Методические указания к выполнению задач Содержание

1. МОДЕЛИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1. Задача об оптимальном распределении ресурсов при выпуске продукции на предприятии (об ассортименте)

1.2. Задача о смесях (рационе, диете)

1.3. Транспортная задача

1. 4. Модель рационального использования посевных площадей

1. 5. Модель рационального использования имеющихся мощностей

1.6. Задача о закреплении самолетов за воздушными линиями

1.7. Задача о ранце

1.8. Задача о назначениях

1.9. Задача коммивояжера

1.10. Задача о доставке (покрытии множества)

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ EXCEL

2.1. Ввод условий задачи

2.2. Работа в диалоговом окне "Поиск решения"

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ EXCEL

3.1. Получение требуемого сплава

3.2. Транспортная задача

3.3. Рациональное использование имеющихся площадей

3.4. Рациональное использование технологических участков

3.5. Закрепление самолетов за воздушными линиями

3.6. Задача о ранце

3.7. Назначение механизмов на работы

3.8. Задача коммивояжера

3.9. Задача о доставке

4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. Модели задач математического программирования

1. Задача об оптимальном распределении ресурсов при выпуске продукции на предприятии (об ассортименте)

Предположим, что предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства требуются m различных видов ресурсов (сырья, вспомогательных материалов, рабочего и машинного времени и т.д.). Эти ресурсы ограничены и составляют в планируемый период b₁, b₂, ..., b_mусловных единиц.

Известны также технологические коэффициенты a_ij, которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства изделия j-го вида (i=j=).

Пусть прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j-го вида, равна c_j.

В планируемый период все показатели b_i, a_ijи c_jпредполагаются постоянными.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей.

Сведем данные условия задачи в таблицу:

Виды	Вид изделия						Запасы
ресурсов	1	2	...	j	...	n	ресурсов
1	a11	a12	...	a1j	...	a1n	b1
2	a21	a22	...	a2j	...	a2n	b2
...	...	...	...	...	...	...	...
i	ai1	ai2	...	aij	...	ain	bi
...	...	...	...	...	...	...	...
m	am1	am2	...	am2	...	amn	bm
Прибыль	c1	c2	...	cj		cn

Допустим, что предприятие будет выпускать x_iизделий вида i. Требуется составить оптимальный план работы предприятия X={x_j}, j=, т.е. найти такие значения переменных x₁, x₂, ..., x_n(объем выпуска продукции каждого вида), чтобы обеспечить предприятию получение максимальной прибыли от реализации всей продукции и чтобы на ее производство хватило имеющихся в распоряжении ресурсов.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

 max.

Целевая функция (ЦФ) представляет суммарную прибыль.

Ограничения имеют вид:

, i=,

X_j 0, j=.

Уравнения ограничений модели представляют собой ограничения задачи по объему соответствующего ресурса, в ходе выполнения плана можно использовать либо весь запас этого ресурса либо часть его.

2. Задача о смесях (рационе, диете)

К группе задач о смесях относят задачи по отысканию наиболее дешевого набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Иными словами, получаемые смеси должны иметь в своем составе n различных компонентов в определенных количествах, а сами компоненты являются составными частями m исходных материалов.

Обобщенная таблица задачи о смесях выглядит следующим образом.

Компоненты, входящие в состав	Виды материалов						Необходимое количество компонентов в смеси
материалов	1	2	...	j	...	n
1	a11	a12	...	a1j	...	a1n	b1
2	a21	a22	...	a2j	...	a2n	b2
...	...	...	...	...	...	...	...
i	ai1	ai2	...	aij	...	ain	bi
...	...	...	...	...	...	...	...
m	am1	am2	...	am2	...	amn	bm
Цена единицы материала	c1	c2	...	cj	...	cn

Коэффициенты a_ijпоказывают удельный вес i-го компонента в единице j-го материала.

Обозначим через x_j количество материала j-го вида, входящего в смесь.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

 min.

ЦФ представляет суммарную стоимость смеси.

Ограничения имеют вид:

, i=, (1)

где b_i- минимально необходимое содержание i-й компоненты в смеси.

x_j 0, j=.

Условия (1) представляют собой ограничения задачи по содержанию компонент в смеси, смесь должна содержать компоненты в объемах, не менее указанных.

3. Транспортная задача

Требуется составить план перевозок однородного груза таким образом, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

Исходная информация:

a_i- количество единиц груза в i- м пункте отправления(i=);

b_j- потребность в j- м пункте назначения (j=.) в единицах груза;

c_ij- стоимость перевозки единицы груза из i- го пункта в j- й.

Обозначим через x_ijпланируемое количество единиц груза для перевозки из i-го пункта в j- й.

В принятых обозначениях:

- общая (суммарная) стоимость перевозок;

=a_i - количество груза, вывозимого из i- го пункта;

=b_j- количество груза, доставляемого в j- й пункт.

В простейшем случае должны выполняться следующие условия:

, i=,

=b_j, j=,

.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом.

Целевая функция имеет вид:

 min.

ЦФ представляет суммарную стоимость перевозок.

Ограничения имеют вид:

, i=,

, j=,

x_ij 0, i=, j=.

Согласно уравнениям ограничений модели количество вывезенного груза должно быть равно количеству принятого.