Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт судостроения и морской арктической техники (Севмашвтуз) (филиал САФУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы 8-12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.02.2016

Размер:

459 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Пример 2. Найдем площадь, ограниченную одной аркой циклоиды

x = 3(t −sin t),y = 3(1 −cost).

Решение. Напомним, что одна арка циклоиды образуется при изменении

0 ≤ t ≤ 2π .

Для вычисления площади нам потребуется производная от функции x(t).

Найдем ее отдельно и далее используем при вычислениях. Интеграл, как и в предыдущем случае, вычислим двумя способами.

x(t) := 3	(t − sin(t)) y(t) := 3 (1 − cos (t))
x'(t) := d x(t)
dt
⌠2 π	y(t) x'(t) dt
S :=	y(t) x'(t) dt
⌡0
S = 84.823		S → 27 π

Пример 3. Вычислим площадь			фигуры,						ограниченной окружностью
ρ = 3 sinϕ и кардиоидой ρ =1 −cosϕ (вне кардиоиды).
Решение. Построим фигуру, площадь которой необходимо найти:
φ:= 0,	π	..2 π
φ:= 0,	20	..2 π
	20
ρ1(φ) :=		3 sin(φ)			ρ2(φ) := 1 − cos (φ)
		120	90				60


		150							30
		150							30
ρ1(φ)	180									0
ρ2(φ)
ρ2(φ)						0 0.5	1	1.5
		210							2
									2
									330
									330
		240					300

			270
			270
				φ

Значение ϕ, при которых кривые пересекаются, можно определить, решив систему уравнений:

ρ = 3 sinϕ,ρ =1 −cosϕ.

Этими значениями будут ϕ1 = 0 и ϕ2 = 23π .

Используя формулу

S =

ϕ∫2 (ρ2

2 − ρ1

2 )dϕ

(рис. 2) и учитывая, что для всех

2 ϕ

ϕ 0;

2π

ρ1 (ϕ)≥ ρ2 (ϕ), вычисляем искомую площадь:

⌠

2π

(ρ1(φ)2 − ρ2(φ)2)dφ

S :=

⌡0

S = 1.299

S →

Замечание. Если фигура симметрична относительно какой-либо из осей, то в некоторых случаях при вычислении интеграла может получиться ноль. В этом случае следует вычислить площадь одной из симметричных частей, а для нахождения искомой площади умножить результат на число таких одинаковых частей.

10.2. Длина дуги кривой

1. Кривая задана уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b . Длина дуги равна:

	b
L = ∫ 1 + (y')2 dx .
	a
2. Кривая задана параметрически	x = x(t),	где t1	≤ t ≤ t2 . Длина дуги равна:
2. Кривая задана параметрически	y = y(t),	где t1	≤ t ≤ t2 . Длина дуги равна:

L = t∫2 (xt| )2 + (yt| )2 dt .

3. Кривая задана в полярной системе координат уравнением ρ = ρ(ϕ), где ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 . Длина дуги равна:

ϕ2

L = ∫ ρ2 + (ρ')2 dϕ .

Пример 4. Вычислим длину дуги кривой y = x 2 от начала координат до

точки с абсциссой x = 4 .

Решение. Поскольку для вычислений нам потребуется производная от функции у, найдем ее предварительно и затем используем при вычислениях.

		3
y(x) := x2
y'(x) := d y(x)
	dx
⌠4				2
	1		+ y'(x)	2	dx
L := ⌡	1		+ y'(x)		dx
0
L = 9.073			L →		80	10 −	8
L = 9.073			L →		27	10 −	27
					27		27

10.3.Задания для самостоятельного решения

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать рисунок:

