7. Виконують перерахунок координат з системи в систему :

Варіант 2 (для "ручного обрахунку")

1. Обчислюють кути β₁ і β₂ рішенням трикутника АВР по теоремі косинусів:

,

;

2. Обчислюють кут γ цього ж трикутника ;

3. Обчислюють дирекційні кути сторін АР і BР:

- точка Р праворуч від лінії AB:

,

.

- точка Р ліворуч від лінії AB:

,

4. З рішення зворотної геодезичної задачі між точками А і B визначають дирекційний кут α_AB AB лінії АВ.

Дирекційний кут лінії ВА: ;

5. Вирішують прямі геодезичні задачі:

- з пункту А на точку P:

,

.

- з пункту B на точку P:

,

6. Контроль: розбіжність координаті по двох рішеннях не повинна перевищувати 0,02 м;

7. Похибку положення точки P по обчислюють формулі:

,

де- середні квадратичні похибки вимірювання відповідних відстаней

- кут засічки.

.

1.3.5 Зворотна кутова засічка

Зворотною кутовою засічкою називають спосіб визначення координат точки по двох кутах і, зміряним на визначуваній точці між напрямами на три пункти з відомими координатами (рис. 5).

Початкові дані: ;

Вимірювані величини: ;

Невідомі величини: координати точки Р - .

У колі, що проходить через три точки, кут з вершиною на колі вимірюється половиною дуги АВ, на яку він спирається. Центральний кут, що спирається на ту ж дугу, вимірюється всією дугою, отже, він буде дорівнювати (рис. ).

а) до обчислення R і координат Ц

Рисунок 8 - Зворотна кутова засічка

Відстань між пунктами А і В вважається відомою. Радіус кола знаходять і з прямокутного трикутника:

(3)

Рівняння кола має вигляд:

, (4)

Координати центру кола можна обчислити, вирішивши пряму кутову, або лінійну засічку з пунктів А і В на точку Ц.

У рівнянні ( 4) - координати будь-якої точки кола, у тому числі і точки, але для знаходження двох координат точки одного такого рівняння недостатньо.

Рішення зворотної кутової засічки передбачає її розкладання на простіші задачі. Це можуть бути дві прямі кутові засічки і одна лінійна, або три лінійні засічки і т.д. Відомо більше десяти способів аналітичного рішення зворотної кутової засічки.

1.3.6 Рішення зворотної кутової засічки через послідовне рішення трьох лінійних засічок.

Приймаючи, що положення точки Р відоме, можна провести два кола: одну радіусом через точки і інше - радіусом через точки (рис. ).

Радіуси цих кіл :

; .

Якщо координати центрів кіл (точок і ) будуть відомі, то:

- координати точки Р можна визначити по формулах лінійної засічки:

з точки по відстані і з точки - по відстані .

- координати центру можна знайти по формулах лінійної засічки з точок А і В по відстанях.

При цьому, з двох рішень приймають відповідне величині кута :

- якщо , то точка знаходиться праворуч від лінії АВ;

- якщо , то точка знаходиться ліворуч від лінії АВ.

- координати центра визначають по формулах лінійної засічки з точок В і С по відстанях .

Одне з можливих рішень з двох вибирається за правилом:

- якщо, то точка знаходиться праворуч від лінії ВС ;

- якщо , то точка знаходиться зліва від лінії ВС .

Задача не має рішення, якщо всі чотири точки і Р знаходяться на одному колі, оскільки обидва кола зливаються в одну, і точку їх перетину вказати неможливо.

1.3.7 Комбіновані засічки

У розглянутих способах рішення засічок кількість вимірювань приймалася теоретично мінімальною (два вимірювання). Вона забезпечує отримання результату, але при цьому немає контролю правильності вимірювань.

На практиці для знаходження координат і однієї точки, як правило, виконують не два, а три і більш вимірювань. В цьому випадку з'являється можливість контролю вимірювань, і, крім того, підвищується точність рішення задачі. Кожне вимірювання, що вводиться в задачу понад теоретично мінімальну кількість, називають надлишковим. Воно створює одне додаткове рішення.

Геодезичні засічки без надлишкових вимірювань прийнято називати одноразовими.

Засічки з надлишковими вимірюваннями називають багаторазовими.

Наявність надмірних вимірювань дозволяють виконати їх математичну обробку - зрівнювання. Строге зрівнювання вимірювань в різних геодезичних побудовах виконується на ЕОМ;

Для ручного рахунку звичайно застосовують нестрогі (спрощені) способи зрівнювання.

