Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4603 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Инженерно-строительный институт СФУ
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

М4 дифуры

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
1.57 Mб
Скачать
☆

3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

МАТЕМАТИКА

Часть 4

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов 1 курса

направления «Строительство», бакалавриат

Красноярск

СФУ

2012

4

Введение

Четвертая контрольная работа «Обыкновенные дифференциальные уравнения» включает разделы «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка» и «Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами».

В результате выполнения четвертой работы студент должен:

•Знать:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Определение дифференциального уравнения, его порядка и методы его решения. Определение задачи Коши и теорему Коши для уравнений 1-го порядка. Определение общего и частного решения основных типов дифференциальных уравнений 1 -го порядка.

Определение дифференциального уравнения высшего порядка, допускающего понижение порядка, способы понижения порядка и методы его решения.

Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений п-го порядка. Методы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

•Уметь:

Решать основные типы дифференциальных уравнений 1 -го порядка.

Находить общее и частное решения дифференциальных уравнений первого и высших порядков, допускающих понижение порядка.

Решать дифференциальные уравнения второго порядка.

Находить фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения, строить общее решение однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.

Владеть

Навыками решения основных типов дифференциальных уравнений.

Оформление индивидуального задания.

Всоответствии с номером по списку группы из каждого раздела выбирается задача. Решение задач оформляется грамотно, понятно, с подробными пояснениями. Приводятся все необходимые определения и теоремы. В тексте должны быть указаны точные ссылки на используемые утверждения.

Вприложении приведена таблица интегралов и формулы, необходимые для выполнения заданий.

5

ЗАДАНИЕ 1.

Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (F).

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

1.

y x e 2 , (F) : xy '

(1 x2 ) y

2.

y

sin x

,

(F) : xy '

y cos x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

3.

y 5e 2 x

ex

, (F) : y ' 2y ex

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y 2 c 1 x2 , (F) : (1 x2 ) y ' xy 2x

 

 

 

 

5.

y x 1 x2 , (F) : yy ' x 2x3

6.

7.

y

 

c

, (F) : y '

tgx y 0

 

 

 

 

cos x

y

1

 

, (F) : y '

3y2

3x c

 

 

 

8. y ln(c ex ), (F ) : y ' ex y

9.

y

 

x2

 

 

cx, (F) : (x2

y2 )dx

xdy

0

10.

y

 

x(c

ln x), (F) : (x

y)dx

xdy

0

 

 

 

tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

y

 

e

 

,

(F ) : y 'sin x y ln y

 

12.

y

1

x

,

(F) : y '

1

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

13.

y

 

b

 

x

,

 

 

(F) : y

xy '

b(1

x2 y ')

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2x

 

 

 

14.

y

3 2

 

 

 

3x

 

3x2 ,

(F ) : yy '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ex

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

y

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

1,

(F) : (1

 

ex ) yy '

ex

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

y

tg ln 3x,

 

(F ) : (1

y2 )dx

 

xdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

y

 

 

 

2

 

 

1,

 

 

 

(F ) : 1

y2

 

xyy '

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(F) : ln x y3

3xy2 y '

 

 

18.

y

3 x

 

 

 

ln x

1,

 

 

0

19.

y

 

a

 

 

 

 

7x

,

 

 

 

(F) : y

xy '

a(1

x2 y ')

 

1

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

y

atg

 

 

 

1,

 

 

(F) : a2

y2

 

2x

 

ax

x2

 

y ' 0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

y

 

x

 

x

1,

(F) : 8xy '

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

y

(x2

 

 

 

1)ex2 ,

 

 

(F) : y ' 2xy

 

2xex2

 

 

 

23.

24.

y

2x

 

1

, (F) : x(x3

1) y ' (2x3 1) y

x3

2

x3 1

x

 

x

 

 

 

 

y ex x2

2ex , (F) : y ' y 2xex x2

 

 

25. y

x cos x 3x, (F ) : xy ' y x2 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

26.

y

 

 

 

 

1

 

 

 

,

 

(F) : 2sin x y '

y cos x

y3 (x cos x

sin x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

y

 

 

 

x

 

x2

,

(F) : x(x 1) y '

y

x2 (2x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

y

 

 

 

 

x

 

,

 

(F) : y '

ytgx

sec x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

29.

y

 

(x

 

 

1)n

 

(ex

1),

(F) : y '

 

ny

ex (1 x)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30. y

2

sin x

 

cos x,

 

(F) : x sin x

y '

(sin x

x cos x) y

sin xcos x x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. а) ex 3 y dy xdx;

б) y xy xsec( y / x)

2. а) y sin x y ln y ;

б) ( y2

3x2 )dy 2xydx 0

3. а) y

2x 1 ctgy ;