						а)		б)	в)
1.	y 2 = x3 , x = 0, y = 4							x = 3(t 2 +1),	ρ = cosϕ −sinϕ
	y 2 = x3 , x = 0, y = 4							y = 2 (t 3 −3t)	ρ = cosϕ −sinϕ
								y = 2 (t 3 −3t)
2.	y = x2				8 − x2 ,			x = 8cos3 t, y = 4sin3 t,	ρ = 2sin 4ϕ
2.	y = 0, 0				≤ x ≤ 2 2			x = 3 3 (x ≥ 3 3)	ρ = 2sin 4ϕ
	y = 0, 0				≤ x ≤ 2 2			x = 3 3 (x ≥ 3 3)
3.	y =		x		x	, y = 0, x =1		x = 2 cost, y = 6sin t	ρ = 2 (1 + cosϕ)
	1		+		x
	y =		1				, y = 0,	x = 8cos t − 4 cos 2t,
4.	y =	1	+ cos			x	, y = 0,	x = 8cos t − 4 cos 2t,	ρ = 2sin 3ϕ
4.	x = −		π	, x = π				y = 8sin t − 4sin 2t	ρ = 2sin 3ϕ
	x = −		π	, x = π				y = 8sin t − 4sin 2t
			2			2
5.	y =		e x		−1, y = 0,			x = 7 cos3 t, y = 7 sin3 t,	ρ = 2 + cosϕ
5.	x = ln 2							x = 7 cos3 t, y = 7 sin3 t,	ρ = 2 + cosϕ
	x = ln 2

y = arccos x,

x =

t (3 −t 2 ), y = t 2

ρ = cosϕ +sinϕ

y = 0, x

= 0

y = (x +

, y

= x

x = 2 (t 2

+1),

ρ = 6 (2 + cosϕ)

y = 3(t 3 −3t)

y = 2x − x2 +3,

x = 2t −t 2 ,

ρ = 4tg ϕ,

ϕ =

y = x2 − 4x +3

y = 2t 2 −t 3

y = sin x cos2 x,

x =12 cost +5sin t,

ρ = 2 (1 −cosϕ)

y = 5cost −12sin t

y = 0, 0 ≤ x ≤ 2

10.

y =

4 − x2 , y = 0,

x = 2 cost −cos 2t,

ρ = 3cos 2ϕ

x = 0, x

y = 2sin t −sin 2t

y = x2

4 − x2 ,

x = 3(cost +t sin t),

11.

y = 3(sin t −t cos t),

ρ =

2sin 2ϕ

y = 0, 0

≤ x ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2π, x = 3, y ≤ 0

12.

y = sin 2 x cos x,

x = 5cos3 t, y = 5sin 3 t,

y = 0, 0 ≤ x ≤ π

ρ = 3

cos 2ϕ

0 ≤ t ≤ π

13.

y = (x − 2)3 , y = 4x −8

x = t 2 +1,

ρ = 2 cosϕ,

y = 2 (t 3 −3t)

ρ = 4 cosϕ

14.

y = x2

9 − x2 ,

x = 4 cost − 2 cos 2t,

ρ =1 +sinϕ

y = 0, 0

≤ x ≤ 3

y = 4sin t − 2sin 2t

15.

y =

y = x3

x = 4 cos3 t, y = 4sin3 t,

ρ = 4

(2 + cosϕ)

π ≤ t ≤ 2π

y = e x −1,

x = 4 (cost +t sin t),

16.

y = 4 (sin t −t cos t),

ρ = 4sin 2ϕ

y = e2 x −3, x = 0

0 ≤ t ≤ 2π, x = 4, y ≤ 0

y = arcsin x,

ρ = 3sinϕ,

17.

x = 3cos3 t, y = 3sin3

x = 0, x

ρ = 6sinϕ

ρ =

y = ln(x + 2),

x = 4 (t

+1),

−

18.

cos ϕ

y = 2 ln x, y = 0

y = 2 (t 3 −3t)

ϕ = π

, ϕ

19.

y =

x = 6 cost −3cos 2t,

ρ = 3sin 5ϕ

4 + x2

y = 6sin t −3sin 2t

y = 0

x = 2 (cost +t sin t),

20.

