Основные законы распределения случайной величины

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Основные законы распределения случайной

величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Основные законы распределения случайной величины

1. Биномиальный закон распределения случайной величины

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А одна и та же , при этом событие А может наступить k раз.

СВ Х называется распределённой по биномиальному закону, если она может принимать возможные значения X=k с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли

.

Постоянные величины n и p (q=1-p) называются параметрами биномиального закона распределения. Этот закон распределения можно записать в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k
p				…

Пример 1. Приживаемость саженцев 90%. В питомнике куплены 4 саженца и посажены на дачном участке. Обозначим СВ Х={количество прижившихся саженцев}. Эта СВ будет распределена по биномиальному закону с параметрами n=4 и p=0.9.

2. Закон Пуассона

СВ Х называется распределённой по закону Пуассона, если она может принимать возможные значения X=k с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

, .

Постоянная величина называется параметром этого закона распределения. В этом случае закон распределения СВ Х можно записать в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k
p				…

Математическое ожидание и дисперсия СВ Х, распределённой по закону Пуассона, одинаковы и каждая из этих характеристик равна параметру : .

3. Равномерное распределение в интервале

Если все возможные значения СВ содержатся в интервале (a,b) и плотность распределения вероятностей постоянна, то эта СВ называется равномерно распределённой в этом интервале.

Из определения такой СВ следует, что

По одному из свойств плотности распределения . Тогда . Следовательно,

График плотности распределения имеет вид:

Функция распределения равна

График функции распределения имеет вид:

4. Нормальный закон распределения и его параметры

Пусть плотность распределения вероятностей СВ Х выражается функцией , где а и - параметры.

В этом случае говорят, что СВ Х распределена по нормальному закону и её называют нормальной СВ. Нормальный закон распределения играет большую роль в теории и практике.

Можно показать, что математическое ожидание нормально распределённой СВ Х равно параметру a, т.е. , дисперсия нормальной СВ Х равна , а .

5. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал и вероятность заданного отклонения

Пусть СВ Х имеет плотность распределения . Тогда вероятность того, что эта СВ примет значение в интервале , выражается формулой

.

В нашем случае . Тогда

.

Найдём интеграл в правой части равенства и получим:

, (1)

Где .

Таким образом, вероятность попадания нормальной СВ в заданный интервал определяется по формуле (1).

Рассмотрим нормальную СВ Х. Из неравенства следует, что . Тогда

.

Таким образом, для нормальной СВ вероятность того, что отклонение этой величины от её математического ожидания по абсолютной величине не больше заданного числа , вычисляется по формуле

.

Положим , т.е. . Тогда .

При t=1 .

При t=2 .

При t=3 .

Таким образом, если СВ Х распределена по нормальному закону, то практически достоверно, что отклонение этой величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдёт утроенного среднего квадратического отклонения.

Это утверждение называется правилом «трёх сигм» и обычно используется в математической статистике.

6. Решения задач с нормальной случайной величиной

Пример 2. Найти вероятность того, что нормальная СВ с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4 примет значение в интервале (-1,5).

Решение. По условию . Тогда

Пример 3. Известно, что масса клубня картофеля определённого сорта является нормально распределённой СВ Х с математическим ожиданием 110 г и средним квадратическим отклонением 30 г. Клубень считается стандартным, если он не повреждён и имеет массу 90-150 г. Определить: 1) процент стандартного картофеля в урожае, если повреждено 10% клубней; 2) величину, которую не превзойдёт масса отдельного клубня с вероятностью 0.95.

Решение. 1) По условию .

Тогда

Это означает, что в урожае имеется 65.68% клубней массой от 90 до 150 г. Так как 90% клубней не повреждено, то процент стандартного картофеля равен 65.68%0.9=59.11%.

2) По условию . Требуется найти . Применим формулу

.

Тогда ,

, .

. Так как , то . По таблице найдём . Отсюда г. Таким образом, можно утверждать, что с вероятностью 0.95 масса отдельного клубня картофеля не превзойдёт 159.5 г.

Пример 4. Автомат изготавливает шарики для подшипников. Обозначим СВ Х={отклонение фактического диаметра шарика от проектного}. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0.7 мм. СВ Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0.4 мм. Найти число годных шариков среди 100 изготовленных.

Решение. По условию . Воспользуемся формулой . Так как СВ Х - отклонение, то

. Тогда .

Таким образом, вероятность отклонения, по абсолютной величине меньшего 0.7, равна 0.92. Это означает, что из 100 изготовленных шариков примерно 92 окажутся годными.

Пример 5. Станок изготавливает детали. Обозначим СВ Х={фактический размер детали}. Эта СВ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 мм (проектный размер) и средним квадратическим отклонением 0.5 мм. Годными считаются детали, размер которых заключён между 23.5 мм и 25.5 мм. Определить: 1) процент бракованных деталей; 2) процент деталей, диаметр которых отклоняется от проектного на величину, не превышающую 0.2 мм.

Решение. 1) По условию .

Воспользуемся формулой .

Тогда

=.

Это означает, что годные детали составляют 84%, а бракованные – 16%.

2) По условию . В этом случае воспользуемся формулой . Тогда

. Это означает, что 31% деталей имеют диаметр, который отклоняется от проектного на величину, не превышающую 0.2 мм.

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Какая случайная величина называется распределённой по биномиальному закону?

2. Какая случайная величина называется распределённой по закону Пуассона?

3. Какая случайная величина называется равномерно распределённой в интервале?

4. Какая случайная величина называется распределённой по нормальному закону?

5. Как определяется вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал?

6. Как вычисляется вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания?

7. Как формулируется правило «трёх сигм»?

10