М4 дифуры
.pdf17. а) y 6 y 9 y 0 ;
18. а) y 7 y 8 y 0 ;
19. а) y 3y 4 y 0 ;
20. а) y 10 y 16 y 0 ;
21. а) y 3y 18y 0 ;
22. а) y 6 y 13y 0 ;
23. а) y 2 y y 0;
24. а) y 6 y 8 y 0 ;
25. а) 9 y 6 y y 0 ;
26. а) y 6 y 10 y 0 ;
23
б) y 2 y 2 y 0 ;
б) y 4 y 13y 0 ;
б) y 6 y 13y 0 ;
б) y 8 y 16 y 0 ;
б) y 2 y 5 y 0 ;
б) y 2 y 15y 0 ;
б) y 6 y 25y 0 ;
б) 4 y 4 y y 0 ;
б) y 6 y 8 y 0 ;
б) y 4 y 4 y 0 ;
|
24 |
27. а) 4 y 8 y 5 y 0 ; |
б) y 6 y 10 y 0 ; |
28. а) y 8 y 25y 0 ; |
б) 9 y 3y 2 y 0 ; |
29. а) 6 y 7 y 3y 0 ; |
б) 4 y 4 y y 0 ; |
30. а) 9 y 6 y y 0 ; |
б) y 12 y 37 y 0 ; |
ЗАДАНИЕ 9.
Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения.
1. |
y 7 y 6 y 0, y 0 |
0, y 0 |
0, y 0 30 |
|
|||||
2. |
y |
9y |
0, y 0 1, y 0 |
1, y 0 |
0, y 0 |
0, y 0 0 |
|||
3. |
y |
y 0, y 0 |
0, y 0 |
0, y 0 |
1 |
|
|||
4. |
y 4 y 0, y 0 |
0, y 0 |
2, y 0 |
4 |
|
|
|||
5. |
y |
y 0, y 0 |
0, y 0 1, y 0 1 |
|
|
||||
6. y |
y 0, y 0 |
0, y 0 |
|
2, y 0 |
4 |
|
|
||
7. |
y |
2 y |
2 y y |
0, y 0 |
0, y 0 |
0, |
y 0 30, |
y 0 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y |
y 5y 3y 0, y 0 |
0, y 0 1, y 0 |
|
14 |
|
|||||||||||||||||
9. |
y |
y 0, y 0 |
|
0, y 0 1, y 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. |
y |
5y |
8y |
4 y |
|
0, |
y |
0 |
1, |
y |
|
0 |
|
1, |
y |
0 |
|
0 |
|
||||
11. |
y |
3y |
2y |
0, |
y |
0 |
0, y |
0 |
|
0, |
y |
|
0 |
2 |
|
|
|
||||||
12. |
y |
3y |
3y |
y |
|
0, |
|
y |
0 |
|
1, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
1 |
|
|
|||
13. |
y |
2 y |
9 y |
18y |
0, |
y |
0 |
|
|
2.5, |
|
y |
0 |
|
0, |
y |
|
0 |
0 |
||||
14. |
y |
9 y |
0, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
9, |
y |
|
0 |
|
18 |
|
|
|
|
||||
15. |
y |
13y |
12y |
0, |
|
y |
0 |
0, |
y |
0 |
|
|
1, |
y |
0 |
133 |
|
||||||
16. |
y |
5y |
4 y |
0, |
|
y |
0 |
|
2, |
y |
0 |
|
|
1, |
y |
0 |
2, |
y 0 |
0 |
||||
17. |
y |
10 y |
9 y |
0, |
|
y |
0 |
0, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
8, |
y |
0 |
24 |
|||||
18. |
y |
y |
y |
y |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
|
|
1, |
y |
0 |
0 |
|
|
|
||||
19. |
y |
3y |
3y |
y |
0, |
|
y 0 |
0, |
y |
|
0 |
0, |
y |
0 |
|
4 |
|
||||||
20. |
y |
y |
4 y |
4 y |
|
0, |
y |
0 |
|
1, |
y |
0 |
|
0, |
y 0 |
6 |
|||||||
21. |
y |
2y |
y |
0, |
|
y |
0 |
0, |
y |
0 |
0, |
|
y |
0 |
|
1, |
y |
0 |
2 |
|
|||
22. |
y |
y |
0, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
0, |
y |
|
0 |
|
0, |
y |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
23. |
y |
16 y |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
8 |
||
24. |
y |
y |
4 y |
4 y |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
|
0 |
12 |
|
|
25. |
y |
2 y |
9 y |
18y |
0, |
y 0 |
1, |
y |
0 |
|
3, |
y |
0 |
9 |
|
||
26. |
y |
6 y |
|
9 y |
|
0, |
y |
0 |
y 0 |
y |
0 |
y |
0 |
0, y |
0 27 |
||
27. |
y |
y |
y |
y |
|
0, |
y 0 |
1, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
1 |
|
28. |
y |
2 y |
y |
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
2, |
y |
0 |
3 |
|
|
29. |
y |
5y |
4 y |
0, |
y 0 |
1, |
y 0 |
|
4, y |
0 |
|
1, y |
0 |
16 |
|
30. |
y |
10 y |
9 y |
0, |
y |
0 |
1, |
y |
0 |
3, |
y |
0 |
9, |
y 0 |
27 |
ЗАДАНИЕ 10.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.
