2. Плоскость

Уравнением плоскости называется такое уравнение с тремя неизвестными, которому удовлетворяют только точки данной плоскости.

С каждой плоскостью связан вектор, перпендикулярный данной плоскости. Этот вектор называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора плоскости можно взять любой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид:

.

Преобразуем данное уравнение и запишем его в виде

Ax+By+Cz+D=0,

где . Полученное уравнение называется общим уравнением плоскости.

Пусть две плоскости заданы уравнениями

и .

Углом между плоскостями будем считать угол между их нормальными векторами и , который определяется по формуле

.

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны и их координаты пропорциональны:

.

Эти равенства являются условием параллельности двух плоскостей.

Если же плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Это равенство является условием перпендикулярности двух плоскостей.

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 4, 1) перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору имеет вид . Так как по условию А=1, В=5, С=2, , , , то подставим эти значения в уравнение и получим или x5y+2z24=0.

Пример 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В(2, 4, 1) параллельно плоскости 3x-2y+z12=0.

Решение. Нормальный вектор плоскости равен . Так как искомая плоскость параллельна заданной, то в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять этот же вектор. Подставим координаты точки А и вектора в уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:

3(x2) 2(y4)+(z+1)=0 или 3x2y+z+3=0.

Пример 10. Определить угол между плоскостями 2x+y2z+3=0 и x+y5=0.

Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и определяется по формуле

.

Запишем нормальные векторы для данных плоскостей: . Подставим координаты этих векторов в формулу: . Следовательно, .

Пример 11. Даны пары плоскостей:

а) 3x4y+5z3=0 и 6x8y+10z+5=0;

б) 2xy+5z5=0 и 4x+3yz+1=0;

в) x3y+z1=0 и 2x+4y3z+2=0.

Определить, какие из них параллельны, а какие перпендикулярны.

Решение. а) Запишем нормальные векторы плоскостей:

и . Так как координаты векторов пропорциональны , то выполняется условие параллельности плоскостей, т.е. плоскости параллельны.

б) Нормальными векторами плоскостей являются векторы и . Скалярное произведение векторов , что является условием перпендикулярности плоскостей. Следовательно, плоскости перпендикулярны.

в) Плоскости имеют нормальные векторы и . Координаты этих векторов не пропорциональны, т.е. , и скалярное произведение векторов не равно нулю: . Следовательно, заданные плоскости не параллельны и не перпендикулярны.