Тема 5. Числовые характеристики случайной величины

План темы

1. Математическое ожидание и его свойства.

2. Дисперсия и ее свойства.

3. Среднее квадратичное отклонение.

4. Метод моментов.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при практическом изучении случайных величин важную роль играют некоторые числовые характеристики распределения, позволяющие определить среднее значения случайной величины, меру случайного рассеивания возможных значений случайной величины и т.д.

Например, при изучении закона распределения заработной платы работников предприятия прежде всего ставится вопрос о средней заработной плате, а также о коэффициенте ее дифференциации, т. е. о мере случайного рассеивания.

Кроме того, числовые характеристики случайных величин важны и при теоретических исследованиях. Так, по одной или двум числовым характеристикам (среднему значению, дисперсии) можно однозначно восстановить используемые в статистике модельные законы распределения (биноминальной, пуассоновский, нормальный и т.д.).

К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и т.п.

1. Математическое ожидание и его свойства.

Рассмотрим дискретную случайную величину, закон распределения которой определяется таблицей

Таблица 1.

			…
			…

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятность:

.

Сформулированное определение математического ожидания применяется в том случае, когда множество значений случайной величины конечно. Если множество значений случайной величины счетно, т.е. закон распределения случайной величины задается таблицей 2

Таблица 2.

				…		…
				…		…		,

то математическим ожиданием дискретной случайной величины называется ряд

,

при условии, что этот ряд абсолютно сходится.

Если рассматривается непрерывная случайная величина с заданной дифференциальной функцией распределения, томатематическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл первого рода

,

при условии, что этот интеграл абсолютно сходится.

Математическое ожидание является величиной постоянной, т.е. представляет числовую характеристику случайной величины, которая имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины.

С вероятной точки зрения математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим дискретную случайную величину, закон распределения которой задается таблицей 1

Таблица 1.

			…
			…

Обозначим через наименьшее, а черезнаибольшее из всех возможных значений случайной величины. Тогда для любоговыполняется неравенство

.

Умножим записанные неравенства соответственно на и сложим все полученные неравенства, имеем

.

Так как постоянный множитель можно выносить за знак суммирования, то из последних неравенств находим

,

откуда с учетом равенства получаем

.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины размера выигрыша в лотереи (см. пример 1 п.3.2), если закон ее распределения задан таблицей

Таблица 3

	0	10	20	50
	0,5	0,25	0,15	0,1	.

Решение.