3.5. Закрепление самолетов за воздушными линиями

Три типа самолетов требуется распределить между четырьмя авиалиниями. В приводимых ниже таблицах задано число самолетов каждого типа, месячный объем перевозок каждым самолетом на каждой авиалинии и соответствующие эксплуатационные расходы.

Требуется распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четырех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 1000 и 500 единиц груза.

Тип самолета	Число самолетов	Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям
		I	II	III	IV
1	50	15	10	20	50
2	20	30	25	10	17
3	30	25	50	30	45

Тип самолета	Эксплуатационные расходы
	I	II	III	IV
1	15	20	25	40
2	70	28	15	45
3	40	70	40	65

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

15x₁₁+20x₁₂+25x₁₃+40x₁₄+70x₂₁+28x₂₂+15x₂₃+45x₂₄+40x₃₁+70x₃₂+40x₃₃+65x_34 min,

Ограничения имеют вид:

15x₁₁+30x₂₁+25x_31 300,

10x₁₂+25x₂₂+50x_32 200,

20x₁₃+10x₂₃+30x_33 1000,

50x₁₄+17x₂₄+45x_34 500,

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=50,

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=20,

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₃=30,

x_ij 0, целые (i=, j=).

Вид электронной таблицы Excel, созданной для решения задачи, представлен на рис. 31. Значения переменных x_ijрасполагаются в блоке ячеек B4:E6 (см. рис. 31). Коэффициенты целевой функции, отражающие расходы на перевозку находятся по адресам B18:E20. Данные о месячных объемах перевозок одним самолетом имеются в блоке B12:E14. Задан план перевозок и число самолетов- соответственно блоки B7:E7 и F4:F6.

Рис. 31

Формулы целевой функции и ограничений находятся соответственно в ячейке F8 и ячейках B8:E8 (ограничения по плану), F4:F6 (ограничения по количеству самолетов) (см. рис. 31 и 32). Вид электронной таблицы в режиме отображения формул представлен на рис. 32.

Рис. 32

Рис. 33

В группе Ограничения(см. рис. 33) заданы, помимо остальных, ограничения на целочисленность переменных (первая запись), означающие, что количество выбранных самолетов (значения x_ij) должно быть целым числом. Задание ограничения на целочисленность увеличивает время вычислений Поиска решения.

Результаты поиска решения приведены на рис. 31.

4. Задача о ранце

В грузовую автомашину надо поместить четыре вида предметов, причем могут потребоваться несколько одинаковых предметов. Имеется три вида ограничений такого типа, как вес, объем и т.д. В приведенной ниже таблице даны a_ij- i-я характеристика предмета j-го наименования, c_j- полезность одного предмета j-го наименования (i=, j=). Требуется загрузить машину так, чтобы суммарная полезность груза была максимальной.

Ограничения	Предмет1	Предмет2	Предмет3	Предмет4	Значения ограничений
I	3	3	5	2	1000
II	4	2	4	4	600
III	3	5	4	3	600
Полезность	3	4	3	3

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

3x₁+4x₂+3x₃+3x_4 max,

Ограничения имеют вид:

3x₁+3x₂+5x₃+2x_4 1000,

4x₁+2x₂+4x₃+4x_4 600,

3x₁+5x₂+4x₃+3x_4 600,

x_j 0, целые, j=.

Вид электронной таблицы Excel, созданной для решения задачи, представлен на рис. 34. Значения переменных x_ijрасполагаются в блоке ячеек B3:E3 (см. рис. 34). Коэффициенты целевой функции, отражающие полезности предметов находятся по адресам B6:E6. Данные о характеристиках предметов имеются в блоке B9:E11. Заданы значения ограничений- соответственно блок H9:H11.

Рис. 34

Формулы целевой функции и ограничений находятся соответственно в ячейке F6 и ячейках F9:E11 (ограничения по свойствам) (см. рис. 34 и 35). Вид электронной таблицы в режиме отображения формул представлен на рис. 35.

Запись условий задачи в окне "Поиск решения" можно увидеть на рис. 36.

Результаты поиска решения приведены на рис. 34.

Рис. 35

Рис. 36

4. Назначение механизмов на работы

Имеются три механизма М₁, М₂, М₃, каждый из которых может быть использован на трех видах работ Р₁, Р₂, Р₃с производительностью (в условных единицах), заданной в виде таблицы:

Механизмы	Работы
	Р1	Р2	Р3
М1	1	2	3
М2	2	4	1
М3	3	1	5

Требуется так распределить механизмы по одному на каждую из работ, чтобы суммарная производительность всех механизмов была максимальной.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

x₁₁+2x₁₂+3x₁₃+2x₂₁+4x₂₂+x₂₃+3x₃₁+x₃₂+5x_33 max,

Ограничения имеют вид:

x₁₁+x₁₂+x₁₃=1,

x₂₁+x₂₂+x₂₃=1,

x₃₁+x₃₂+x₃₃=1,

x₁₁+x₂₁+x₃₁=1,

x₁₂+x₂₂+x₃₂=1,

x₁₃+x₂₃+x₃₃=1.

Вид электронной таблицы Excel, созданной для решения задачи, представлен на рис. 37. Значения переменных x_ijрасполагаются в блоке ячеек B4:D6 (см. рис. 37). Коэффициенты целевой функции, отражающие производительность механизмов, находятся по адресам B11:D13.