y =

, y

y = 2 (sin t −t cos t),

ρ = 5(1 +sinϕ)

2 +9

0 ≤ t ≤ 2π, x = 2, y ≤ 0

2. Найти длину дуги кривой. Сделать рисунок:

а)

б)

в)

= 3(t −sin t),

= 2sin

3 ϕ

y = ln(x2 −1),

3 ,

= 3(1 −cost),

≤ x ≤ 3

≤ϕ

≤

≤ t ≤ 2π

y =1 −ln cos x,

x = et

(cost +sin t),

= et

(cost −sin t),

≤ x ≤

= 2ϕ, 0 ≤ϕ

≤

≤ t ≤ 4

y =

ln x

= 4 cos

ρ = 6 cos3 ϕ ,

− 2

y = 4sin3 t

≤ϕ

≤

1 ≤ x ≤ 2

y =1 −ln sin x,

= 2 (cos t +t sin t),

2eϕ ,

= 2 (sin t −t cost),

0 ≤ t ≤ π

3 ≤ x

≤

−

≤

ϕ ≤

y = 2 + arcsin

x +

x − x 2 ,

x = (t 2

− 2)sin t + 2t cost,

ρ = 3(1 +sinϕ),

≤ x ≤1

y = (2 −t 2 )cos t + 2t sin t,

−

≤

ϕ ≤ 0

0 ≤ t ≤ π

y = −ln cos x,

x = 6 cos3 t,

= 6sin3 t,

ρ = 3(1 −cosϕ)

≤ x ≤

≤ t ≤ 3

y =

1 − x2

+ arcsin x,

= et

(cost +sin t),

ρ =1 −sinϕ,

= et

(cost −sin t),

≤ x ≤ 7

−

≤

ϕ ≤ −

3π

0 ≤ t ≤ 2

y =

+ e

−x

+3,

= 9 (t −sin t),

ρ = 5(1 −cosϕ),

y = 9 (1 −cost),

−

≤ϕ ≤ 0

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2π

= 6 cost −3cos 2t,

3ϕ

y = e x

+13,

= 3e 4 ,

= 6sin t −3sin 2t,

≤ x ≤ ln

≤ϕ ≤ π

≤ t ≤ 2π

y = ln x,

x = 3cos t −cos 3t,

10.

= 3sin t −sin 3t,

3 ≤ x ≤ 8

0 ≤ t ≤ π2

≤ϕ ≤

y = ln(1 − x2 ),

x = et

cost,

ρ =

11.

+ cosϕ

y = et

sin t,

≤ x ≤

−

≤ϕ ≤

0 ≤ t ≤1

x = t 2 ,

ρ =

12.

= ln

e x

−1

2 ≤ x ≤ 3

y = t

−t

1 ≤ϕ ≤ 3

ln x

x = 3(t −sin t),

13.

y =

−

y = 3(1 −cost),

ρ =ϕ

1 ≤ϕ ≤ 5

1 ≤ x ≤ e

π ≤ t ≤

3π

14.

y = 2 ln

x = 2 (t 2

+1),

ρ =

6 cosϕ,

4 − x2

y =

(t 3 −3t)

−

≤ϕ ≤

0 ≤ x ≤1

y = ln cos x,

x = 2 cos5 t,

ρ =1 + cosϕ,

15.

y = 2sin5 t,

≤ x ≤

0 ≤ϕ ≤ π

0 ≤ t ≤ 2π

y = 3ln (9 − x

x = 6 cos3 t,

y = 6sin

16.

выше оси Ох

1 ≤ϕ ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2

y =

x = 5(t −sin t),

17.

e2 x

+ e−2 x

y = 5(1 −cost ),

ρ = 1 + cosϕ

− π2 ≤ t ≤ π2

− π3 ≤ϕ ≤ π3

0 ≤ x ≤ 3

y =

ln sin

πx

x = 6 cost +8sin t,

ρ =ϕ2 ,

18.

y = 6sin t −8cost,

≤ x ≤

0 ≤ t ≤ π2

0 ≤ϕ ≤ π

19.

y = 2 ln (4 − x2 ),

x = et

cost,

ρ =

7 sinϕ,

y = et

sin t,

3π

выше оси Ох

≤ϕ ≤

0 ≤ t ≤ π

e x + e−x

x =

(t 3 −3t),

20.

