11. 2. Производственная функция

Производственная функция – это зависимость объема производства товара от объема использования производственных ресурсов:

Q = f (x₁, …, x_n), (11.1)

где Q – объем производства продукции;

x₁, …, x_n – объемы использования производственных ресурсов по видам.

Обычно при построении производственной функции экономические ресурсы делят на труд (L) и капитал (К), иногда также выделяют природные ресурсы R. Тогда производственная функция принимает соответственно вид: Q = f (L, K), или Q = f (L, K, R).

На рис. 11.1-а представлен условный график зависимости объема производства зерна с единицы площади (урожайности) от объема внесения удобрений.

В приведенном примере график производственной функции не выходит из начала координат, так как определенную урожайность можно получать и без применения удобрений. Иногда такая зависимость актуальна, но в большинстве случаев – нет (так, когда объем использования труда или капитала равен нулю, то и объем производства, скорее всего, будет равен нулю).

С увеличением дозы внесения удобрений урожайность также растет, но не пропорционально, а замедляющимися темпами, что объясняется действием закона убывающей предельной производительности переменного ресурса. Как видно из рисунка, в определенный момент функция зависимости урожайности от дозы внесения удобрений достигает экстремума (максимума), после которого начинает снижаться. Эта максимальная точка называется техническим оптимумом.

На рис. 11.1-б показан график предельного продукта удобрений, математически функция предельного продукта представляется как первая производная функции валового продукта. Очевидно, что в той точке (при такой дозе удобрений), где величина валового продукта достигает максимума, величина предельного продукта становится равной нулю. При наращивании доз внесения удобрений выше точки технического оптимума величина предельного продукта становится отрицательной, урожайность зерна начнет сокращаться.

Меру связи между ресурсом и продуктом можно выразить через показатель эластичности функции, которая показывает, на сколько процентов увеличится объем производства при увеличении объема применения переменного ресурса на 1% (отношение величины предельного продукта ресурса к величине среднего продукта):

E = (dY/dX)(X /Y), (11.2)

где Е – эластичность функции;

dY/dX – величина предельного продукта переменного ресурса;

Y и X – соответственно объем производства и объем использования переменного ресурса, т.е. Y/X – величина среднего продукта переменного ресурса. (Более подробно математика производственных функций рассмотрена в приложении к данной главе).

Один и тот же объем производства какого-либо товара можно получить при различном сочетании производственных ресурсов. Приведем упрощенный числовой пример. Допустим, для производства товара А необходимо использование труда и капитала. На рис. 11.2 приведены различные комбинации объемов двух данных ресурсов, дающие различные объемы производства товара.

Так, с помощью единицы труда и единицы капитала можно произвести 8 единиц товара А. Удвоив использование обоих ресурсов, можно удвоить и объем производства (до 16 единиц товара). Однако в производстве можно использовать различные комбинации ресурсов. С помощью 2 ед. труда и 1 ед. капитала можно произвести 11 ед. товара (также, как и с использованием 2 ед. капитала и 1 ед. труда). Различные комбинации ресурсов означают различные технологии производства. Так, использование капитала и труда в пропорции 1:1 – это одна технология, в пропорции 2:1 – другая технология, в пропорции 1:2 – третья технология. Варианты производства по различным технологиям показаны на рисунке прямыми линиями, исходящими из начала координат.

ё

Рис. 11.2. Комбинации ресурсов, объемы производства,

технологии производства и построение изоквант.

Из рис. 11.2 видно, что при использовании фиксированного количества одного ресурса и наращивании использования другого ресурса объем производства растет, но растет замедляющимися темпами. Так, при использовании 1 ед. труда и 1 ед. капитала можно произвести 8 ед. товара; увеличив использование труда с 1 до 2 ед., можно дополнительно получить 3 ед. товара, с 2 до 3 ед. труда – 2 ед. товара, с 4 до 5 ед. труда – 1 ед. товара, и т.д. Такая динамика объема производства обусловлена действием закона убывающей предельной производительности, изученного в предыдущих главах.

При различном сочетании ресурсов можно получить один и тот же объем товара. Так, 16 ед. товара можно произвести с помощью 5 ед. труда и 1 ед. капитала, или с помощью 2 ед. труда и 2 ед. капитала, или с помощью 1 ед. труда и 5 ед. капитала. Аналогично, 24 ед. товара можно произвести с помощью 6 ед. труда и 2 ед. капитала, или с помощью 3 ед. труда и 3 ед. капитала, или с помощью 2 ед. труда и 6 ед. капитала. Соединив между собой точки на рисунке, показывающие один и тот же объем производства при различных сочетаниях ресурсов, получим линию, называемую «изоквантой», т.е. «кривой равного продукта».

На рис. 11.2 мы соединили точки равного производства прямыми линиями, поэтому изокванта получилась ломаной. Такая форма изокванты предполагает неделимость единиц ресурсов, т.е. то, что в производстве можно использовать 1, или 2, или 3 и т.д. единицы ресурса, но нельзя использовать 1,5 или, скажем, 2,7 единицы. Если же предположить возможность разделения единиц ресурсов (и единиц товара) на более мелкие части, или просто увеличить масштаб примера, т.е. брать не единицы, а тысячи и миллионы единиц, то изокванты можно изображать в виде плавных кривых (рис. 11.3). Вогнутый к началу координат вид изоквант отражает действие закона убывающей предельной производительности ресурсов.

Рис. 11.3. Карта изоквант производства товара А.

Итак, мы увидели, какие объемы производства и с помощью каких комбинаций ресурсов можно получить. Как же выбрать наилучший вариант? Для этого нам необходимо знать цены производственных ресурсов. Функционирование рынков отдельных производственных ресурсов и формирование цен на них будет рассмотрено в следующих главах, здесь же мы предположим, что рыночная цена единицы труда составляет 4 денежных ед., а цена единицы капитала – 6 денежных ед. Зная цены на ресурсы, мы можем определить комбинации ресурсов с одинаковой стоимостью (рис. 11.4). Так, использование 4 ед. труда и 1 ед. капитала будет стоить 22 ден. ед., т.е. столько же, сколько использование 1 ед. труда и 3 ед. капитала; использование 5 ед. труда и 2 ед. капитала будет стоить 32 ден. ед., т.е. столько же, сколько 2 ед. труда и 4 ед. капитала. Прямые линии на рис. 4, показывающие комбинации ресурсов с одинаковой стоимостью, называются «изокостами», т.е. линиями «равных издержек».

Итак, комбинация ресурсов 4 Т: 1 К (4 ед. труда и 1 ед. капитала) приносит производителю столько же издержек, сколько и комбинация 1 Т: 3 К, однако в первом случае производитель моет получить 15 ед. товара, а во втором – 13 ед. Следовательно, при выборе между двумя данными сочетаниями ресурсов производитель выберет первое (1 т: 3 К), так как оно позволит получить больше продукции на единицу издержек.

Рис. 11.4. Комбинации ресурсов, их стоимость

и построение изокост.

В рассматриваемом примере мы вынуждены выбирать между ограниченным числом комбинаций ресурсов; если же, как отмечалось выше, предположить делимость единиц ресурсов и товара или увеличить масштабы примера, то можно представить «карту изокост» как неограниченное количество параллельных линий, каждая из которых отражает комбинации ресурсов с одинаковыми общими издержками (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Карта изокост производства товара А.

Использование изоквант позволяет нам представить все возможные комбинации ресурсов и объемов производства, а использование изокост позволяет выбрать вариант с наименьшими издержками на единицу производства товара (или, что то же самое, с наибольшим объемом производства на единицу издержек). Объединив карты изокост и изоквант, мы можем получить точки оптимальных комбинаций (A₁, А₂, А₃) производственных ресурсов для различных масштабов производства (рис. 11.6); эти точки будут находиться в местах касания линий равных издержек (изокост) и кривых равных продуктов (изоквант). Объясним, почему это так.

На рис. 11.6 для самой нижней изокванты точкой оптимального сочетания ресурсов будет А₁, так как в данной точке фирма будет получать заданный объем производства при минимальных издержках. В точках В₁ и В₂ фирма сможет получить такой же объем производства, но издержки производства будут выше, так как эти точки находятся на более высоких изокостах. В точке же В₃ фирма при такой же величине издержек, как и в А₁, сможет получить меньший объем производства, так как В₃ лежит на более низкой изокванте.

Рис. 11.6. Определение оптимальных комбинаций ресурсов

для производства товара А.