М4 дифуры
.pdfЗАДАНИЕ 4.
Найти общее решение уравнения.
1. y y x y
3. y 2y y2ex
5. xydy |
y2 x dx |
7. y x3 sin y xy 2y
9. 2 y x / y xy / x2 1
11. xy2 y x2 |
y3 |
13. y x y |
xy2 |
15. xy 2x3 y y
13
2. ydx 2xdy 2y x sec2 ydy
4. y y4 cos x y tg x
6. xy 2y x5 y3ex |
0 |
8. 2x2 y ln y x y |
y |
10. xy 2x2 y 4 y
12. x 1 y y2 |
y |
14. y xy |
y3e x2 |
16. y xy x3 y3
17. y x / ye2x |
y |
18. yx x |
yx2 |
|
|
14 |
|
19. x x 1 y y3 |
xy |
20. 2x3 yy 3x2 y2 |
1 0 |
21. dx / x 1/ y 2x dy |
22. y x 3 y 3y |
23. xy y y2 ln x |
24. xdx |
x2 / y y3 dy |
25. y 2xy 2x3 y3 |
26. y y x / y2 |
27. y y tg x y2 cos x 0 |
|
|
|
28. y 2 y / x 2 y / cos2 x |
|
|
|
|
|
29. y y y2 cos x 0 |
30. y x y xy / x2 |
1 |
ЗАДАНИЕ 5.
Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством,
что в любой ее точке М нормальный вектор с концом на оси Oy имеет
длину, равную a, и образует острый угол с положительным направлением оси
Oy.
1.М0(15;1), a=25.
2.М0(12;2), a=20.
15
3.М0(9;3), a=15.
4.М0(6;4), a=10.
5.М0(3;5), a=5.
Найти линию, проходящую через точку М0 , если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении a:b
(считая от оси Oy).
6.М0(1;1), a:b =1:2.
7.М0(-2;3), a:b=1:3.
8.М0(0;1), a:b =2:3.
9.М0(1;0), a:b=3:2.
10.М0(2;-1), a:b=3:1.
Найти линию, проходящую через точку М0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b (считая от оси Oy).
11.М0(2;-1), a:b =1:1.
12.М0(2;1), a:b=2:1.
13.М0(-1;1), a:b =3:1.
14.М0(2;1), a:b=1:2.
15.М0(1;-1), a:b=1:3.
16
Найти линию, проходящую через точку М0 , если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении a:b (считая от оси Oy).
16.М0(1;2), a:b =1:1.
17.М0(2;1), a:b=1:2.
18.М0(1;3), a:b =2:1.
19.М0(2;-3), a:b=3:1.
20.М0(3;-1), a:b=3:2.
Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством,
что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси Ox имеет
проекцию на ось Ox, обратно пропорциональную абсциссе точки M. Коэффициент пропорциональности равен a.
21.М0(1;е), a=-1/2.
22.М0(2;е), a=-2.
23.М0(-1;√е), a=-1.
24.М0(2;1/е), a=2.
25.М0(1;1/е2), a=1/4.
Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством,
что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy, равную a.
26. М0(1;2), a=-1.
17
27.М0(1;4), a=2.
28.М0(1;5), a=-2.
29.М0(1;6), a=3.
30.М0(1;1), a=1.
ЗАДАНИЕ 6.
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.
1. |
y |
|
sin x, x0 |
/ 2, |
|
y 0 |
1, |
y |
0 |
0, |
y |
0 |
0 |
||||||
2. |
y |
1/ x, |
x0 |
2, |
y 1 |
|
1/ 4, |
y |
1 |
0, |
y |
1 |
0 |
|
|
||||
3. |
y |
1/ cos2 x, |
x0 |
/ 3, |
y |
0 |
|
1, |
y |
|
0 |
3/ 5 |
|
|
|||||
4. |
y''' |
|
6 |
, |
x0 |
2, |
y(1) |
|
0, |
y'(1) |
5, |
y''(1) |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y |
4cos 2x, |
x0 |
/ 4, |
y |
0 |
|
1, |
y |
|
0 |
3 |
|
|
|
||||
6. |
y 1/ 1 x2 , x0 |
1, y 0 |
|
0, y 0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||
7. |
xy |
2, |
x0 |
2, y 1 |
1/ 2, |
y |
1 |
0, |
|
y 1 |
0 |
|
|
||||||
8. |
y |
e2 x , x0 |
1/ 2, y 0 |
9 / 8, y 0 |
|
1/ 4, y 0 |
1/ 2 |
||||||||||||
9. |
y |
cos2 x, |
x0 |
, y |
0 |
1, |
y |
0 |
|
1/ 8, |
y |
0 |
0 |
18
10. y |
1/ |
1 x2 , |
x |
1, y 0 |
2, |
y 0 |
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
11. y |
1/ |
sin2 2x |
, x0 |
5 / 4 , |
y |
/ 4 |