1. |
y |
2 y |
y |
12cos 2x |
9sin 2x, y |
0 |
|
2, |
y |
0 |
0 |
|||
2. |
y |
6 y |
9 y |
9x2 |
39x |
65, |
y 0 |
|
1, |
y |
0 |
1 |
|
|
3. |
y 2 y 2 y 2x2 |
8x |
6, y 0 1, y 0 4 |
|
|
|
||||||||
4. |
y |
6 y |
25y |
9sin 4x |
24cos 4x, |
y |
0 |
2, |
y |
0 |
|
2 |
||
5. |
y |
14 y |
53y |
53x3 42x2 |
59x |
14, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
y |
6 y |
ex |
cos 4x |
8sin 4x , |
y 0 |
|
0, |
y 0 |
5 |
|
|
||||||||
7. |
y 4 y 20 y 16xe2 x , y 0 1, y 0 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
y |
12 y |
36 y |
32cos 2x |
24sin 2x, |
|
y |
0 |
2, |
y |
0 |
4 |
||||||||
9. |
y |
y |
x3 |
4x2 7x |
10, |
|
y |
0 |
|
2, |
|
y |
0 |
|
3 |
|
|
|||
10. |
y |
y |
14 |
16x e x , |
y 0 |
|
0, |
y |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
11. |
y |
8y |
16 y |
16x2 |
16x |
66, |
|
y |
0 |
|
3, y |
0 |
0 |
|
|
|||||
12. |
y |
10 y |
34 y |
9e 5x , |
y |
0 |
|
0, |
|
y |
0 |
6 |
|
|
|
|
||||
13. |
y |
6 y |
25y |
32x |
12 sin 4x, |
y |
0 |
|
4, |
y |
0 |
0 |
|
|||||||
14. |
y |
25y |
ex |
cos5x |
10sin 5x , |
y |
0 |
3, |
y |
0 |
|
4 |
|
|||||||
15. |
y |
2 y |
5y |
|
8e x sin 2x, |
y |
0 |
|
2, |
y |
0 |
|
6 |
|
|
|||||
16. |
y |
10 y |
25y |
e5x , y 0 |
|
1, |
y |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
17. |
y |
y |
12 y |
|
16x |
22 e4 x , |
|
y |
0 |
|
3, |
y |
0 |
|
5 |
|
|
|||
18. |
y |
2 y |
5y |
|
5x2 |
6x |
12, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
|
2 |
|
|
|||
19. |
y |
8y |
16 y |
16x3 |
24x2 |
|
10x |
8, |
y |
0 |
1, |
y |
0 |
3 |
||||||
20. |
y |
2y |
37 y |
36ex cos 6x, |
|
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
21. |
y |
8y |
16 48x2 |
128x3 , |
y |
0 |
|
1, |
y 0 |
14 |
|||||
22. |
y |
12 y |
36 y 72x3 |
18, |
y |
0 |
1, |
|
y |
0 |
0 |
|
|||
23. |
y |
3y |
40x 58 e2 x , |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
2 |
|
||||
24. |
y |
9 y |
18y |
26cos x |
8sin x, |
y 0 |
|
0, |
y 0 |
2 |
|||||
25. |
y |
8y |
18x |
60x2 |
32x3 , |
y |
0 |
5, |
y |
0 |
2 |
||||
26. |
y |
3y |
2 y |
sin x |
7 cos x, |
y |
0 |
|
2, |
y |
0 |
7 |
|||
27. |
y |
2 y |
6x2 |
2x |
1, |
y |
0 |
2, |
y |
0 |
|
2 |
|
|
|
28. |
y |
16 y |
32e4 x , y |
0 |
|
2, |
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
29. |
y |
5y |
6 y |
52sin 2x, |
y |
0 |
|
2, |
y |
0 |
2 |
|
|||
30. |
y |
4 y |
8e2 x , |
y 0 |
|
1, |
y |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ 11.
