3 Обратная матрица. Ранг матрицы

18

полнение к элементу aij матрицы A.

Пусть А – некоторая матрица, не обязательно квадратная. Выделим в ней k строк и k столбцов. Элементы, расположенные на пересечениях выделенных строк и столбцов, образуют определитель k-гo порядка, который называется минором k-огo порядка матрицы А и обозначается M k .

Рангом rangA r A матрицы A называется наивысший порядок

минора, отличного от нуля. Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

–перестановка строк и столбцов;

–умножение строк и столбцов на число, отличное от 0;

–прибавление к какой-либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Свойства ранга матрицы:

ранг матрицы не превосходит ни количества ее строк, ни количества столбцов.

при транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

если rangA 0 , то A– нулевая матрица.

если у матрицы вычеркнуть столбец или строку, целиком состоящую из нулей, то ее ранг при этом не изменится.

если у матрицы вычеркнуть один из двух пропорциональных столбцов (строк), то ее ранг при этом не изменится.

Для нахождения ранга матрицы используют два метода:

метод окаймляющих миноров;

метод элементарных преобразований.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

ваний над строками преобразуем последнюю матрицу так, чтобы слева была единичная матрица, тогда справа будет обратная матрица, т. е.

A E ~ E A 1 .

19

3.2 Примеры решения задач

3.2.1 Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы и

1 Метод присоединенной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения данной матрицы:

Обратная матрица имеет вид:

2 Метод Гаусса.

3.2.2 Найти ранг матрицы А методом окаймляющих миноров:

Решение

Выбираем любой ненулевой элемент матрицы: a11 2 M1 0 . Окаймляем его, получаем минор второго порядка: