Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт судостроения и морской арктической техники (Севмашвтуз) (филиал САФУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы 8-12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.02.2016

Размер:

459 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9 Тема: Вычисление неопределённых и определённых интегралов

Цель работы: Научиться вычислять неопределённый и определённый интегралы.

9.1. Неопределённый интеграл

Поскольку в результате вычисления неопределённого интеграла должна получиться функция, то неопределённый интеграл в MathCAD можно вычислить только символьно.

Чтобы вычислить неопределённый интеграл необходимо:

1.Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа.

2. Вызвать шаблон для вычисления неопределенного интеграла ∫■d■ либо сочетанием клавиш [Ctrl] и [I] , либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления».

3. В первом свободном поле указать функцию, от которой вычисляется интеграл, в другом – переменную, по которой производится интегрирование.

4.Вычислить неопределённый интеграл символьно.

Замечание. При вычислении неопределенного интеграла функцию можно задавать предварительно.

Пример 1. Вычислим интеграл ∫x cos 2x dx .

Решение.

⌠	x cos (2 x) dx →	1	cos (2 x) +	1	x sin(2 x)

⌡		4		2

	x
Пример 2. Вычислим интеграл ∫ sin		−3ln x dx .
Пример 2. Вычислим интеграл ∫ sin	2	−3ln x dx .
	2
Решение.

f(x) := sin	x	− 3	ln(x)
f(x) := sin	2	− 3	ln(x)
	2
⌠				1		− 3 x ln(x) + 3 x
f(x) dx → −2 cos				2	x	− 3 x ln(x) + 3 x
⌡				2

Обратите внимание, что при вычислении неопределённого интеграла в MathCAD получается не совокупность первообразных (чем по определению является неопределённый интеграл), а лишь одна первообразная, соответствующая значению С=0.

9.2.Определённый интеграл

Вбольшинстве случаев определённый интеграл в Mathcad можно вычислить двумя способами – численно и символьно.

Чтобы вычислить определённый интеграл численно, необходимо:

1.Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа.

2.Вызвать шаблон для вычисления определенного интеграла ∫■d■ либо клавишей [&] (на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления».

3.В соответствующих полях указать пределы интегрирования, в первом свободном поле за знаком интеграла указать функцию, от которой вычисляется интеграл, в другом – переменную, по которой производится интегрирование.

4.Набрать знак равенства и щелкнуть мышью вне выражения.

Чтобы вычислить определённый интеграл символьно, необходимо:

1.Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа.

2.Вызвать шаблон для вычисления определённого интеграла и заполнить его так, как указано выше.

3.Вычислить интеграл символьно (с помощью символьного знака равенства).

Замечание. Так же, как и при вычислении неопределённого интеграла, подынтегральную функцию можно задавать предварительно.

π 4

Пример 3. Вычислим двумя способами интеграл ∫x cos x dx .

Решение.

Вычислим интеграл численно:

⌠	π
⌠	4
		x cos (x) dx = 0.262
		x cos (x) dx = 0.262
⌡
0
Вычислим интеграл символьно:
⌠	π
⌠	4		1		1
		x cos (x) dx →	1	2 +	1	π 2 − 1
		x cos (x) dx →		2 +		π 2 − 1
⌡0		2			8
Пример 4. Вычислим двумя способами интеграл ∫3							x	2x	dx .
						1	x		−1

Решение. Зададим предварительно функцию

f(x) := x x2 − 1

Вычислим интеграл численно:

⌠3

f(x) dx = 2.828

⌡1

Вычислим интеграл символьно:

⌠3

f(x) dx → 2 2

⌡1

Отдельно рассмотрим вычисление несобственных интегралов, которые являются обобщением понятия определённого интеграла.

Несобственными интегралами первого рода являются интегралы, у которых один или оба предела интегрирования равны бесконечности. Несобственными интегралами второго рода являются интегралы, у которых одна или несколько точек из промежутка интегрирования являются точками

разрыва подынтегральной функции. Несобственные интегралы бывают сходящимися (если в результате вычислений получаем конечное число) или расходящимися (в противном случае).

В MathCAD несобственные интегралы вычисляются так же, как определённые: численно или символьно. Однако некоторые несобственные интегралы вычисляются либо только символьно, либо только численно.

Пример 5. Вычислим несобственный интеграл первого рода +∞∫

x (ln x)

Решение.