/ 4, y |
/ 4 1 |
12. |
y |
x |
sin x, |
x0 |
5, |
y |
0 |
|
3, |
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
y |
arctg x, |
x0 |
1, |
y 0 |
0, |
y |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
y |
tg x / cos2 x, |
x0 |
/ 4, |
y |
0 |
1/ 2, |
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
15. . y |
ex / 2 |
1, x0 |
2, y 0 |
8, y 0 |
|
5, y 0 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
16. |
y |
x / e2x , |
x0 |
1/ 2, |
y |
0 |
|
1/ 4, |
y |
0 |
|
1/ 4 |
|
|
|
|
|
||||||
17. |
y |
sin2 3x, |
x0 |
/12, |
y 0 |
|
|
2 /16, |
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
18. |
y |
x sin x, |
x0 |
/ 2, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
0, |
y |
0 0 |
|
|
|
|
||||||
19. |
y |
sin4 x |
sin 2x, |
x0 |
5 |
/ 2, |
y |
/ 2 |
|
/ 2, |
y |
/ 2 |
1, |
y |
/ 2 |
1 |
|||||||
20. |
y |
cos x |
e x , |
x0 |
|
, |
y |
|
0 |
|
e, |
y |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||||
21. |
y |
sin3 x, |
x0 |
5 |
/ 2, |
y |
|
/ 2 |
|
7 / 9, |
y |
/ 2 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
y |
|
x |
sin 2x, |
x0 |
1, |
y |
0 |
|
1/ 8, |
y 0 |
|
1/ 8cos 2, |
y |
0 |
1/ 2 |
|
||||||
23. |
y " |
1/ |
|
cos2 |
x / 2 , |
x0 |
4 |
, |
y |
0 |
|
0, |
y |
0 |
1 |
|
|
|
|
19
24. |
y |
2sin x cos2 x, |
x |
/ 2, |
y |
0 |
5 / 9, |
y |
0 |
2 / 3 |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
y |
2sin2 x cos x, |
x |
, |
y |
0 |
1/ 9, |
y |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
y |
2sin2 x cos x |
sin3 x, |
x0 |
|
/ 2, |
y 0 |
0, |
y |
0 |
1 |
|
|||
27. |
y |
2sin2 x cos x |
cos3 x, |
x0 |
|
/ 2, |
y |
0 |
2 / 3, |
y |
0 |
2 |
|||
28. |
y |
x ln x, |
x0 |
2, y 1 |
5 /12, |
y |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
29. |
y |
1/ x2 , x0 |
2, |
y 1 |
|
3, |
y |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
30. |
y |
cos 4x, |
x0 |
, |
y 0 |
2, y |
0 |
15/16, |
y |
0 |
0 |
ЗАДАНИЕ 7.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
1. 1 x2 y xy 2 |
2. 2xy y |
y 2 |
1 |
3. x3 y x2 y 1 |
4. y y tg x sin 2x |
5. y x ln x y |
6. xy y x2ex |
20
7. y x ln x 2 y |
8. x2 y xy 1 |
9. y |
x / y |
10. xy |
y |
11. y |
y x |
12. xy'' y' x2 |
13. xy |
y ln y / x |
14. xy |
y ln x |
15. y tg x y 1 |
16. y 2x y 2 |
0 |
17. 2xy y |
y 2 |
1 |
18. y y / x 1 x x 1 |
19. y |
y tg x sec x |
20. y 2y ctg x sin3 x |
21. y 4y 2x2 |
22. xy y 2x2ex |
23. x y 1 y 0 |
24. y 4 y cos 2x |
|
|
21 |
|
25. y |
y sin x |
26. x2 y |
y 2 . |
27. 2xy y |
y 2 |
4 |
28. y x ln x y |
29. y ctg x y 2 |
30. 1 x2 y 2xy |
ЗАДАНИЕ 8
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.
1. а) y 10 y 25y 0 ; |
б) y 3y 2 y 0 ; |
2. а) y y 2 y 0 ; |
б) y 4 y 4 y 0 ; |
3. а) y 4 y 13y 0 ; |
б) y 3y 2 y 0 ; |
4. а) y 5 y 6 y 0 ; |
б) y 2 y 5 y 0 ; |
5. а) y 2 y 10 y 0 ; |
б) y y 2 y 0; |
6. а) y 2 y 17 y 0 ;
7. а) y y 6 y 0 ;
8. а) y 49 y 0 ;
9. а) y 5y 4 y 0 ;
10. а) y y 2 y 0 ;
11. а) 4 y 8y 3y 0 ;
12. а) y 4 y 20 y 0 ;
13. а) 9 y 6 y y 0 ;
14. а) 2 y 3y y 0 ;
15. а) y 10 y 21y 0 ;
22
б) y y 12 y 0 ;
б) y 4 y 20 y 0 ;
б) y 2 y 3y 0 ;
б) y 16 y 0 ;
б) y 4 y 4 y 0 ;
б) y 2 y 10 y 0 ;
б) y 3y 10 y 0 ;
б) y 4 y 21y 0 ;
б) y 4 y 8 y 0 ;
б) y 2 y 2 y 0 ;
16. а) y 10 y 29 y 0 ; |
б) y 8y 7 y 0 ; |