремы имеем Р(А)=Р(Н1А+ Н2А+ Н3А+…+ НnА). Справа записана вероятность суммы несовместных событий (из-за

несовместности гипотез). И потому можно применить теорему о сумме несовместных событий. Получаем Р(А)=Р(Н1А)+Р(Н2А)+…+Р(НnА). Каждое слагаемое справа можно вычислить по теореме о произведении событий. Получаем Р(А)=Р(Н1) РН1(А)+Р(Н2) РН2(А)+…+Р(Нn) РНn(А). Ч.т.д.

Теорема. (формула Бейеса, формула переоценки гипотез). Если при выполнении требований предыдущей теоремы после проведения испытания

событие А появилось, то справедливо соотношение РА(Нi) = nР(Hi )PHi (A) .

∑Р(Hi )PHi (A)

i=1

Комментарий. Кажущаяся на первый взгляд еще более гипотетической эта теорема является еще более практической. По этой формуле всегда можно

7

8

установить, какое оборудование для массового производства требует срочной переналадки (кто из работников допускает брак), если обнаружен нестандарт.

Док. Используем “симметрию” формулы из теоремы умножения случайных событий Р(НiА)=Р(Нi)РНi(А)=Р(А)РА(Нi). Из этого равенства выпишем его правую часть и решим относительно величины РА(Нi) . Затем заменим Р(А) по формуле полной вероятности из предыдущей теоремы. Получим требуемое – формулу Бейеса.

Пример 19.5. Клеммы штампуют 3 автомата разного класса. Производительность 1-го автомата 50% всей плановой продукции; производительность 2-го автомата 30% плановой продукции; остальное дает 3- й автомат. Изготовитель автоматов гарантирует для автоматов разного класса после их настройки не более 1% брака для автомата 1-го класса и соответственно 2% и 3% брака для автоматов 2-го и 3-го классов. По окончании смены контролер взял для контроля произвольную клемму и обнаружил брак. Выяснить, какой из автоматов требует (или никакой не требует) наладки?

Решение. Т.к. кроме данного оборудования клеммы никто не штампует, то можно сыормулировать три предположения (гипотезы) : Н1 – взятая клемма выпущена 1-м автоматом; Н2 – взятая клемма выпущена 2-м автоматом; Н3 – взятая клемма выпущена 3-м автоматом. Эти гипотезы образуют полную группу несовместных событий (то, что выпущено одним автоматом, не могло быть выпущено иным, а других автоматов нет) . По производительности автоматов можно вычислить вероятности этих гипотез : Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3 ; Р(Н3)=0,2. (для контроля : сумма вероятностей равна 1). По гарантиям изготовителя имеем вероятности выпуска брака (событие А) каждым из автоматов: РН1(А)=0,01; РН2(А)=0,02; РН3(А)=0,03. Вся схема соответствует формуле переоценки гипотез. И можно вычислять величины РА(Н1), РА(Н2), РА(Н3) и сравнивать их с величинами Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3 ; Р(Н3)=0,2 – безусловными (a priori). Сначала вычислим полную вероятность Р(А)=0,5*0,01+0,3*0,02+0,2*0,03=0,17. Затем вычислим по Бейесу РА(Н1)=

наиболее вероятно, что необходима настройка 3-го автомата, т.к. вероятность выпуска клеммы им после опыта (контроля) на брак существенно увеличилась

– от 0,2 до 0,35 – почти в 2 раза. В то время как для 2-го автомата увеличение не столь значительно (обнако тоже имеется). В наилучшей ситуации дело обстоит с 1-м автоматом.

19.3.4.Схема повторных независимых испытаний

Пусть имеется некоторый комплекс условий S. пусть мы интересуемся событием А. Воспроизведем S достаточное число раз n , не изменяя S. Тогда вправе сказать , что исход испытания не влияет на появление А в следующем испытании. Пусть известно а priori (до опыта), что вероятность P(A)=p=const. Тогда говорят о серии независимых испытаний (опытов).

8