Вычислим интеграл численно:

⌠

∞

dx = 1.433

x ln(x)

⌡

Вычислим интеграл символьно:

⌠

∞

dx → ln(2)

x ln(x)

⌡

Пример 6. Вычислим несобственный интеграл 2-го рода ∫6

dx .

Решение.

− 4

Вычислим интеграл численно:

⌠

dx = 5.657

⌡

x − 4

Вычислим интеграл символьно:

⌠

dx→

⌡

x − 4

9.3.Задания для самостоятельного решения

1.Вычислить неопределённые интегралы:

а)

б)

в)

∫x arctg x dx

∫

2x2 −1

∫

x dx

x3 −5x2

+ 6x

2x −3

∫x cos(3x2 +5)dx

∫

(5 + x)

1 + x

(x −3)(x + 4)

∫x2 cos 2x dx

∫

∫sin5 x cos3 x dx

(x − 2)(x +1)

∫x

−2 x

∫

−1

∫

x2 −5x + 6

x − 4 x

∫x3 cos 5x dx

∫sin3 x dx

∫

−3x +

∫e x cos 2x dx

∫

∫cos2 x sin 4 x dx

x(x2

+ 2)

∫x2 sin 5x dx

∫

x x

−1 dx

(x − 4)(x +3)

∫

tg x

∫

x3 + 2

3cos x + 2

cos2 x

x3 − 4x

∫e

2 dx

∫ 2 2x −5

∫

arctg x

x −5x + 4

x + 4x + 7

1 + x

10.

∫x ln x dx

∫cos5 x sin3 x dx

∫

(x2

−3) 4 − x2

11.

∫e−x sin 2x dx

∫cossin

xx dx

∫

xdx−3 x

12.

∫x sin (x2

+3)dx

∫(1x− xx)2

∫

1 +sin x

13.

∫x2tg(x3 +1)dx

∫

−1

∫

−1 dx

14.

∫e

sin e

∫

sin 2x

(x +1)(2x −3)

1 + cos2 x

+− xx dx

15.

∫x3 ln x dx

∫

sin

cos8

16.

∫ctg(2x +1)dx

∫

x(x +1)

sin 6 x

17.

∫arcsin1 − x2x dx

∫

∫ sincosxx dx

x(x +1)

∫x

−2 x

x(1 − x2 )

∫

18.

∫

9 − x2 dx

1 + x4

19.

∫x

sin(x

+1)dx

∫

x +3

∫

2 + cos x

+ 2x + 4

20.

∫x

cos

∫

(x +1)(x2

+1)

cos5 x

2. Вычислить определённые интегралы двумя способами:

а)

б)

в)

(2x

+33x )dx

∫2x cos x dx

∫

∫x

1 − x dx

∫3 x arctg x dx

∫9

∫2x3 sin x dx

x −1

2 dx

∫3cos4 x dx

∫ln x dx

∫

1 − x

x +1

π 4

∫

∫sin 2 x cos x dx

−1 e

x x −

∫3

ln 2

∫x e−x dx

∫3 x2 cos x dx

1 (2x −3)

∫1

∫sin 3 x dx

−1 x +

−1 5 − 4x

∫

∫sin

x dx

1 + ln x

∫2x cos x dx

∫

5 dx

∫

−1 4 + x

1 + x

−π

∫5

∫2

x 3x dx

∫2x2 sin x dx

−1

π 4

10.

∫ x +1 dx

∫x 3 1 − x dx

∫cos3 x dx

11.

∫

∫cos2 x sin 4 x dx

−

x +1

12.

∫ln 2 x dx

∫

3x −

∫0 3 + 2 cos x

∫2

π∫x2 cos 2x dx

13.

x2 e−x dx

∫3

x2 − 4 dx

ln 8

∫

14.

∫

∫cos

2x dx

ln 3

π 8

15.

∫

∫sin

−

x x

−1

arctg x

∫

16.

∫

∫x cos 2x dx

(4 + x

−2

)

x dx

π 2

17.

∫arcsin

∫x2

9 − x2

∫

x sin

−

−π

∫e

∫5

18.

cos ln x

∫2x2 sin 2x dx

1 x + 2x −

−π 2

19.

∫

3 − 2x − x2 dx

∫e3x sin 4x dx

x − 2

−1

2x −1

20.

∫

∫e

cos x dx

2x +1

14 x

1 + 4x

3.Вычислить несобственные интегралы: а) первого рода, б) второго рода.

