2. Общие указания

На практических занятиях рассматриваются теоретические вопросы, которые касаются темы на уровне определений, теорем, формул; решаются задачи разных уровней сложности; проводится защита индивидуальных заданий, а также модульный контроль знаний студентов.

На практических занятиях применяются такие методы активного обучения, как выполнение необходимых расчетов, решения задач, и др.

Активность студентов на занятии зависит от того, как они подготовились к занятию.

Поэтому, целью практических занятий является приобретение практических навыков, которые очень нужны экономисту.

3. Содержание практических занятий

1 Модуль

Занятие №1. "Линейная алгебра". Действия над матрицами. Определители и их свойства.

Цель занятия: Обучить студентов выполнять все действия с матрицами, продемонстрировать применение свойств определителя к решению задач и при вычислении значения определителя.

Матрицей А = () размераmnназывается прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

Операция сложения имеет место только для матриц одинаковых размеров.

Суммой ( разностью) двух матриц ислужит матрица, для которойи обозначается.

Произведением матрицы на число  называется матрица , для которой.

Матрицу А будем называть согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы размераmr на матрицу размера rn называется матрица размераmnс элементами

(поэлементное умножение i-й строки матрицы А на k-й столбец матрицы В). B общем случае АВ  ВА.

Матрица Е с элементами называетсяединичной матрицей n-го порядка.

Матрица называетсяобратной к матрице А, если .

Элементы обратной матрицывычисляются по формулам, где-алгебраическое дополнение элементаматрицыА, а – ее определитель.

Задача 1. Даны две матрицы А и В. Найти: а) АВ; б) ВА; в); г); д).

Решение.

в) Вычислим определитель матрицы А

.

Так как , то обратная матрица существует

.

Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы:

Таким образом,

.

г)

д)

Занятие № 2. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Правило Крамера для решения СЛАУ. Матричный метод решения СЛАУ.

Цель занятия: Научить находить ранг матрицы, применять теорему Кронекера-Капелли для решения СЛАУ. Рассмотреть два метода решения СЛАУ: матричный и Крамера.

Задача 1. Определить ранг матрицы

Задача 2. Определить ранг матрицы

Задача 3. Определить ранг матрицы

Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

где - коэффициенты системы;- свободные члены. Определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных, называетсяопределителем системы. Если , то единственное решение системы выражаетсяформулами Крамера:

где - определители третьего порядка, получаемые из определителя системызаменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами.

Определителем второго порядка называется число, равное, т.е..

Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по правилу

Систему можно записать в матричной форме: АХ = В, где

Тогда её решение имеет вид , если определитель системы отличен от нуля.

Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r < n , то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n – r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

Задача 4. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Решение. Вычислим определитель системы:

Так как , то система совместна.

а) Найдём решение по формулам Крамера. Для этого найдём :

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получаем искомое решение системы :

б) Решим матричным методом. Для этого введём обозначения:

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то матрица А имеет обратную и решение системы .

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицыА:

Матрица , обратная кА, имеет вид

Матричное решение системы имеет вид:

отсюда следует, что

Занятие № 3. Методы Гаусса и Жордана-Гаусcа. Применение Жордановых преобразований для построения обратной матрицы, определение ранга матрицы.

Цель занятия: Обучить студентов решению СЛАУ методами Гаусса и Жордана-Гаусса. Продемонстрировать эффективный метод нахождения обратной матрицы к базисной.

Задача 1. Решим систему методом Гаусса. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных. Для удобства выпишем расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов и будем приводить её к диагональному виду.

Запишем систему из коэффициентов последней матрицы

Задача 2.

РЕШЕНИЕ:

Запишем систему в виде таблицы и решим ее методом Жордана-Гаусса.

