Лінії впливу м і q в перерізах балки

Вигинаючий момент в перерізі Кпрольоту, що знаходиться на відстаніхвід лівої опори можна знайти за залежністю:

.

По аналогії з цією залежністю можна записати залежність для побудови лінії впливу вигинаючого моменту в будь-якому перерізі нерозрізної балки, що теж складається з трьох доданків (ліній впливу):

. (2.21)

де – лінія впливув перерізі для простої балки на двох опорах довжиною;

–лінія впливу лівого від перерізу опорного моменту , кожна ордината якої домножена на величину;

–лінія впливу правого від перерізу опорного момента , кожна ордината якої домножена на величину.

Оскільки лінії впливу опорних моментів уже побудовані, то всі необхідні ординати лінії впливу легко підрахувати теж в табличній формі (див. приклад розрахунку).

Для побудови лінії впливу поперечної сили в будь-якому перерізі () скористаємося формулою Журавського:

. (2.22)

Як видно, лінія впливу поперечної сили () також складається з трьох ліній впливу. Ординатизручно підраховувати в табличній формі (див. приклад розрахунку).

Лінії впливу опорних реакцій нерозрізної балки

Для побудови лінії впливу будь-якої опорної реакції скористаємося такою формулою:

. (2.23)

За аналогією з попередніми лініями впливу бачимо, що лінія впливу опорної реакції нерозрізної балки складається з чотирьох ліній впливу. Ординати лінії впливу легко та зручно підраховувати в табличній формі (див. приклад розрахунку). Слід зауважити, що при побудові лінії впливувиникає два випадки:

– коли шукають для крайньої опори, то лінія впливу будується як для простої балки (рис. 2.18а);

– коли шукають для проміжної опори, то лінія впливу збирається з двох сусідніх прольотів (лівого та правого) (рис. 2.18б).

Рисунок 2.18

Слід також звернути увагу на те, що розглянуті лінії впливу окреслені кубічною параболою, а будь-які лінії впливу на консолях – завжди прямолінійні.

Побудову ліній впливу опорних моментів, ,,розглянемо на прикладі нерозрізної балки, що зображена на рис. 2.15а.

Приклад

Для заданої нерозрізної балки (рис. 2.15а) побудувати лінії впливу опорних моментів, лінії впливу ів перерізіК(середина прольоту), лінію впливу опорної реакції(рис. 2.19).

Приймемо в кожному прольоті по три перерізи ().

а) Побудова ліній впливу опорних моментів

Послідовно встановлюємо одиничну силу в прийнятих перерізах і визначаємо всі опорні моменти. Результати підрахунку зручно вести в табличній формі (див.табл. 2.4). Кожний рядок цієї таблиці містить у собі ординати лінії впливу того чи іншого опорного моменту.

Таблиця 2.4

Опорні моменти	Прольот 1			Прольот 2			Прольот 3			Права консоль
	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ
	-0.63	-0.67	-0.38	0.42	0.42	0.21	-0.05	-0.05	-0.04	0.07
	-0.06	-0.15	-0.17	-0.83	-0.83	-0.41	0.09	0.10	0.07	-0.14
	0.02	0.05	0.06	-0.35	-0.72	-0.74	-0.25	-0.28	-0.18	0.38
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-2.0

Коли рухоме одиничне навантаження знаходиться в перерізах прольоту , то опорні моментитазнаходимо за формулами (2.19) і (2.20), а опорні моментита– за правими моментними фокусними відношеннями. Так, коли одиничне навантаження знаходиться в перерізіІпрольоту, то маємо:

,

.

Підставляючи в наведені залежності для перерізів ІІіІІІвідповідніта знаходимоідля цих перерізів. Результати підрахунків заносимо в таблицю 2.4.

За правими моментними фокусними відношеннями знаходять інші опорні моменти (для всіх перерізів):

, аналогічно .

Отримані результати заносять в таблицю 2.4 (прольот ).

Аналогічно, коли рухоме навантаження знаходиться в перерізах прольоту , тоді опорні моментиізнаходимо за формулами (2.19) і (2.20), опорний моментзнаходимо через ліве моментне фокусне відношення (навантаження знаходиться правіше від опори, на якій знаходять опорний момент), а опорний момент– за правим моментним фокусним відношенням (навантаження знаходиться лівіше).

Наприклад, коли одиничне навантаження знаходиться в перерізі ІІ прольоту, маємо:

,

.

Через ліве моментне фокусне відношення знаходимо :

.

Через праве моментне фокусне відношення відношення знаходимо :

.

Отримані результати знову ж таки заносимо в таблицю 2.4 (прольот).

Рисунок 2.19

У випадку, коли одиничне навантаження знаходиться в перерізах прольоту , опорні моментиізнаходимо за формулами (2.19) та (2.20), а опорні моментиі– за лівими моментними фокусними відношеннями.