а)

б)

+∞

−∫∞

∫0

x(1− x)

x2 + 6x +11

+∞

∫e−2 x cos x dx

cos

∫

+∞

x dx

x3 dx

∫

+ 4

4 − x

+∞

1 +

∫

+ x)

x ln x

+∞∫

x2 dx

∫4

−8

6x − x

+∞∫x e−x2 dx

∫3

dx2

−1

+∞

∫x cos x dx

∫

x ln

+∞

x dx

∫

∫e x ln x

(x2 −1)

+∞

x dx

∫

+ 2x

+5x

(3 − x)

10.

+∞∫

∫1

0 1

+ x

+∞

11.

∫

ln x

−∞ x

12.

+∞∫

∫2

+ x − 2

x −1

+∞

xdx− 2

13.

−∞∫

∫1

(x2

+ x +1)2

+∞

14.

∫

∫ln x dx

1 + x

+ x

+∞

15.

∫

1 − x

−1

16.

+∞∫

x ln x

∫1

(1+ x )

0 (2 − x) 1 − x

+∞

17.

∫e

−5 x

sin 3x dx

∫

x ln

18.

+∞∫x3 sin 2x dx

∫7

1 3

(x −7)

+∞

∫2

19.

∫x3e−3x dx

+5x + 6

−2 x

20.

∫

+ x

− 2

−∞ x

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 Тема: Приложения определённого интеграла к решению

геометрических задач

Цель работы: Рассмотреть приложения определённого интеграла к решению геометрических задач (вычисление площади плоской фигуры и длины дуги кривой).

10.1.Площадь плоской фигуры

1.Фигура ограничена кривой (или кривыми), заданной явной функцией

y = f (x):

b	b
S = ∫ f (x)dx	S = ∫( f2 (x) − f1 (x))dx , где
a	a
Рис. 1.	f2 (x) ≥ f1 (x) для всехх [a,b]
Рис. 1.		x = x(t),
		x = x(t),
2. Фигура ограничена кривой, заданной параметрически		y = y(t), где
t2
t1 ≤ t ≤ t2 . Тогда её площадь равна S = ∫y(t) x'(t) dt .
t1

3. Фигура ограничена кривой, заданной в полярной системе координат:

	1	ϕ			1	ϕ	(ρ2		2 )dϕ , где
S =		∫2	ρ2 dϕ	S =		∫2		2 − ρ1
	2				2
		ϕ				ϕ
		1				1				]
				ρ2 (ϕ ) ≥ ρ1(ϕ ) для всехϕ [ϕ1 ,ϕ2

Рис. 2.

Пример 1. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 − x2

и y = x2 .

Решение. Построим фигуру, площадь которой необходимо найти:

x := −3,−2.5.. 3

					2					x2
	f1(x) :=		8 − x				f2(x) := 2
							6
							6
	f1(x)						4
							4

	f2(x)						2




		4				2			0		2		4
		4				2			0		2		4
								x
Найдем точки пересечения графиков заданных функций, решив систему
уравнений:
	y		=		8 − x2 ,

			=	x	2
	y		=	x	.
				2
Это будут точки (− 2; 2) и (2; 2).
Т.к.	для всех x [− 2; 2] f1 (x) ≥ f2 (x) ,									то		для вычисления площади
	b
используем	формулу S = ∫( f2 (x) − f1 (x))dx						(рис.1). Определённый интеграл при

этом вычислим двумя способами:

⌠2

S := (f1(x) − f2(x)) dx

⌡−2

S = 7.617 S → 43 + 2 π

Замечание. Если абсциссы точек пересечения графиков функций определяются по рисунку, систему уравнений можно не решать.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20193 Мб5лаба 9.doc
#
22.12.20182 Мб39лабораторные по word и excel.doc
#
27.02.20162 Мб119Лабораторные работы 1-7.doc
#
27.02.2016611 Кб19Лабораторные работы 1-7.pdf
#
01.05.20253 Мб0Лабораторные работы 8-12.doc
#
27.02.2016459 Кб16Лабораторные работы 8-12.pdf
#
27.02.2016475 Кб139лабораторные работы по химии.pdf
#
01.04.20254 Мб1Лабораторные работы_1430_1432_33_34.doc
#
27.02.2016490 Кб40лабораторные работы.doc
#
07.11.2018471 Кб20лабораторные работы.doc
#
01.05.202511 Мб60Лазарев ВН, Юношева НВ Учебник по Конструкции к...doc