Спрощений спосіб зрівнювання якої-небудь багатократної засічки ( вимірювань) передбачає:

- формування і рішення всіх можливих варіантів незалежних одноразових засічок (їх число рівне );

- обчислення середніх значень координат точки зі всіх одержаних результатів, якщо вони розрізняються між собою на допустиму величину.

1.4 Оцінка точності вимірювань

1.4.1 Похибка положення точки в одноразових засічок

Положення точки на площині по двох вимірюваннях виходить в перетині двох ліній положення.

Для зміряної відстані лінією положення є коло радіусу з центром в початковому пункті А (рис. а).

Для зміряного кута з вершиною в початковому пункті А - пряма лінія, проведена під кутом до початкової лінії АВ (рис. б).

Унаслідок помилок вимірювань вводиться поняття "смуга положення".

Для відстані , зміряної з середньою квадратичною помилкою - це круговий пояс (кільце) завширшки між двома колами радіусами і ;

а) для зміряної відстані, б) для зміряного кута.

Рисунок 9 - Лінія положення і "смуга положення" точки Р:

Для кута, зміряного з помилкою - це вузький трикутник з вершиною в точці А і кутом при вершині .

Лінія положення точки є віссю симетрії смуги положення (рис. 9б).

Вводиться так само поняття "вектор похибки вимірювання".

Він позначений його через .

Для зміряної відстані вектор направлений уздовж лінії (прямо або назад) і має модуль .

Для зміряного кута вектор направлений перпендикулярно лінії АР (вліво або вправо від неї) і має модуль :

,

де .

Точка Р, знаходячись на перетині двох ліній положення, є центром чотирикутника положення, що утворюється в перетині двох смуг положення (рис. 7). Цей елементарний чотирикутник можна вважати паралелограмом. В межах його дуги кіл можна замінити відрізками дотичних, а сторони кута, що розходяться, - відрізками прямих, паралельних лінії положення. Відстані від точки Р до меж чотирикутника неоднакові, що говорить про відмінність помилок положення точки Р по різних напрямах.

а) у лінійній засічці, б) у прямій кутовій засічці.

Рисунок 10 - Чотирикутник положення

Лінії положення ділять чотирикутник положення на 4 рівні частини (Рис. 10 ), які називають паралелограмами похибок з кутами при вершинах

і. Кут між векторами помилок і, .

Рисунок 11 - Паралелограми похибок

Висоти паралелограмів помилок чисельно рівні модулям векторів і , сторони паралелограмів одержують по :

; . (5)

Найбільше ухилення від точки мають дві протилежні вершини паралелограма положення; дві інші вершини мають якнайменше ухилення.

У будь-якій геодезичній побудові існує так зване "найслабкіше місце". У цьому місці помилка якого-небудь елементу має найбільше значення. Як правило, для узагальненої характеристики точності даної побудови береться значення помилки саме в цьому найслабкішому місці.

Відповідно до цього принципу за помилку положення точки Р можна прийняти довжину великої діагоналі паралелограма похибок

або з урахуванням (5)

.

Похибка положення точки Р - це скалярна величина, що показує середнє квадратичне відхилення по різних напрямах обчисленого положення точки від її істинного положення

З цієї формули одержано формули для оцінки точності будь-якої одноразової засічки:

- полярна засічка:

; ;;

;

- пряма кутова засічка:

; ;

- лінійна засічка :

; ;

- зворотна кутова засічка:

У цій засічка і права частина формули похибки положення точки Р повинна містити три складові:

- від похибки лінійної засічки точки Ц₁ з початкових пунктів А і В ,

- від похибки лінійної засічки точки Ц₂ и з початкових пунктів В і С ,

- від похибки лінійної засічки точки Р з точок Ц₁ і Ц₂.

У практиці часто достатньо прийняти, що істинне положення точки Р знаходиться усередині кола радіусу з центром в точці Р .

У строгій теорії розглянутий критерій називається радіальною похибкою. Крім того, в цій теорії застосовуються і складніші критерії, такі як "еліпс помилок" (крива 2-го порядку), "подера еліпса помилок" (крива 4-го порядку) і ін.

При кількості вимірювань (багатократні засічки точка виходить в перетиніліній положення, відповідних зрівняним значенням вимірювань. Смуги положення, перетинаючись, утворюють-кутник. Похибка положення точкиР визначатиметься відстанню від точки до найвіддаленішої від неї вершини цього багатокутника.