Розглянемо випадок, коли одиничне навантаження знаходиться в перерізі ІІІ прольоту:

,

Нагадаємо, що у випадку, коли в чисельнику і знаменнику маємо нескінченність, то від неї позбавляються шляхом ділення кожного члену виразу на нескінченність.

Через ліве моментне фокусне відношення знаходимо:

, аналогічно .

Отримані результати заносимо в таблицю 2.4 (прольот).

Коли одиничне навантаження знаходиться в перерізі на правій консолі, тоді спочатку знаходимо опорний момент , а потім за лівими моментними фокусними відношеннями знаходимо опорні моменти,і:

.

,

,

.

Отримані результати заносимо в таблицю 2.4 (права консоль).

За даними таблиці 2.4 побудовано лінії впливу опорних моментів (рис. 2.19б,в,г,д).

б) Побудова ліній впливу вигинаючого моменту в перерізі балки

Побудуємо лінію впливу вигинаючого моменту в перерізі К, який знаходиться посередині прольоту. Застосуємо формулу (2.21):

Як бачимо, лінія впливу вигинаючого моменту в будь-якому перерізі складається з трьох ліній впливу. Підрахунок ординат лінії впливу вигинаючого моменту в перерізі К зручно вести в табличній формі (табл. 2.5).

Таблиця 2. 5

Лінії впливу	Прольот 1			Прольот 2			Прольот 3			Права консоль
	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ
	0	0	0	1.0	2.0	1.0	0	0	0	0
	-0.03	-0.08	-0.09	-0.42	-0.42	-0.21	0.05	0.05	0.04	-0.07
	0.01	0.03	0.03	-0.18	-0.36	-0.37	-0.13	-0.14	-0.09	0.19
	-0.02	-0.05	-0.06	0.40	1.22	0.42	-0.08	-0.09	-0.05	-0.12

Лінія впливу побудована на рис. 2.19е. Користуючись даними таблиці2.4 заповнюємо таблицю2.5, тобто знаходимо ординатита. Просумувавши ординати трьох ліній впливу, отримаємо ординати лінії впливу вигинаючого моменту в перерізіКнерозрізної балки. Лінія впливуокреслена кубічною параболою й показана на рис. 2.19ж.

в) Побудова ліній впливу поперечної сили в перерізі балки.

Побудуємо лінію впливу поперечної сили Qв тому ж перерізіК. Скористаємося формулою (2.22):

Лінія впливу побудована на рис. 2.19з. Користуючись даними таблиці2.4, знаходимо ординати інших ліній впливу й отримані результати заносимо в таблицю2.6. Видно, що ординати ліній впливу опорного моментуМ, з таблиці2.4 потрібно взяти з протилежними знаками.

Таблиця 2.6

Лінії впливу	Прольот 1			Прольот 2			Прольот 3			Права консоль
	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ
	0	0	0	-0.25		0.25	0	0	0	0
	0.003	0.006	0.008	0.04	-0.09	-0.09	-0.03	-0.04	-0.02	0.05
	0.008	0.019	0.020	0.10	0.10	0.05	-0.011	-0.013	-0.009	0.02
	0.011	0.025	0.028	-0.19		0.21	-0.041	-0.053	-0.029	0.07

Останній рядок таблиці 2.6 містить ординати лінії впливу, яка показана на рис. 2.19и, яка теж окреслена кубічною параболою.

г) Побудова ліній впливу опорної реакції нерозрізної балки

Побудуємо лінію впливу опорної реакції нерозрізної балки (рис. 2.19). Для побудови лінії впливувикористаємо формулу (2.23):

.

Видно, що лінія впливу опорної реакції складається з чотирьох ліній впливу. Користуючись даними таблиці 2.4, і зваживши на те, що ординати лінії впливу опорного моментупотрібно взяти з протилежним знаком, заповнюємо таблицю 2.7.

Лінія впливу опорної реакції побудована на рис. 2.19к. Ординати лінії впливу опорної реакції заданої нерозрізної балки наведені в таблиці 2.7 (останній рядок).Лінія впливу опорної реакції побудована на рис. 2.19л. Вона має вигляд кривої третього порядку.

Таблиця 2.7

Лінії впливу	Прольот 1			Прольот 2				Прольот 3			Права консоль
	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ		І	ІІ	ІІІ
	0	0	0	0.25	0.5	0.75	1.0	0.75	0.5	0.25	0
	-0.008	-0.19	-0.02	-0.1	-0.1	-0.051	0	0.011	0.013	0.009	-0.017
	-0.008	-0.019	-0.023	0.131	0.27	0.276	0	0.094	0.105	0.068	-0.143
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-0.5
	-0.016	-0.038	-0.043	0.281	0.67	0.975	1.0	0.855	0.618	0.327	-0.660