Решение.

1. Область определения .

2. Исследуем симметрию графика

Так как и, то функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Непериодическая.

3. Находим точки пересечения графика функции с координатными осями.

С осью 0у: х = 0, у = 3

А(0, 3) – точка пересечения с осью 0у.

С осью 0х: у = 0,

В(–0,7; 0), С(–4,3; 0) – точки пересечения с осью 0х.

2. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

если ;

х		–1,35		0,35
	–	0	+	0	–
у					

2. Находим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

если

;

х		–2				1
	–	0	+	0	–	0	+
у		т. пер. –1		т. пер. 1		т. пер. 3	

2. Найдём асимптоты графика функции.

Так как точек разрыва нет, то и вертикальных асимптот тоже нет.

Найдём наклонные асимптоты .

.

Так как , то наклонных асимптот нет.

.

–горизонтальная асимптота.

Пример 2. .

Решение

1. Область определения .

2. Исследуем симметрию графика .

Так как и, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Непериодическая.

4. Находим точки пересечения графика функции с координатными осями.

С осью 0у: х = 0, у = 0. С осью 0х: у = 0,

О(0; 0) – точка пересечения с осями координат.

5. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

, если

х		–1
	–	0	+
у			

6. Находим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

, если

х		–2
	–	0	+
у		т. пер.–	

7. Найдём асимптоты графика функции.

Так как точек разрыва нет, то и вертикальных асимптот тоже нет.

.

График имеет при горизонтальную асимптоту.

Найдём наклонные асимптоты .

.

Так как , то наклонных асимптот нет.

Занятие № 20. Контрольная работа по практическому курсу. (Производная. Правило Лопиталя. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке)

Занятие № 21. Непосредственное интегрирование. Методы интегрирования заменой переменной и по частям. Интегрирование выражений, которые содержат квадратный трехчлен.

Цель занятия: научить вычислять интегралы и применять для их вычисления указанные методы.

Первообразная и неопределенный интеграл - рассмотрим функцию , определенную на промежутке(здесь возможно).Дифференцируемая на промежутке    функция, производная которой в каждой точке равна, называется первообразной функции:Поскольку, то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида,. Семейство первообразныхфункцииназывается неопределенным интегралом функциии обозначается символом:для всех. Здесь— знак интеграла,— подынтегральное выражение,— подынтегральная функция,— переменная интегрирования,— значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции,. То естьпроизводная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,   , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность:, здесь- постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов.

Интегрирование заменой переменной - Если — непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая, получим формулу интегрирования заменой переменной. Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному.

Интегрирование по частям - Пусть  - непрерывнодифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида,,,и некоторых других.

Пример 1.  Простейшие методы интегрирования

Пример 2.  Замена переменной в неопределенном интеграле

Пример 3.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Занятие № 22. Интегрирование рациональной дроби.

Цель занятия: научить интегрировать функцию, заданную в виде рациональной дроби.

Интегрирование рациональных функций - Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов:. Если, рациональная дробь называется правильной.Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого:

Если , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена, а именно:

Каждому действительному корнюкратности 1 в разложении соответствует член.

Каждому действительному корню кратностив разложении соответствует набор изчленов.

Каждой паре комплексно сопряженных корней  кратности 1 в разложении соответствует член(- корни уравнения).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности в разложении соответствует набор изчленов.

В приведенных выражениях - неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю, приравнивая полученные коэффициенты при степеняхк соответствующим коэффициентами решая систему относительно.

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно.

Пример 1.  Интегрирование рациональных функций

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Занятие № 23.Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

Цель занятия: Научить интегрировать иррациональные и тригонометрические функции.

Интегрирование тригонометрических функций - Интегралы вида , где- рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной. При этом. Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать.

Интегралы вида  вычисляются с помощью замены. Интегралы видавычисляются с помощью замены. Интегралы вида, если, то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены.

Интегралы вида  вычисляются с помощью формул понижения степени.

Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где- рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой.

Интегралы вида  вычисляются заменойили.

Интегралы вида  вычисляются заменойили. Интегралы видавычисляются заменойили.

Пример 1.  Интегрирование тригонометрических функций

Пример 2.  Интегрирование иррациональных функций

.

Пример 3. Интегрирование иррациональных функций

Пример 4. Интегрирование иррациональных функций

Пример 5. Интегрирование тригонометрических функций

Пример 6. Интегрирование тригонометрических функций

Занятие № 24. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование подстановкой в определенном интеграле.

Цель занятия: Научить применять формулу Ньютона- Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке. Разобьем промежуток напроизвольных частей точкамии обозначим,,. На каждом промежуткевозьмем произвольную точкуи вычислим в ней значение функции. Выражениеназывается интегральной суммой функциина.Если присуществует и конеченпредел последовательности частичных сумм  , не зависящий ни от способа разбиения промежуткаточками, ни от выбора, то этот предел называют определенным интегралом от функциипо промежутку, а саму функцию — интегрируемой на. Обозначают.

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если , торавен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми.

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символозначает, что из значенияпри верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a ,—первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то естьнеопределенного интеграла.

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывнодифференцируемая на отрезке функция,,и, когдаизменяется на, то, положив, получим формулу замены переменной в определенном интеграле.

Пусть - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям. Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

Пример 1.  Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы

Пример 2.  Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

Пример 3.  Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

Занятие № 25. Интегрирование частями. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Цель занятия: научить применять определенный интеграл к вычисления площадей плоских фигур.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости задана область, ограниченная снизу кривой, заданной в декартовых координатах, сверху – кривой, слева – прямой(ее может и не быть, если), справа – прямой. Исходя изгеометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле. Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например,, то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия.

Пусть на отрезке уравнениемзадана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть, при этом, а сверху – кривой. Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле. Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что.

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   . Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах, то площадь этой области вычисляем по формуле. Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования. Здесь нужно понимать, что криваяопределена только, если. Поскольку в формуле присутствует, то она учтет и не существующую площадь, когда. Решив уравнение, найдем пределы интегрирования.

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  , то ее длина вычисляется по формуле. Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

Пример 1.  Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах

Пример 2.  Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых

а)

,

б)

, .

в)

,  .

Пример 3.  Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах

Занятие № 26. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Интегрирование подстановкой и по частям.

Цель занятия: Научить вычислять несобственные интегралы указанными способами.

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции , интегрируемой для всех, значение интегралазависит от значения верхнего предела; можно рассмотреть функцию переменной: каждому значениюставится в соответствие число, равное значению интеграла. Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела:; функцияопределена в области интегрируемости подынтегральной функции. Если—первообразная для , то значениеможно вычислить поформуле Ньютона-Лейбница:. Функциюможно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой прифункциисправедливы следующие утверждения:непрерывна на промежутке , причем; еслипри, томонотонно возрастает на промежутке; еслинепрерывна при, тодифференцируема на промежутке , причем.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция интегрируема для всехи. Если существуетпредел , то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его. Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле. Аналогично определен интегралдля интегрируемой прифункциии интегралдля функции , интегрируемой на. Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке, ибесконечно большая в точке . Если существует предел, то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функциипои обозначают его. Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле. Аналогично определен интегралот интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в, бесконечно большой в точкефункции. Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции и, определенные при. Пустьдля всех, начиная с некоторого числа. Тогда, если сходится интеграл от большей функции, то сходится и интеграл от меньшей, то есть. Если расходится интеграл от меньшей функции,то расходится и интеграл от большей -.

Если  , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся.

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

Пример 1.  Исследование функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом

Пример 2.  Вычисление несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом

Пример 3.  Вычисление несобственного интеграла от неограниченной функции

Пример 4.  Исследование несобственных интегралов на сходимость

Занятие № 27. Итоговое занятие.