ТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ ЗАСТОСУВАННЯ ЗАСІЧОК

ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ КООРДИНАТ ТОЧОК ЗНІМАЛЬНОЇ ОСНОВИ

1.1 Пряма і зворотна геодезичні задачі

У основі різноманітних методів геодезичних побудов і алгоритмів рішення багатьох інженерно-геодезичних задач лежать дві стандартні задачі на площині: пряма і зворотна геодезична задачі

1.1.1 Пряма геодезична задача (рис. 1 )

Початкові дані : координати першого пункту, , , дирекційний кут лінії 1- 2 і довжина лінії 1-2, яка сполучає початковий 1 і визначуваний 2 пункти.

Визначувані величини: координати,, другого пункту.

Рішення прямої геодезичної задачі

Координати другої точки визначають за формулами (1)

,

. (1)

Рисунок 1 - Схема геодезичних задач

1.1.2 Зворотна геодезична задача (рис. 1).

Початкові дані: два пункти з відомими координатами і

Визначувані величини: дирекційний кут і довжина лінії, що сполучає 1 і 2.

Рішення зворотної геодезичної задачі

Рішення зворотної геодезичної задачі має декілька варіантів , воно складніше, що повязане з особливостями використання тригонометричих функцій.

Вариант1

Якщо і , то трикутник розв'язується по формулах:

; і .

Порядок визначення дирекційного кута лінії:

- по знаках приростів координат визначити номер чверті;

- по формулах зв'язку дирекційних кутів і румбів відповідно до номера чверті обчислити дирекційний кут .

Контролем правильності обчислень є виконання умов:

.

Якщо, то ,

при ; при .

Якщо , то

при ; при .

Варіант 2

Використовується алгоритм, що виключає можливе ділення на нуль при :

, .

Якщо , то ; якщо , то .

.

Для однозначного визначення на місцевості точки P потрібно виконати побудову двох елементів.

Комбінації двох елементарних побудов для визначення точки на площині називаються геодезичними засічками.

3.5 Підготовка розмічувальних креслень

Розмічування точок засічкми

Можливі варіанти засічок

1. Полярна засічка - будується один кут і відкладається одна відстань; обидві побудови виконуються від пункту А.

2. Пряма кутова засічка - вимірюються два кути; один кут вимірюється на пункті А, інший - на пункті B.

3. Лінійна засічка - вимірюються дві відстані; одна відстань - від пункту А до пункту P, інше - від пункту B до пункту P.

4. Зворотна кутова засічка - обидва вимірювання виконуються на точці P. Вимірюються два кути: один кут між напрямами на початкові пункти А і B, інший - між напрямами на початкові пункти B і D.

1.3.2 Полярна засічка

Початкові дані: координати пункту А і дирекційний кут напряму АВ, середня квадратична похибка вимірювання кута і відносна похибка вимірювання відстані . (Якщо дирекційний кут не заданий, його обчислюють рішенням зворотної геодезичної задачі між пунктами А і В)

Вимірювані величини: горизонтальний кут і відстань.

Визначувані величини : координати точки P.

Рисунок 4 - Схема полярної засічки

Послідовність рішення полярної засічки:

-обчислити дирекційний кут лінії АР :

;

- обчислити прирости координат:

; ;

- обчислити координати точки P:

; ;

- обчислити похибку положення точки P:

;

де - середня квадратична погрішність вимірювання кута, - відносна похибка вимірювання відстані , ρ = 206265".

1.3.3 Пряма кутова засічка

1.Загальний випадок прямої кутової засічки

Вимірюються кути і на двох пунктах з відомими координатами, кожен від свого напряму з відомим дирекційним кутом (рис. 5 ).

Початкові дані: ;

Вимірювані величини: і (обидва кути - ліві);

Визначувані величини: координати точки Р .

Якщо або не задані явно, потрібно вирішити зворотну геодезичну задачу спочатку між пунктами А і С і потім між пунктами B і D .

а) загальний випадок б) окремий випадок

Рисунок 5 - Пряма кутова засічка

Послідовність рішення прямої кутової засічки:

- обчислити дирекційні кути ліній АР () і BP ():

; ;

- скласти рівняння прямих ліній АР і ВР:

,

;

- вирішити систему рівнянь і обчислити невідомі координати

,

.

2. Окремий випадок прямої кутової засічки

Кути і зміряні від напрямів AB і BA. При цьому кут - правий, а кут - лівий (рис. ).

Послідовність рішення прямої кутової засічки методом трикутника (окремий випадок засічки):

- вирішити зворотну задачу між пунктами А і B і визначити дирекційний кут і довжину лінії AB,

- обчислити кут при вершині P ;

- для трикутника APB по теоремі синусів обчислити довжини сторін АР () і BP ():

,

- обчислити дирекційні кути і

, ;

- вирішити пряму задачу від пункту А на точку P.

- для контролю - вирішити пряму задачу від пункту B до точки P ;

Контроль: обидва рішення повинні співпасти.

У окремому випадку прямої кутової засічки для обчислення координат можна використовувати формули Юнга:

,

Для переходу від загального випадку прямої кутової засічки до окремого випадку потрібно:

- вирішити зворотну геодезичну задачу між пунктами А і B і одержати дирекційний кут лінії AB.

- обчислити кути в трикутнику APB при вершинах А і B:

;

.

При комп'ютерному рішенні:

1) обчислити дирекційні кути і ,

2) ввести місцеву системи координат з початком в пункті А і з віссю, направленою по лінії АР.

3) виконати перерахунок координат пунктів А і B і дирекційних кутів і з системи в систему (рис. )

; ;;;

;

Рисунок 6 - Пряма кутова засічка в системі координат

4) представити рівняння ліній АР і BP в системі

, ;

5) сумісне рішення цих рівнянь

, ; ( 2)

6) перевести координати і з системи в систему

,

.

Оскільки і кут засічки завжди більше , то рішення (2) завжди існує!.

1.3.4 Лінійна засічка

Початкові дані: координати пунктів А і В, (відносна похибка вимірювання відстаней );

Вимірювані величини: відстані і ;

Визначувані величини - координати точки P.

Рисунок 7 - Лінійна засічка

Можливі варіанти рішення лінійної засічки.

Варіант 1 (при рішенні на ЕОМ).

1. Виконується рішення системи рівнянь двох зміряних відстаней:

,

.

2. Оскільки ця системи рівнянь не має простого рішення в системі координат , застосовують систему координат з початком в точці А і віссю . Ця вісь направлена від точки А уздовж лінії АВ. Координати точок А і В в новій системі:

3. Рішенням зворотної геодезичної задачі між точками А і В знаходять довжину лінії АВ=.

4. Обчислюють дирекційний кут лінії АВ також з рішення зворотної геодезичної задачі.

5. Задають і спільно вирішують рівняння двох кіл в новій системі координат :

;

.

6. Визначувані координати:

, .

Якщо шукана точка знаходиться зліва від лінії АВ, то у формулі для потрібно брати знак "мінус", якщо справа, то - знак "плюс".