б) x 2y dx xdy 0

4. а) sec2 x tgydy sec2 y tgxdx 0 ; б) x y dx x y dy 0

 

8

5. а) 1 ex ydy ey dx 0 ;

б) y2 2xy dx x2dy 0

6. а) ( y2

3)dx ex dx ydy 0;

б) y2

x2 y xyy

7. а) sin y cos xdy cos y sin xdx ;

б) xy y xtg y / x

 

 

 

y

x

2y

8. а) y

2y 1 tg x ;

б)

 

 

2x

y

 

 

 

 

9. а) xy x3 y y 1 y2 ;

б) xy y

x y ln x y / x

10. а) 1 ex yy ex ;

б) xy y cos ln y / x

11. а) sin x tg ydx dy / sin x 0 ;

б) y

xy dx xdy

12. а) 3ex sin ydx 1 ex cos ydy 0 ; б) xy

x2

y2

y

13. а) y e2x / ln y ;

б) y x y

x ey

 

9

14. а) 3x y dy xdx 0 ;

б) y y / x 1

15. а) cos x 2 y cos x 2 y y sec x ; б) y x x y 0

16. а) y ex x 1 y2 ;

 

 

 

б) ydx 2 xy x dy 0

17. а) ctg x cos2 ydx sin2 x tg ydy 0 ;

б) xdy ydx

x2 y2 dx

18. а) sin xy y cos x 2 cos x ;

б) (4x2

3xy 3y2 )dx 4y2 dy 0 .

19. а) 1 1 y ey

0 ;

б) x y ydx x2dy 0

20. а) y ctg x y 2 ;

б) xy y2

2x2 xy y

21. а) e x / xdy dx / cos2 y 0 ;

б) x2

2xy y xy y2

22. а) ex sin ydx tg ydy 0 ;

 

 

 

б) 2 xy y dx xdy 0

 

10

23. а) 1 e3 y xdx e3 y dy ;

б) xy y ln y / x 1 0

24. а) sin 2x y sin 2x y dx dy / sin x ;

б) x2 y2 dx 2xydy

25. а) y xy 2 1 x2 y ;

б) y2

2xy dx x2dy 0

26. а) y xy 1 x2 y ;

б) x 2 y dx xdy 0

27. а) x 4 dy xydx 0 ;

б) 2x y dx x y dy 0

28. а) y y y2

0 ;

б) 2x3 y y 2x2 y2

29. а) y2 ln xdx y 1 xdy 0 ;

б) x2 y y x y

30. а) x xy2 dy ydx y2dx 0 ;

б) y x / y y / x

11

ЗАДАНИЕ 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения.

1. x2 1 y 4xy 3, y 0 0

2.

 

y

y tg x

sec x,

y

0

0

 

 

3.

1 x y y

e x , y 0

0

 

 

4.

xy 2 y 2x4 , y 1 0

 

 

 

 

 

5.

y 2x x2

y , y 0

0

 

 

 

 

 

6.

 

y

 

y

ex ,

y 0

 

1

 

 

 

 

 

7.

 

xy

 

y

xe

x2

0,

y 1

 

1

e

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

x2 y

 

xy 1 0,

y 1

0

 

 

 

9.

cos ydx

x

2cos y sin ydy, y

0

/ 4

10.

yx

 

x

4y3

3y2 ,

y

2

 

1

 

11.

2x

y

dy

ydx

 

4 ln ydy,

y

0 1

12.

y

 

y /

3x

y2 ,

y

0

1

 

 

 

13.

1

 

2xy

y

y

y

1 , y

0

 

1

 

14.

x

y

y

 

ex ,

y 1

0

 

 

 

 

 

15.

y

 

x y

x cos x ,

y

/ 2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

16.

xy

1 ln x

2y,

y

e

0

 

 

 

17.

2e y

x

y

 

1,

y

0

0

 

 

 

18. xy

x

1 y

 

3x2e x ,

y 1

0

19.

x

y2

dy

ydx,

y

0

1

 

 

 

20.

sin2

y

x ctg y

y

1,

y 1

 

 

/ 2

21.

x

1 y

y

x3

 

x2 ,

y

0

0

22.

6xy

2y

x2

 

0,

y 1

0

 

 

 

23.

xy

y

 

sin x,

 

y

/ 2

2 /

 

 

x2

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

24.

1

y

xy

 

x,

y

2

1

25.

1

x2

y

 

xy

 

1,

y

0

1

 

 

 

26.

y ctg x

y

2 cos2 x ctg x,

y

0

0

27.

x2 y

 

2xy

3,

 

y 1

 

1

 

 

 

28.

y

2xy

xe x ,

y 0

 

0

 

 

 

29.

y 3x2 y

x2ex3

0,

y(0)

0

 

 

 

 

30.

xy

y

 

ln x

1,

y 1

0 .

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности