Другими словами, по географическим координатам любой точки земного шара, или сфероида, можно определить ее прямоугольные координаты и наоборот — по плоским прямоугольным координатам в зональной системе вычислить соответствующие им географические координаты. Это важное достоинство зональной системы сделало ее международной — в нашей стране она введена в 1932 г. и является обязательной при проведении геодезических работ на больших площадях.

Для территории СССР, расположенной в Северном полушарии, все абсциссы положительны. Ординаты же бывают как положительные, так и отрицательные. Чтобы исключить необходимость иметь дело с различными знаками, что осложнило бы работу, на практике ординату точек среднего меридиана принимают не за нуль, а за 500 км, т. е. условно переносят начало зональных координат на 500 км к западу от действительного положения осевого меридиана. В результате этого все ординаты в пределах одной зоны будут иметь положительные значения, возрастающие с запада на восток, при этом к востоку от осевого меридиана они будут больше 500 км, а к западу — меньше (подробнее об использовании зональной системы координат изложено в § 82).

Понятие о пространственных системах координат. Описанные системы координат — географическая, полярная, прямоугольная и зональная — превращаются в пространственные системы, если в каждой из них к двум координатам, определяющим положение точки на шаре или плоскости, прибавить третью координату — отметку (см. § 57), — линейную величину, характеризующую положение точки в третьем измерении (по высоте).

Именно пространственные координаты чаще всего применяются в геодезии.

§ 10. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Общие сведения об измерениях. Любые геодезические работы заключаются

визмерении углов, расстояний, превышений, площадей и т. д., что закреплено

пв определении геодезии как науки. Под измерением понимают процесс сравнения некоторой единицы меры q с измеряемой величиной X. Результатом измерения является число Z, показывающее, сколько раз единица меры содержится в измеряемой величине, т. е.

мерную 20-метровую ленту, на которой отмечены целые метры и их доли. Если при измерении некоторого расстояния лента уложилась в нем 10 раз и остаток, оцененный с помощью той же ленты, как 6,28 м, то это значит, что единица меры — метр — содержится в измеряемом расстоянии 206,28 раза.

Вообще говоря, чтобы определить значение некоторой величины, достаточно выполнить измерение один раз. Такое измерение называется н е о б х о д и - м ы м . Однако в геодезическом производстве никогда не ограничиваются однократным измерением, а повторяют его не менее двух раз. Все измерения, выпол-

контроля результатов измерений и позволяют судить об их качестве; с помощью

добавочных измерений получают наиболее достоверное значение измеряемой величины.

Ошибки результатов измерений. В том, что измерения всегда сопровождаются ошибками, нетрудно убедиться, если выполнить несколько измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом будут несколько различаться между собой (см. табл. 3), что и свидетельствует о том, что они содержат ошибки.

Под ошибкой Л результата измерения I понимают разность между этим результатом и истинным значением измеряемой величины X

A = l ^ X . (II.3)

Принято говорить, что ошибка равна разности между тем, «что есть», и тем, «что должно быть».

Ошибки вызываются многими факторами, действующими в процессе измерений, среди которых можно выделить внешние условия (изменение температуры, освещенности, колебания воздуха и т. д.), изменяемость объекта измерений, неточность измерительного прибора и взаимодействия его частей, несовершенство органов чувств человека.

Различают ошибки систематические и случайные. С и с т е м а т и ч е - с к и е ошибки вызываются преобладающим влиянием одного или нескольких, факторов в процессе измерений. Такого рода ошибки изменяются по определенному закону. Необходимо установить причину появления систематической ошибки и закон ее воздействия с тем, чтобы влияние ее уменьшить. Способы, применяемые для этого, могут быть различными. Например, если закон образования ошибки известен, то устанавливают величину ошибки и в результаты измерений вводят поправки (за температуру, за наклон линии к горизонту и т. д.) или выбирают благоприятные условия для измерений. Перед измерением прибор проверяют, удовлетворяет ли он требованиям, предъявляемым к нему (поверка и компарирование приборов). Для уменьшения влияния ошибок применяют специально разработанные способы и приемы измерений, для чего их следует тщательно изучить.

С л у ч а й н ы е ошибки вызываются влиянием в процессе измерений массы непрерывно изменяющихся факторов, учесть которые невозможно. От-

сюда вытекает их неизбежность. Какая-либо видимая закономерность в рядах, содержащих случайные ошибки, отсутствует. Свойства, которым подчиняются случайные ошибки, можно обнаружить только в большой их массе. Ошибки, приведенные в табл. 3, случайные. Сгруппируем их по абсолютной величине и по знаку и результаты сведем в табл. 4.

Несмотря на то что ряд в данном случае небольшой, все же удается проследить следующие свойства случайных ошибок:

1)случайные ошибки не могут превосходить по абсолютной величине определенного предела;

2)малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие;

3)положительные и отрицательные случайные ошибки одинаково часто встречаются в результатах измерений;

4)среднее арифметическое из случайных ошибок стремится к нулю при возрастании числа измерений.

Последнее, наиболее важное свойство случайных ошибок называется свойством компенсации и может быть представлено следующим образом:

следствием невнимательного отношения к делу со стороны исполнителя или неправильной постановки процесса измерений. Таковой, например, будет: пропуск целой ленты при измерении линии. Организуя измерения, следует принять все меры, чтобы избежать грубых ошибок в результатах измерений. Этому, в частности, служат добавочные измерения, которые своевременно помогают обнаружить и исключить промахи. Теория ошибок не занимается рассмотрением ошибок такого рода.

В дальнейшем будем рассматривать результаты измерений, содержащие

Средняя квадратическая ошибка является надежным критерием оценки точности измерений. На величину средней квадратической ошибки сильное влияние оказывают большие по абсолютной величине ошибки (уклонения), которые по существу и определяют качество результатов. Формулы для вычисления средней квадратической ошибки выведены в предположении, что п стремится к бесконечности, однако при числе измерений больше восьми т определяется достаточно уверенно; если же число измерений меньше восьми, то результаты вычислений средней квадратической ошибки малонадежны.

По величине средней квадратической ошибки можно определить предельную ошибку. В теории ошибок доказывается, что лишь три ошибки из 1000 превосходят 3т, т. е. можно считать, что

в среднем лишь пять ошибок из 100 превосходят этот предел.

Абсолютные ошибки т или Д не всегда дают полное представление о точ^ ности результатов измерений, поэтому пользуются относительной ошибкой

Оценка точности функций измеренных величин. Не все величины удается' измерить непосредственно. Часть их получается косвенным путем, т. е. вычислением через другие величины, полученные из измерений, средние квадратические ошибки которых известны. В этом случае оценивают точность функции измеренных величин. Решение такой задачи зависит от вида функции. Приведем

П р и м е р 3. Разность высот двух точек земной поверхности h (превышение) измерена тремя различными способами с разной точностью (табл. 7). Вычислим вероятнейшее значение превышения h0 и его точность М по результатам измерений.

Т а б л и ц а 7

Учитывая значение средних квадратических ошибок результатов измерений, выбираем к = 36, чтобы веса, вычисленные по формуле (11.15), были круглыми числами. Затем находим вероятнейшее значение разности высот точек:

Вычислив уклонения v = h — оценим точность арифметической средины

Карты и планы, представляющие собой плоские изображения горизонтальных проекций земной поверхности, должны точно и выразительно отображать местные предметы и рельеф.

Под местными предметами, подробностями или ситуацией подразумеваются дороги, мосты, леса, кустарники, реки, озера, болота, пески, пашни, луга, огороды, неселенные пункты и др. К местным предметам откосятся также искусственные неровности земной поверхности, созданные в результате деятельности человека (карьеры, котлованы, насыпи и др.)-

Рельефом земной поверхности называется совокупность всех неровностей естественного происхождения — горы, холмы и пр.

Участки земной поверхности при составлении планов и карт в зависимости от масштаба последних уменьшаются во много раз, при этом они настолько изменяют свои очертания, что становятся трудноопознаваемыми. Подписать же все объекты не представляется возможным, так как изображения многих местных предметов настолько близко расположены друг к другу, что не позволяют разместить названия, да к тому же большое число надписей значительно ухудшило бы чтение карты или плана.

Поэтому наиболее важные и характерные для данной местности объекты, соответствующие назначению карты или плана, выражаются условными знаками.

Условными знаками называются графические символы, применяемые для изображения предметов местности и рельефа на картах и планах.

Основные требования, предъявляемые к условным знакам, заключаются в их простоте, изяществе в графическом исполнении и наглядности (последнее достигается некоторым сходством условных знаков с видом обозначаемых ими местных предметов). Это обстоятельство, а также то, что условные знаки одних и тех же предметов местности на картах и планах разных масштабов имеют одни очертания (отличие заключается только в размерах знаков) позволяет их легче запомнить. Так, для чтения планов и карт достаточно в основном изучить условные знаки какого-нибудь одного масштаба.

в содержание карт и планов согласно назначению последних и размеры которых не меньше точности масштаба.

В н е м а с ш т а б н ы м и (рис. 16) называются такие условные знаки, при помощи которых изображаются предметы, имеющие важное хозяйственное или оборонное значение, но размеры которых меньше значения точности масштаба данного плана или карты, т. е. такие предметы местности, границы которых не могут быть выражены контурными условными знаками в масштабе (дороги, линии электропередач, телефонные линии, газопроводы, геодезические пункты, радиомачты, отдельно стоящие деревья, колодцы, километровые столбы, межевые знаки, водонапорные башни, указатели дорог и др.)- Эти условные знаки не сохраняют во многих случаях подобия изображаемого предмета, не дают возможности определить его размеры, а показывают только местоположение предмета.

Так, ось (середина) дороги, канала и других вытянутых объектов — наносится на бумагу в полном соответствии с ее положением в натуре, а ширина объекта показывается с некоторым увеличением.

Условные знаки для внемасштабного изображения объектов следует располагать на плане, как правило, перпендикулярно к южной рамке. Чтобы обеспечить нанесение расположенных рядом знаков существенных объектов, допускается вычерчивание этих знаков с небольшим наклоном.

Положению объекта на местности должны соответствовать на плане следу-

Какие из предметов следует изображать масштабными и какие внемасштабными условными знаками, зависит от масштаба карты или плана, так как один и тот же предмет в одном масштабе может быть отображен, а в другом нет, т. е. он является внемаспггабным. Так, если на карте масштаба 1 : 5000 показаны

действительную толщину деревьев, а значки, указывающие породу леса (хвойный, лиственный, смешанный), не отражают в масштабе высоту деревьев в натуре. На планах и картах допускаются сочетания не более чем из трех разных знаков.

Штриховые пояснительные условные знаки — буквы и подписи — располагаются возле условных знаков некоторых объектов местности и показывают какое-либо значение этих предметов. Например, СС — сельский Совет, кирп. — кирпичное производство, бум. — бумажное производство, к. — колодец, арт. к. — артезианский колодец, род. — родники, ключи, вдхр. — водохранилище, пр. — пруд и т. д.

Пояснительные надписи делаются стандартными, что позволяет по самому шрифту определить, к чему эта надпись относится. Цифровые обозначения применяются для указапия числа дворов в сельских населенных пунктах, скорости

QQ g

течения рек, они же характеризуют дороги, мосты, лес и др. Цифры —о- — ,

расположенные у моста, указывают в числителе соответственно его длину» ширину проезжей части (в м), а в знаменателе грузоподъемность (в тоннах);

цифры 5, расположенные в контуре леса, характеризуют среднюю высоту деревьев — 15 м, толщину деревьев на уровне груди человека — 0,25 м. Справа

надписываются их высоты (отметки) и ставятся бергштрихи — черточки, указывающие направление стока воды. Подробно метод горизонталей рассматривается в § 69.

Условные знаки и пояснительные надписи должны быть расположены по определенному стандарту, что значительно облегчает пользование планами и картами. Надписи, как правило, принято делать горизонтально, а реки, ручьи хребты подписывать вдоль их направления. Отметки горизонталей подписываются в их разрыве так, чтобы верх цифр был обращен в сторону повышения ската местности.