2 3 1	1 2 3	– 1 1 2	1 1 – 1	– 1 – 2 3	1 0 0	0 1 0	0 0 1	0 0 0	5 2 – 4
1	– 1	1	– 2	– 1	0	0	0	1	– 3
1 0 0 0	½ ½ 5/2 –3/2	½ 5/2 5/2 3/2	½ ½ 3/2 5/2	½ ½ 7/2 ½	½ 3/2 ½ – ½	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1	5/2 – 11/2 – 13/2 – 11/2
1 0 0 0	0 1 0 0	– 3 5 – 10 9	1 – 1 1 – 4	0 – 1 6 – 2	2 3 7 – 5	– 1,0 2 – 5 3	0 0 1 0	0 0 0 1	8 – 11 21 – 22
1 0 0 0	0 1 0 0	7 – 5 – 10 – 31	0 0 1 0	– 6 5 6 22	– 5 4 7 23	4 – 3 – 5 – 17	– 1 1 1 4	0 0 0 1	– 13 10 21 62
1 0 0 0	0 1 0 0	–32/22 45/22 –34/22 –31/22	0 0 1 0	0 0 0 1	28/22 –27/22 16/22 23/22	–14/22 19/22 –8/22 23/22	2/22 2/22 –2/22 4/22	6/22 –5/22 –6/22 1/22	86/22 –90/22 90/22 62/22

Общее решение системы уравнений находим из системы, эквивалентной данной:

базисные переменные; – свободная переменная.

Пусть . Выразим базисные переменные через свободную:

; ;

;

Общие решение системы уравнений:

Базисное решение системы уравнений ();

Сопоставим матрицу , обратную матрице, если:

проверка:

(верно)

Решение найдено верно.

Занятие № 4. "Векторная алгебра". Линейные операции над векторами в линейной и координатной формах. скалярное произведение векторов.

Цель занятия: Закрепить материал по действиям с векторами, а также научить применять формулы для вычисления скалярного произведения.

Вектор- это направленный отрезок, длина которогоа называется модулем вектора, пишут

Два вектора иназываютсяпротивоположными; для них справедливо равенство: =. Дваколлинеарных ( параллельных) вектора иотличаются скалярным множителем: = .

Разложение вектора по координатным осям 0x, 0y и 0z записывается в виде или,

где x, y, z – проекции вектора на оси 0x, 0y и 0z; – единичные векторы (орты), совпадающие по направлению с этими осями. Проекцииx, y, z называются координатами вектора.

Длина вектора определяется по формуле.

Если известны координаты точек и, то.

Если два вектора иколлинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е.

Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если векторы заданы своими координатами, то .

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов

Пример 2. Найти , если

Пример 3. определить угол между векторами

Пример 4. Доказать, что векторы ,иобразуют базис, и найти координаты векторав этом базисе

Решение. Чтобы векторы ,иобразовывали базис, т.е., чтобы они были линейно независимы, надо, чтобы определитель, составленный из их координат, был отличен от нуля. Составим определитель из компонент векторов,ии вычислим его:

.

Так как , то векторы,иобразуют базис трёхмерного пространства. Для вычисления координат векторав этом базисе составим системы линейных уравнений

Её решение образует совокупность координат векторав базисе,и, т.е. в этом базисеили

Занятие № 5. Векторное и смешанное произведение векторов.

Цель занятия: Научить вычислять с помощью формул векторное и смешанное произведения векторов, а также применять их для вычисления геометрических величин.

Векторным произведением двух векторовиназывается третий вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на двух данных. Этот вектор перпендикулярен к плоскости параллелограмма и направлен так, что, если смотреть с его конца в основание, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против хода стрелки.

,

где  - угол между векторами и.

Если векторы заданы своими координатами, то

Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы иколлинеарны.

Смешанным произведением трёх векторов ,иназывается их векторно-скалярное произведение

Если векторы заданы своими координатами смешанное произведение находится по формуле

.

Модуль смешанного произведения трёх векторов ,иравен объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах.

Система n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом этого пространства. По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причём единственным образом.

Коэффициенты разложения вектора конечномерного линейного пространства по векторам базиса этого пространства называются координатами вектора в данном базисе.

Пример 1. Даны векторы . Необходимо:а) вычислить смешанное произведение трёх векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли компланарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора.

а) ; б); в); г); д).

