Лабораторные работы 8-12
.pdf
15. |
y = |
|
x −1, x = 0,5, y = 0, |
ρ = 2sin 2 ϕ, |
|
||||
|
0 ≤ϕ ≤ π, |
|
|||||||
y =1, ось Ох |
|
|
|
||||||
|
|
|
полярная ось |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
y = x − x2 , y = 0, ось Ох |
ρ = 2 cos 2ϕ , |
0 ≤ϕ ≤ π4 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
полярная ось |
|
|
17. |
y = x, y = 2x, x = 2, |
ось Ох |
ρ = 2 2 sinϕ, |
0 ≤ϕ ≤ π2 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
полярная ось |
|
|
18. |
y = |
x |
, |
y = x, |
x = 4, |
ось Ох |
ρ = 4 (1 + cosϕ), |
π ≤ϕ ≤ π, |
|
|
|
2 |
|||||||
2 |
полярная ось |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
y = x2 , |
y = |
x , ось Оу |
x = 2t −t 2 , y = 4t −t 3 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ось Оу |
|
|
20. |
y = 3 − x2 , y = x2 , ось Ох |
ρ = 2 cos 2ϕ , |
34π ≤ϕ ≤ π, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
полярная ось |
|
|
2.Вычислить площадь поверхности вращения:
1.ρ =
cos 2ϕ, 34π ≤ϕ ≤ π, полярная ось
2.y = e x +2e−x , −1 ≤ x ≤1, ось Ох
3. |
ρ = |
2 |
, 0 ≤ϕ ≤ |
π |
, полярная ось |
|
cos |
2 ϕ |
2 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.ρ = 
6 sinϕ , полярная ось
5. |
y = |
x3 |
, 0 ≤ x ≤1, ось Ох |
|
|||
|
3 |
|
|
6.y = 4x , 1 ≤ x ≤ 4, ось Ох
7.ρ = 23 sinϕ , полярная ось
8.ρ = 2 
cos 2ϕ, 0 ≤ϕ ≤ π4 , полярная ось
9.ρ = 
3 cosϕ, 0 ≤ϕ ≤ π2 , полярная ось
34
10.ρ = 4sinϕ, 0 ≤ϕ ≤ π , полярная ось
11.ρ = 5 
cos 2ϕ, 34π ≤ϕ ≤ π, полярная ось
12. |
x = 5cos t, y = 6 sin t, |
0 ≤ t ≤ π , ось Ох |
||
|
|
|
|
|
13. |
x = 3cos3 t, y = 3sin3 t, |
0 ≤ t ≤ |
π |
, ось Ох |
|
|
|
2 |
|
14.ρ = 3cosϕ, − π2 ≤ϕ ≤ π2 , полярная ось
15. x = 
3 cos t, y = 2sin t, 0 ≤ t ≤ π , ось Ох
16.x = 2 (t −sin t), y = 2 (1 −cos t), − π2 ≤ t ≤ π2 , ось Ох
17.y = tg x, 0 ≤ x ≤ π4 , ось Ох
18. |
x =cost, y = 2 +sin t, 0 ≤ t ≤ π , ось Ох |
||||
|
|
|
|
|
|
19. |
|
x |
+ e− |
x |
|
y = e |
|
|
, 0 ≤ x ≤ 2 , ось Ох |
||
2 |
2 |
||||
|
|
||||
20. |
x = 2 cos3 t, y = 2sin3 t, 0 ≤ t ≤ π , ось Ох |
||||
35
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12 Тема: Вычисление двойных интегралов
Цели работы:
1.Научиться изменять порядок интегрирования в повторных интегралах.
2.Научиться вычислять двойные интегралы в прямоугольных декартовых координатах.
12.1.Вычисление двойных интегралов в прямоугольной декартовой
системе координат
Вычисление двойного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D (рис. 3) ограничена кривыми y =ϕ1 (x), y =ϕ2 (x), x = a, x = b,
причем всюду на [a,b] функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) непрерывны и ϕ1 (x)≤ϕ2 (x). Тогда
|
b |
ϕ2 |
(x ) |
∫∫ f (x,y)dxdy = ∫dx |
∫ f (x, y)dy , |
||
D |
a |
ϕ1 |
(x ) |
причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y ( x
считается постоянной), потом полученный результат интегрируется по x . Интегралы такого вида называются повторными.
36
Если кривая ϕ1 (x) (или кривая ϕ2 (x)) в промежутке a ≤ x ≤ b задается различными аналитическими выражениями, то следует разбить область интегрирования на части и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.
Аналогично, можно построить второй повторный интеграл. Если область
D ограничена |
кривыми |
x =ϕ1 (y), x =ϕ2 (y), y = c, y = d, причем всюду на [c, d ] |
|
функции ϕ1 (y) |
и ϕ2 (y) непрерывны и ϕ1 (y)≤ϕ2 (y) (рис. 4), то |
||
|
|
d |
ϕ2 (y ) |
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy |
∫ f (x, y)dx . |
|
|
D |
c |
ϕ1 (y ) |
Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:
а) линейность:
∫∫(α f (x, y)± β g(x, y))dxdy =α ∫∫ f (x, y)dxdy ± β ∫∫g(x, y)dxdy,
D |
D |
|
D |
(α, β - постоянные числа). |
|
|
|
б) аддитивность: |
|
|
|
если D = D1 + D2 (D1 ∩ D2 |
= ), то ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy . |
||
|
D |
D1 |
D2 |
37
Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, необходимо:
1.Определить подынтегральную функцию как функцию переменных x и y .
2.Задать кривые, ограничивающие область интегрирования в двух видах:
выражая y как функцию от x и, наоборот, x как функцию от y .
3.Построить на одном графике линии, ограничивающие область интегрирования.
4.Графически определить координаты точек пересечения графиков функций – пределы интегрирования.
5.Найти точное значение координат точек пересечения графиков. Сравнить полученные результаты.
6.Вычислить искомый интеграл, расставив пределы интегрирования (двумя способами).
|
Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле |
|||
∫2 dxx∫3 |
|
x2 |
|
dy , построить область интегрирования. |
|
2 |
2 |
||
0 x |
x |
+ y |
|
|
Решение. Задаём подынтегральную функцию и определяем границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:
f(x,y) := |
x2 |
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
y1(x) := x |
|
y2(x) := x |
3 |
x1(y) := 0 |
|
x2(y) := 2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
y1(x) |
|
2.67 |
|
|
|
|
y2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
0.33 |
|
|
|
|
1 |
0.5 |
|
2 |
3.5 |
5 |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x,x,x1(y) ,x2(y) |
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
Изменим порядок интегрирования. Для этого выразим уравнения границ в виде: x =ϕ(y):
y − x |
3 |
y − x |
||
1 |
y |
3 |
y |
|
3 |
||||
|
|
|
||
Область интегрирования разбивается на две части. Исходный интеграл запишется в виде суммы двух интегралов. Вычисляем искомый интеграл двумя способами (используя оба порядка интегрирования) и сравниваем полученные результаты:
Указание. Для того, чтобы задать уравнения границ в виде: y = f (x) или x =ϕ(y), надо определить границу в виде: F (x, y)= 0 и записать функцию F (x, y).
Затем в меню «Символика» (Symbolics) выбрать команду «Разрешить относительно переменной» (Variable Solve), выделив сначала y или x в
зависимости от того, какое уравнение хотим получить.
Пример 2. Вычислить двойной |
интеграл ∫∫ |
x |
2 |
dxdy , если область |
||
|
||||||
|
2 |
|||||
|
|
1 |
D y |
|
|
|
интегрирования D ограничена линиями: |
y = x, y = |
, x = 2. |
|
|
||
x
Решение. Задаём подынтегральную функцию и определяем кривые, ограничивающие область интегрирования:
39
Строим область интегрирования:
Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений:
|
|
Система имеет два решения, но из графика видно, что подходит точка с |
||||||||
координатами |
(1;1), т.е. x =1 − абсцисса точки пересечения графиков функций |
|||||||||
y = |
1 |
и y = x . |
Точка пересечения графиков функций y |
= |
1 |
|
и x = 2 |
имеет |
||
x |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
координаты 2; |
|
, а точка пересечения графиков функций |
y = x |
и x = 2 |
имеет |
|||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
координаты (2;2).
Найдём другое выражение для границ области интегрирования
(используя меню «Symbolics», команда «Varieble Solve»):
40
y − |
1 |
|
||
x |
y − x |
|||
|
1 |
|
|
y |
|
y |
|
||
|
|
|
||
Вычислим двойной интеграл, переходя к повторному интегралу, двумя способами:
⌠2 |
⌠x |
f(x,y) dy dx → |
9 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
||||
⌡ |
⌡1 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
⌠1 |
⌠2 |
|
⌠2 |
⌠2 |
9 |
||||
|
f(x,y) dxdy + f(x,y) dxdy → |
||||||||
4 |
|||||||||
|
|
|
⌡ |
⌡ |
|||||
⌡1 |
⌡1 |
|
1 |
y |
|
||||
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
||
Вычислим заданный интеграл аналитически, используя один любой порядок интегрирования (без использования программного продукта
MathCAD).
Область интегрирования D заштрихована на рис. 5.
