1.Сущность уравнивания геоде- зических измерений по методу наименьших квадратов.
2.Понятие о коррелатном способе уравнивания.
3.Понятие о параметрическом способе уравнивания.
3. Сущность уравнивания геодезических измерений по методу наименьших квадратов.
Избыточные измерения приводят к многозначности решений. Если для вычисления одной и той же величины использовать разные измеренные величины, то ввиду погрешностей измерений получим разные результаты.
Чтобы ликвидировать многозначность решений и привести результаты измерений в соответствие с теорией в измеренные величины вводятся
поправки. Исправление измеренных величин называется уравниванием.
Задача уравнивания заключается в том, чтобы, используя все измерения, получить однозначно наиболее надежное значение всех неизвестных величин и оценить их точность.
В общем виде уравненное значение измеренных величин получают по формуле
xi=li+vi, (1)
где li – результат измерения; vi – поправка.
При отсутствии систематических ошибок наиболее точные результаты
достигаются при уравнивании по
методу наименьших квадратов.
Если измерения равноточные, то поправки находятся под условием
[v2] = min, (2)
если измерения неравноточные, то под условием
[p v2] = min. (3)
Метод наименьших квадратов дает однозначное решение при нахождении поправок.
Наличие вторых степеней vi
ограничивает крупные поправки, поэтому при равноточных измерениях поправки распределяются более или менее равномерно.
При неравноточных измерениях веса pi при vi уменьшают поправки к более
точным измерениям и увеличивают к менее точным.
Совместное уравнивание измерений нескольких величин по методу наименьших квадратов является задачей на условный экстремум. Для ее решения применяют два основных способа:
•Способ Лагранжа с неопределенными множителями (коррелатный способ).
•Способ абсолютного экстремума (параметрический способ).
4. Понятие о коррелатном способе
уравнивания.
Пусть измерено n величин, истинное значение которых Х1, Х2, …, Хn. Обозначим
результаты измерений через l1, l2, …, ln. Если в
числе измерений имеется r избыточных, то искомые неизвестные будут связаны r независимыми условиями
1 |
(x1, x2 ,..., xn ) 0 |
|
|||
.............. |
|
|
(4) |
||
|
|
||||
|
r |
(x , x ,..., x |
) 0 |
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
Здесь x1, x2, …, xn уравненные
значения измеренных величин. Выражения (4) называются
условными уравнениями. Они могут быть в линейном и нелинейном виде.
Для приведения их к линейному виду необходимо заменить уравненные значения измеренными с поправками согласно (1), т.е. xi=li+vi и
В результате получим условные уравне- ния поправок в следующем линейном виде
a1v1 a2v2 ... anvn w1 |
0 |
|
|
|||||||||
b v b v |
2 |
... b v |
n |
w |
0 |
|
|
|
||||
1 1 |
2 |
|
n |
|
|
2 |
|
|
, |
|
||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r v r v |
2 |
... r v |
n |
w |
0 |
|
|
|
||||
1 1 |
2 |
n |
|
r |
|
|
|
|
|
|||
где a, b , … r – частные производные; w – свободные члены (невязки).