ρ = 2sin 4 ϕ

y = t 2

+ 2,

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ t ≤ 3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11 Тема: Приложения определённого интеграла к решению

геометрических задач

Цель работы: Рассмотреть приложения определённого интеграла к решению геометрических задач (вычисление объёмов тел вращения и площади поверхности вращения).

11.1.Объём тела вращения

1.Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью Ох. Если эту трапецию вращать

вокруг одной из координатных осей, то получится некоторое объёмное тело. Объём полученного тела вращения можно вычислить при помощи определённого интеграла:

- если трапеция вращается вокруг оси Ох, то Vx = π∫(f (x))2 dx ;

		a
- если трапеция вращается вокруг оси Оу, то Vy		b			f (x)		dx .
		= 2π∫x


		a
Если вращается фигура,	ограниченная кривыми			y = f1 (x) и				y = f2 (x)
(f1 (x)≤ f2 (x)), и прямыми x = a,	x = b , то формулы	для	вычисления					объёма
запишутся соответственно:
b	b
Vx = π∫(f2 2 (x)− f12 (x))dx и Vy = 2π∫x		f2 (x)− f1 (x)				dx .


a	a

2. Если фигура, ограниченная кривой, заданной параметрически x = x(t),

y = y(t),

где t1 ≤ t ≤ t2 , вращается вокруг оси Ох или Оу, то объемы получающихся тел вращения вычисляются по формулам:


t2	t2
Vх = π∫(y(t))2 x'(t)dt и Vу = 2π∫x(t)		y(t)	x'(t)dt .


t1	t1

3.В полярных координатах криволинейный сектор, ограниченный кривой

ρ= ρ(ϕ) и лучами ϕ =ϕ1 и ϕ =ϕ2 , можно вращать вокруг полярной оси. Объём

получающегося тела вращения вычисляется по формуле:

	2π	ϕ
V =	2π	∫2	ρ3 sinϕ dϕ .
V =	3	∫2	ρ3 sinϕ dϕ .
	3	ϕ
		1

Пример 1. Найдем объём тела, образованного вращением вокруг полярной оси кардиоиды ρ = 3(1 −cosϕ).

Решение. Построим кардиоиду:

φ:= 0, 20π .. 2 π ρ(φ) := 3 (1 − cos (φ))

	90
	120				60
	120				60
ρ(φ)	150					30
	150					30
	180						0


			0	2	4	6
	210					330
	240			300
	240			300
	270
		φ
Видим, что при изменении ϕ				от	0		до 2π получается фигура,

симметричная относительно полярной оси. Тело вращения получается при вращении вокруг полярной оси только одной её части, например, той, что расположена выше полярной оси. Поэтому интеграл вычисляем в пределах от 0

до π.

V :=	2 π	⌠	π
			ρ(φ)3 sin(φ)dφ
	3	⌡0
V = 226.195			V → 72 π

11.2.Площадь поверхности вращения

1.Если дуга некоторой кривой y = f (x), a ≤ x ≤ b вращается вокруг оси Ох,

то получится некоторая поверхность вращения, площадь которой вычисляется по формуле:

b
S = 2π∫y 1 + (y')2 dx .
a
2. Если кривая, заданная параметрически	x = x(t),	где t1 ≤ t ≤ t2 , вращается
2. Если кривая, заданная параметрически	y = y(t),	где t1 ≤ t ≤ t2 , вращается

вокруг оси Ох , то площадь получающейся поверхности находится по формуле:

		t2
		S = 2π ∫y(t) (x'(t))2 + (y'(t))2 dt .
		t1
3.	Если	кривая, заданная в полярной	системе координат	уравнением
ρ = ρ(ϕ),	где	ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 , вращается вокруг	полярной оси,	то площадь
получающейся поверхности равна:

ϕ2

S = 2π ∫ρsinϕ ρ2 + (ρ')2 dϕ .

