Даны координаты пунктов А, B, C. Измерены углы β1, β2. Требуется
определить координаты точки P (X, Y).
B
a 
b
A f |
y |
C |
|
||
b 1 |
b 2 |
|
P
В начале решением обратных геодезических задач определим дирекционные углы и длины исходных
линий: |
YB YA |
|
|
|
|
|
YB YC |
||||||
(AB) arctg |
; (CB) arctg |
||||||||||||
X B X A |
X B XC |
||||||||||||
|
YB YA |
|
XB XA |
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
(X |
B |
X |
)2 (Y Y )2 , |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
sin(AB) cos(AB) |
|
|
A |
|
B A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b YB YC XB XC (XB XC )2 (YB YC )2 . sin(CB) cos(CB)
Далее задача сводится к определению углов φ и ψ.
Определим полусумму углов φ и ψ, которую обозначим как А
12( ) 12[3600 1 2 (CB) (AB)] A
Определим полуразность этих углов, которую обозначим через В
12 ( ) B.
Определим диаметры описанных окруж- ностей около треугольников ABP и BCP:
Д1 |
a |
, Д2 |
b |
. |
|
|
|
||||
sin |
|||||
|
|
sin 2 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
Выразим сторону ВР через Д1, Д2 и углы
φ и ψ.BP Д1 sin , |
BP Д2 sin . |
Откуд |
|
а
Д1 sin Д2 sin .
Разделив две части этого равенства на
Д1sin ψ, получим |
. |
|
|
|
|
|
Д2 |
sin |
|
Д1 |
sin |
Образуем пропорцию и введем обозначение N:
Д2 Д1 |
sin sin |
N. |
|
Д2 Д1 |
|||
sin sin |
|
С учетом формул для определения Д1 и Д2
|
b |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
sin |
|
sin |
|
sin |
||||||
sin |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
С учетом тригонометрических формул
sin sin |
|
2cos sin |
|
|
||
|
|
2 |
|
2 |
ctgAtgB N. |
|
sin sin |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
2sin |
2 |
cos 2 |
|
|
Отсюда
B . arctg (NtgA)
Вычислив значения А и В, определим
углы φ и ψ
φ = А+ В, ψ = А – В.
Далее определим длину линии АР
a
AP sin 1 sin( 1)
Координаты точки Р:
XP X A AP,cos[(AB) ],
YP YA APsin[(AB) ].
Для контроля координат точки Р можно вычислить второй раз, используя формулы
CP sinb 2 sin( 2 )
X P XC CP cos[(CB) ],
YP YC CP sin[(CB) ].
Среднюю квадратическую ошибку в положении пункта Р, определенного обратной засечкой, можно вычислить по формуле
M |
m asin |
sin( 1) 2 |
|
sin( 2) 2 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin sin2A |
sin |
sin |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
где mβ – СКО измерения углов β1 и β2.
Рассмотренная обратная засечка по трем исходным пунктам называется однократной. В таком виде она, как правило, не допускается, т.к. не контролируется правильность измерения углов и выписка исходных данных.
Для полного контроля наблюдается не 3, а |
|
|
минимум 4 пункта. |
B |
C |
|
||
A
b |
1 |
b 2 |
b 3 |
D |
|
|
P