Решение.

а).

б)

в) .

г) Чтобы векторы были коллинеарны, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

.

Векторы ине коллинеарны. Для того, чтобы два вектора были ортогональны, необходимо, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

.

Значит, векторы иортогональны.

д) Чтобы три вектора были компланарны (т.е. лежали в одной плоскости), необходимо, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Значит, векторы не компланарны.

Пример 2. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С, D. Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины пирамиды; в) объём пирамиды АВСD.

А(2, 2, 2), В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6)

а) АВС; б) l = АВ, С и D.

Решение.

а) Грань пирамиды АВСD является треугольником АВС. Находим векторы и

, .

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и, поэтому находим векторное произведение этих векторов

=

Следовательно,

(кв. ед.)

б) Найдём координаты середины ребра l = АВ. Это точка К с координатами

Сечение является треугольником СDK. Находим векторы и

=

=

(кв. ед.)

в) Найдём векторы ,,, совпадающие с рёбрами пирамиды, сходящимися в вершинеА:

, ,.

Находим смешанное произведение этих векторов:

Так как объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах,,, то(куб. ед.)

Занятие № 6. "Аналитическая геометрия". Прямая на плоскости. Нормальное уравнение прямой. Пучок прямых.

Цель занятия: Рассмотреть задачи с применением различных формул по данной теме.

Уравнение вида Ax + By + C = 0 (А, В, С – постоянные коэффициенты) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Уравнение прямой, разрешенное относительно y, называется уравнением с угловым коэффициентом: y = k x + b. Здесь k = tg , где  – угол, образованный прямой с положительным направлением оси 0x. Свободный член уравнения b равен ординате точки пересечения прямой с осью 0у.

Острый угол между прямыми иопределяется по формуле:

.

Условие параллельности прямых: .

Условие перпендикулярности прямых:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки изаписывается в виде:

Если даны две прямые и, то их точка пересечения находится совместным решением двух данных уравнений. Если уравнения несовместны, то прямые параллельны.

Расстояние d точки до прямойвычисляется по формуле

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(0, 1), В(6, 5), С(12, –1). Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

е) расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение.

а) Найдём уравнение стороны АВ как прямой, проходящей через две заданные точки А(0,1) и В(6, 5).

4х = 6у – 6; 4х – 6у + 6 = 0; 2х – 3у + 3 = 0 – уравнение АВ.

б) Найдём угловой коэффициент стороны АВ. Для этого приведём уравнение АВ к виду с угловым коэффициентом 3у = 2х + 3

В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведённой из вершины С, равен . Уравнение этой высоты имеет вид:

в) Точка М делит сторону ВС пополам, поэтому координаты точки М равны полусуммам координат В и С:

Следовательно, М(9, 2).

Составим уравнение медианы АМ как прямой, проходящей через точки А(0, 1) и М(9, 2)

х – 9у + 9 = 0 - уравнение АМ.

г) Точку N пересечения медианы АМ и высоты СН найдём, решая систему из уравнений АМ и СН:

д) Составим уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

2х – 3у + 3 = 0 – уравнение АВ

. В силу условия параллельности угловой коэффициент прямой, проходящей через С параллельно стороне АВ тоже равен .

е) Вычислим расстояние от точки С до прямой АВ

Занятие № 7,8. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Взаимное размещение прямой и плоскости.

Цель занятия: научить применять к решению задач различные формулы по данной теме.

Ах + Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости.

Угол между двумя плоскостями иопределяется по формуле

Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

Условие параллельности двух плоскостей имеет вид:

Расстояние от точки N()до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяется по формуле:

.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,,имеет вид:

.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где - координаты точки, через которую проходит прямая, аm, n, p – направляющие коэффициенты прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки изапишется в виде:

Угол между двумя прямыми иопределяется по формуле:

.