41
Порядок интегрирования выберем следующий: сначала по y вдоль любой прямой x = const , проходящей через область D , от точки «о» её входа в область в D , в которой y = 1x , до точки выхода «×», в которой y = x , затем проведём
интегрирование по x от крайней левой границы области x =1 до правой x = 2. Имеем:
|
x2 |
2 |
2 |
x |
dy |
||
∫∫ |
|
|
dxdy = ∫x |
|
dx∫ |
|
|
y |
2 |
|
y |
2 |
|||
D |
|
1 |
|
1 |
|
||
x
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
x |
|
2 |
|
2 1 |
|
2 |
(x |
3 |
x4 |
|
x2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
∫ |
x |
|
|
− x dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
− |
|
= |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− x)dx = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
y |
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
(24 |
−14 )− |
1 |
(22 |
−12 )= |
15 |
− |
3 |
= |
15 −3 2 |
= |
9 |
. |
|||
4 |
2 |
|
4 |
2 |
|
4 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.2.Задания для самостоятельного решения
1.Изобразить область интегрирования на чертеже и изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
№ |
|
|
|
|
|
Повторный интеграл |
№ |
|
Повторный интеграл |
|||||||||
|
|
−1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
π 4 |
sin y |
π 2 |
cos y |
|
||
1. |
|
∫dy |
∫(x2 |
+ y)dx + ∫dy |
∫(x2 + y)dx |
11. |
∫dy ∫dx + ∫dy ∫dx |
|||||||||||
|
|
− 2 − 2−y2 |
|
|
|
−1 |
y |
|
0 |
0 |
π 4 |
|
0 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
e |
1 |
|
|
1 |
y2 |
2 |
2−y |
|
||||
2. |
|
∫dy |
|
|
∫ydx + ∫dy ∫ydx |
|
12. |
∫dy |
∫y 2 dx + ∫dy ∫y 2 dx |
|||||||||
|
0 |
|
1−y2 |
1 |
|
|
ln y |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2− 4−y2 |
2 |
|
4−y2 |
|
|
−1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|||
3. |
|
∫dy |
|
∫xdx + ∫dy ∫xdx |
13. |
∫dy |
∫xy 2 dx + |
∫dy ∫xy 2 dx |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
3 |
0 |
|
|
−2 |
−(2+y ) |
|
−1 |
|
3 y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
arcsin y |
1 |
|
arccos y |
|
|
1 |
y2 |
2 |
|
2−y2 |
||||
4. |
|
∫dy |
|
∫xdx + ∫dy ∫xdx |
|
14. |
∫dy |
∫x3 dx + ∫dy |
∫x3dx |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
e |
−ln y |
|
|
1 |
y |
2 |
2−y |
2 |
|||
5. |
|
∫dy ∫x2 dx + ∫dy ∫x2 dx |
|
15. |
|
|||||||||||||
|
|
∫dy∫xdx + ∫dy |
|
∫xdx |
||||||||||||||
|
0 |
|
− |
y |
1 |
|
−1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
|
−∫1dy |
2+y |
|
|
|
−y |
|
|
∫1 |
|
y |
|
2−y |
|
6. |
∫(x + y)dx + ∫0 |
dy ∫(x + y)dx |
16. |
dy ∫xdx + ∫2 dy |
∫xdx |
|||||||||
|
−2 |
|
0 |
|
−1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
2 |
0 |
7. |
∫dy |
∫(x2 |
+ y)dx + ∫dy |
∫(x2 + y)dx |
17. |
∫dy |
∫ydx + ∫dy |
∫ydx |
||||||
|
−2 |
− 4−y2 |
|
|
− 3 |
|
4−y2 −2 |
|
0 |
|
− y |
1 |
− 2−y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
1 |
|
y2 |
2 |
2−y |
8. |
∫dy |
∫(x2 |
+ y)dx + ∫dy |
∫(x2 + y)dx |
18. |
∫dy |
∫x3 dx + ∫dy ∫x3 dx |
|||||||
|
0 |
|
4−y2 −2 |
|
|
3 |
− 4−y2 |
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
(x + y 2 )dx |
|
1 |
|
y |
e |
x |
9. |
∫dy |
∫(x + y 2 )dx + ∫dy ∫ |
19. |
∫dy |
∫xydx + ∫dy ∫xydx |
|||||||||
|
−2 |
−(2+y ) |
|
|
−1 |
3 y |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
ln y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
3 y |
2 |
2−y |
|
10. |
∫dy |
∫x2 dx + ∫dy |
∫x2 dx |
|
20. |
∫dy |
∫x2 dx + ∫dy ∫x2 dx |
|||||||
|
0 |
− y |
1 |
− 2−y |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. а) Вычислить двойной интеграл по указанной области в MathCAD, используя оба порядка интегрирования.
б) Вычислить двойной интеграл по указанной области D аналитически (в тетради).
№ |
|
Двойной интеграл |
|
|
Область D |
|||||
1. |
∫∫(36x2 y 2 |
−96x3 y3 )dxdy |
x =1, |
y = 3 |
x, |
y = −x3 |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
∫∫(18x2 y 2 |
+32x3 y3 )dxdy |
x =1, |
y = −3 x, y = x |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫∫y 2 sin |
xy |
dxdy |
x = 0, |
y = |
π , |
y = x |
|||
|
||||||||||
|
D |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
4. |
∫∫(18x2 y 2 |
+32x3 y3 )dxdy |
x =1, |
y = 3 |
x, |
y = −x2 |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
∫∫y 2 e− |
xy |
dxdy |
x = 0, |
y = 2, |
y = x |
||||
4 |
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
∫∫(27x2 y 2 |
+ 48x3 y3 )dxdy |
x =1, |
y = |
x, |
y = −x3 |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43