Решить систему дифференциальных уравнений, u=u(x), v=v(x).
|
u ' 2u v; |
|
u ' |
u v; |
|
|
1. |
v ' 3u v. |
2. |
v ' |
4u v. |
3. |
|
|
|
|
||||
|
u ' |
2u 3v; |
|
u ' |
u v; |
|
4. |
v ' |
u. |
5. |
v ' |
4u 4v. |
6. |
|
|
|
u ' u 8v; v ' u v.
u ' 2u v; v ' 3u 2v.
u ' 6u v;
7.
v ' 3u 2v.
u ' u 2v;
10.
v ' 3u 4v.
u ' 8u 3v;
13. v ' 2u v.
u ' u 2v;
16.
v ' 3u 6v.
u ' u 4v;
19.
v ' u v.
u ' 7u 3v;
22.
v ' u 5v.
u ' 5u 8v;
25.
v ' 3u 3v.
u ' 5u 2v;
28.
v ' u 6v.
29
|
u ' |
2u v; |
|
u ' |
v; |
8. |
v ' |
6u 3v.; |
9. |
v ' |
u. |
11. |
u ' u 2v; |
12. |
u ' 4u 2v; |
|
v ' 2u v. |
v ' 4u 6v. |
|||
|
|
14. |
u ' 3u v; |
15. |
u ' 2u 3v; |
|
v ' u 3v. |
v ' 5u 4v. |
|||
|
|
17. |
u ' 5u 4v; |
18. |
u ' u 2v; |
|
v ' 4u 5v. |
v ' 4u 3v. |
|||
|
|
20. |
u ' 3u 2v; |
21. |
u ' u 4v; |
|
v ' 2u 8v. |
v ' 2u 3v. |
|||
|
|
|
u ' 4u v; |
|
u ' 2u 8v; |
23. |
v ' u 4v. |
24. |
v ' u 4v. |
|
|
|
u ' 3u v; |
|
u ' u 5v; |
26. |
v ' 8u v. |
27. |
v ' u 3v. |
|
|
29. |
u ' 6u 3v; |
30. |
u ' 4u 8v; |
|
v ' 8u 5v. |
v ' 8u 4v. |
|||
|
|
30
Образцы решения и оформления задач
ЗАДАНИЕ 1.
Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (F).
|
C2 |
x2 |
|
y |
|
|
, (F ) : x y xy ' 0 |
2x |
|
||
|
|
|
Решение.
Найдем производную данной функции
|
|
(C2 |
x2 ) ' 2x (2x) '(C2 |
x2 ) |
2x 2x 2(C2 |
x2 ) C2 |
|
3x2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
y ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
C2 x2 |
y ' |
|
C2 |
3x2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставив в данное уравнение |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
убедимся, что оно обращается в тождество: |
|
x |
y |
xy ' |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
C2 |
x2 |
|
x |
C2 |
|
3x2 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 2x2 |
x(C2 x2 ) x(C2 3x2 ) 2x3 |
xC2 |
x3 |
xC2 |
|
3x3 |
|
0 |
0; |
0 |
0, |
||||||||||||
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тождество получено.
ЗАДАНИЕ 2.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
|
|
|
|
|
б) (x2 |
y2 )dx 2xydy 0 |
а) ( xy |
|
x ) y ' y 0 ; |
|
|
|
31 |
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ( xy |
x ) y ' y 0 |
|
|
||||
Выразим производную через дифференциалы переменных: y ' |
dy |
, |
|||||
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэффициент |
при dy на |
||||||
множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
dy |
|
|
( xy |
x |
y 0, |
|||||
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
(xy x )dy ydx,
( |
|
y |
1) xdy |
|
ydx. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
y |
1) |
|
dy |
||||||||||||
Далее разделяем переменные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, интегрируя, находим общий интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
y |
1) |
|
dy |
|
|
1 |
|
|
|
dx, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( y 2 |
|
|
|
x 2 dx, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
y |
ln |
y |
|
2 |
|
|
x |
C. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx, x
Ответ: |
С 2 y ln |
y |
2 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) (x2 |
y2 )dx 2xydy |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разрешая данное уравнение относительно производной |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 ( |
y |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dy |
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
), |
|
|
|||
|
|
dx |
|
2xy |
|
2 |
|
y |
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Устанавливаем, что она является функцией только отношения переменных |
y |
, |
||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. устанавливаем, что данное уравнение является однородным.
Далее вводим новую функцию u, полагая y=ux, y’=u+xu’ и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:
|
(x2 |
|
y2 ) |
|
|
2xy |
y '; |
|||||||||
(x2 |
(ux)2 ) 2x(ux) |
(u xu '); |
||||||||||||||
|
u |
xu ' |
1 |
|
u2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
2u |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u |
x |
|
du |
1 |
|
u2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
dx |
|
|
|
|
2u |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u2 |
|||||||
|
udx |
xdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||
|
|
|
|
2u |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
xdu |
1 |
|
|
u |
2 |
dx. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2u |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
du |
dx |
|
|
|
|
Разделим переменные: 1 u2 |
x |
и, интегрируя, найдем