Рис. 37

Формулы целевой функции и ограничений находятся соответственно в ячейке E8 и ячейках E4:E6 (каждый механизм может быть назначен только на одну работу), B8:D8 (каждая работа выполняется только на одном механизме) (см. рис. 37 и 38). Вид электронной таблицы в режиме отображения формул представлен на рис. 38.

Рис. 38

Рис. 39

Данная задача является задачей линейного булева программирования и в ней переменные x_ijдолжны принимать значения либо 0 либо 1. В поиске решения такое ограничение задается тремя ограничениями, по которым изменяемые ячейки в блоке (x_ij) одновременно больше либо равны 0, меньше либо равны 1 и являются целыми. Первые три записи в группеОграничения(см. рис. 39) отражают этот факт.

Результаты поиска решения приведены на рис. 37.

4. Задача коммивояжера

Коммивояжеру, находящемуся в Париже, необходимо посетить три города. Он получил информацию о стоимости проезда самолетом в каждый из выбранных городов и стоимость проезда из одного города в другой. На основе добытых данных он составил матрицу стоимостей (см. табл.) проезда в выбранные города и обратно. Зная матрицу стоимостей коммивояжеру надо так составить маршрут путешествия, чтобы затраты на путешествие были бы минимальными и чтобы выполнялось требование: каждый пункт посещается только один раз.

Пункты	Париж	Берлин	Рим	Лондон
Париж	0	270	430	160
Берлин	70	0	160	10
Рим	200	130	0	350
Лондон	210	160	250	0

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

0x₁₁+270x₁₂+430x₁₃+160x₁₄+70x₂₁+0x₂₂+160x₂₃+10x₂₄+200x₃₁+130x₃₂+0x₃₃+ +350x₃₄+210x₄₁+160x₄₂+250x₄₃+0x_44 min,

Ограничения имеют вид:

x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁=1,

x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂=1,

x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃=1.

x₁₄+x₂₄+x₃₄+x₄₄=1,

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=1,

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=1,

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄=1,

x₄₁+x₄₂+x₄₃+x₄₄=1,

u₂-u₃+3x_23 2,

u₂-u₄+3x_24 2,

u₃-u₂+3x_32 2,

u₃-u₄+3x_34 2,

u₄-u₂+3x_42 2,

u₄-u₃+3x_43 2.

Вид электронной таблицы, созданной для решения задачи, представлен на рис. 40. Значения переменных x_ijрасполагаются в блоке B3:E6. В данном блоке ячейки, расположенные по диагонали обнулены (пункт назначения не может быть одновременно пунктом прибытия) и выделены, для удобства задания ограничений. Даны стоимости проезда из города в город (блок B11:E14). Для вычислений необходимо задать размерность задачи n (количество городов)- ячейка F16.

Рис. 40

Целевая функция расположена в ячейке F8. Ограничения находятся в блоках B7:E7 (коммивояжер въезжает один раз в каждый город) и F3:F6 (коммивояжер выезжает из каждого города один раз) (см. рис. 40 и 41). Вид электронной таблицы в режиме отображения формул представлен на рис. 41. В задаче коммивояжера есть ряд специфических ограничений по дополнительным переменным u_i(см. мат модель). Формулы этих ограничений находятся в блоке ячеек B17:E19. Значения самих переменных располагаются в блоке B8:E8.

На рис. 42 представлена запись условий задачи в окне "Поиск решения". Как известно, дополнительные переменные не относятся к целевой функции, но они, также как и x_ij, являются изменяемыми, поэтому адреса содержащих их ячеек должны быть введены в полеИзменяя ячейкиодновременно с адресами переменных целевой функции.

Операцию ввода удобно проводить с помощью мыши. Необходимо установить курсор ввода в поле Изменяя ячейки, затем выделить мышью блок ячеек переменных целевой функции, нажать <Ctrl> и, удерживая эту клавишу, выделить мышью блок ячеек рабочего листа, отведенный для переменных u_i. В поле ввода адреса блоков отделяются ";" (см. рис. 42).

Рис. 41

Перечислим ограничения, которых не видно на рис. 42: $C$4=0; $D$5=0; $E$6=0; $F$3:$F$6=1.

Рис. 42

Первая запись в группе Ограниченияпредставляет собой совокупность ограничений по дополнительным переменным u_i. Каждая ячейка блока в левой части неравенства содержит формулу одного ограничения (см. рис. 41 и мат. модель), правую часть представляет одно значение, равное n-2, содержащееся в F18. Такая запись означает, что каждая ячейка блока $B$17:$D$19 меньше либо равна 2 (4-2=2).

В поиске решения нельзя явно задать ограничение ij. Исходя из смысла переменных x_ijможно предположить, что значения тех x_ij, для которых i=j (расположенных по диагонали в блоке переменных), всегда должны быть равны 0 и ввести соответствующие ограничения. В группеОграничениятаких ограничений четыре: $B$3=0, $C$4=0, $D$5=0, $E$6=0.

По результатам поиска решения найден ответ задачи: из Парижа коммивояжер летит в Лондон, оттуда в Рим, затем в Берлин, откуда возвращается в Париж. Общая стоимость перелета составит 610 д. е. (см. рис. 40).