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид:

Условие параллельности двух прямых в пространстве имеет вид:

Острый угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве имеет вид:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве имеет вид:

Задача 1. Даны четыре точки ,,,. Составить уравнение: а) плоскости; б) прямой; в) прямой, перпендикулярной к плоскости; г) прямой, параллельной прямой; д) плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно к прямой. Вычислить: е) синус угла между прямойи плоскостью; ж) косинус угла между координатной плоскостью0ху и плоскостью .

Решение.

а) Составим уравнение плоскости как плоскости, проходящей через три точки.

Раскрывая определитель, получим :

б) Составим уравнение прямой как прямой, проходящей через две точкии:

в) Напишем прежде всего уравнение прямой, проходящей через данную точку :

Из условия перпендикулярности данной прямой и плоскости имеем:поэтому уравнение прямой, перпендикулярной к плоскостиимеет вид

.

г) Напишем уравнение прямой, проходящей через точку :

.

Из условия параллельности двух прямых заключаем, что m, n, p должны быть пропорциональны направляющим коэффициентам прямой , т.е.

Поэтому уравнение прямой , параллельной прямойимеет вид:

д) Уравнение всех плоскостей, проходящих через точку имеет вид:

Уравнение всех плоскостей, проходящих через точку будут имеет вид:

Пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости, заменив в последнем уравнении величины А, В, С им пропорциональными величинами m, n, p из уравнения прямой , т.е. числами 3, –3, –5, получим

е) Синус угла между прямой и плоскостьювычислим, пользуясь формулой для вычислениямежду прямой и плоскостью.

Составим уравнение прямой :

Уравнение плоскости :;m = 1, n = –1, p = 3, A = –10, B = –15, C = 3

ж) Уравнение координатной плоскости 0ху имеет вид: z = 0.

Вычислим косинус угла между координатной плоскостью 0ху и плоскостью , пользуясь формулой определения угла между двумя плоскостями:

Занятие № 9. “Математический анализ”. Функция и способы ее задания. Построение графиков функции с помощью простейших преобразований.

Цель занятия: вспомнить и закрепить школьный материал по данной теме.

При построении графиков функций применяются следующие приемы: построение «по точкам»; действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков); преобразование графиков (сдвиг, растяжение).

Исходя из графика функций , можно построить графики функций:

1. - первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Ох на величину а;

2. - исходный график, растянутый в А раз вдоль оси Оy.

3. - тот же график, растянутый в раз вдоль оси Ох.

Таким образом, можно по графику функции построить график функции вида

Пример 1. Построить график функции

Пример 2. Построить график функции

Пример 3. Построить график функции

Пример 4. Построить график функции на отрезке [-4, 4].

Пример 5. в области определения

Пример 6. Построить график функции .

Пример 7. Построить график функции на отрезке [0; 5].

Пример 8. Построить график функции исходя из функции .

Занятие № 10. Контрольная работа с практического курса. (Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия)

Занятие № 11. Предел числовой последовательности. Определения предела функции.

Цель занятия: Обучить находить пределы функций.

Пример 1. Найти предел:

Подстановка числа х = 1 под знак предела приводит к неопределённости вида . Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим нах – 1:

Пример 2. Найти предел

Здесь неопределённость вида . В подобных случаях следует числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньx:

Вообще: при предел отношения двух многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степеняхх; если же степени многочленов не равны, то предел их отношения равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя, и равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя.

Пример 3. Найти предел

Пример 4. Найти предел .

Пример 5. Найти предел .

Пример 6. Найти предел .

Занятие № 12. Первый и второй замечательные пределы. Предел показательно-степенной функции.

Цель занятия: Обучить находить пределы функций, которые являются первым или вторым замечательным пределом, используя формулы.

Пример 1.

Здесь неопределённость вида . В примерах, имеющих такую неопределённость, следует воспользоваться вторым замечательным пределом:

Преобразовав выражение, получим:

Пример 2.

Здесь имеем неопределённость вида . Чтобы её раскрыть, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю. После этого можно будет сократить на

Пример 3.

Здесь имеем неопределённость вида . При вычислении предела будем пользоваться первым замечательным пределом:

Пример 4.

Пример 5.

.

Пример 6.

.