ϕ1

Пример 2. Найдем площадь поверхности, образованной вращением

x = 3(t −sin t),

вокруг оси Ох одной арки циклоиды ( )

y = 3 1 −cost .

Решение. Одна арка циклоиды получается при 0 ≤ t ≤ 2π . Используя соответствующую формулу, вычисляем:

x(t) := 3 (t − sin(t))	y(t) := 3 (1 − cos (t))
x'(t) := d x(t)	y'(t) := d y(t)
dt	dt

⌠2π

S := 2 π y(t) x'(t)2 + y'(t)2 dt

⌡0

S = 603.186

S → 32 π 36

11.3.Задания для самостоятельного решения

1.Вычислить объём тела вращения:

а)

б)

x = 3cos t, y = 2sin t,

y = x

y =1, ось Ох

, ось Оу

0 ≤ t ≤ 2

x = 3cos t, y = 4 sin t ,

y =

, 0 ≤ x ≤ 2 , ось Ох

0 ≤ t ≤ π

, ось Оу

x = 6 (t −sin t),

y =

4 − x, x = 0 , ось Оу

y = 6 (1 −cost),

0 ≤ t ≤ 2π , ось Ох

y = x2 ,

y =

x , ось Ох

x = cost,

y =1 +sin t ,

ось Ох

y = x2

y = 2 x , ось Ох

x =

3 cos t, y = 2sin t,

0 ≤ t ≤ π , ось Ох

y = sin x, 0 ≤ x ≤ π, , y = 0, ось Ох

x = 4 cost, y =sin t,

− π

≤ t ≤

π , ось Оу

y = e x ,

x = 0, x =1, y = 0 , ось Ох

x = 7 cos3 t, y = 7 sin3 t ,

, ось Оу

0 ≤ t ≤ 2

y = 2x − x2 , y = 0 , ось Ох

x = 3t 2 , y = 3ln t ,

ось Ох

y = −x2

+8,

y = x2 , ось Ох

x = 2 cost, y = 2sin 2t,

0 ≤ t ≤ π , ось Ох

10.

y = 2 − x2 , y = x2 , ось Ох

x = 5cos3 t, y = 5sin3 t ,

0 ≤ t ≤ π , ось Ох

11.

y =

y = 6 − 2x, ось Ох

x = 2t −t 2 , y = 4t −t 3 ,

ось Ох

12.

ρ = 2 (1 + cosϕ),

y =

− x, ось Ох

0 ≤ϕ ≤ π,

полярная ось

y = x3 , y = 8, x = 0 , ось Оу

ρ = 2ϕ,

13.

0 ≤ϕ ≤ π,

полярная ось

14.

y = x2

− 2x, y = 4x − 2x2 , ось Ох

x = 3t 2 , y = 3ln t ,

ось Оу

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20193 Мб5лаба 9.doc
#
22.12.20182 Мб39лабораторные по word и excel.doc
#
27.02.20162 Мб119Лабораторные работы 1-7.doc
#
27.02.2016611 Кб19Лабораторные работы 1-7.pdf
#
01.05.20253 Мб0Лабораторные работы 8-12.doc
#
27.02.2016459 Кб16Лабораторные работы 8-12.pdf
#
27.02.2016475 Кб139лабораторные работы по химии.pdf
#
01.04.20254 Мб1Лабораторные работы_1430_1432_33_34.doc
#
27.02.2016490 Кб40лабораторные работы.doc
#
07.11.2018471 Кб20лабораторные работы.doc
#
01.05.202511 Мб60Лазарев ВН, Юношева НВ Учебник по Конструкции к...doc