x1 x2 x3 |
f(x1, x2, x3) |
||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Найти СДНФ.
f(x1, x2, x3) = x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3
Построить СКНФ.
f(x1, x2, x3) = (x1 x2 x3)(x1 x2 x3)(x1 x2 x3) (x1 x2 x3).
Алгебра Жегалкина и линейные функции
Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями & и называется алгеброй Жегалкина. В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:
x y = y x, x(y z) = xy xz, x x = 0,
x 0 = x,
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
а также соотношения булевой алгебры:
x1(x2x3) = x1x2(x3), x1x2 = x2x1,
xx = x, x&1 = x, x&0 = 0.
отрицание и дизъюнкция выражаются так:
x = x 1,
(2.8)
x y = x y = xy = (x 1)(y 1) 1 = xy x y.
Отсюда, если f1f2 = 0, то f1 f2 = f1 f2
Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все возможные упрощения, то получается формула, имеющая вид суммы произведений, т.е. полинома по mod2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции.
От булевой формулы всегда можно перейти к формулам алгебры Жегалкина и, следовательно, к полиному Жегалкина. Пример.
(x1 x2)(x2 x1x3) = (x1x2 x1 x2)&(x1x2x3 x1x3 x2) =
=x1x2x1x2x3 x1x2x1x3 x1x2x2 x1x1x2x3x1x1x3 x1x2 x2x1x2x3 x2x1x3 x2x2 =
=x1x2x3 x1(x2 1)x3 x1x3 x1(x2 1) x1x2x3 =
=x1x2x3 x1x3 x1x3 x1x2 x1 =
=x1x2x3 x1x2 x1
Теорема (о полиноме Жегалкина). Для всякой логической функции существует полином Жегалкина, и притом единственный.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Существование полинома уже доказано. Для доказательства единственности покажем, что между множеством всех функций от n переменных и множеством всех полиномов Жегалкина от n переменных существует взаимно-однозначное соответствие. Число различных членов (т.е. конъюнкций переменных) полиномов от n переменных равно числу всех подмножеств из n элементов, т.е. 2n (пустому подмножеству соответствует член 1). Число различных полиномов, которые можно образовать из этих конъюнкций, равно числу всех подмножеств множества конъюнкций, т.е. 22n(пустому подмножеству конъюнкций соответствует полином 0). Т.о., число всех полиномов Жегалкина. от переменных равно числу всех функций от n переменных. Т.к. разным функциям соответствуют разные полиномы (одна и та же формула не может две различные функции), то тем самым между множествами функций и полиномов от n переменных установлено взаимно-однозначное соответствие, что и доказывает единственность полинома для каждой функции.
Функция, у которой полином Жегалкина имеет вид Pi αixi γ, где αi, γ = 0 или 1, называется линейной. Все функции от одной переменной линейны. Линейными функциями от двух переменных являются сумма по mod 2 и эквивалентность.
Замкнутые классы. Монотонные функции
Множество M логических функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из M снова принадлежит M.
Всякая система Σ логических функций порождает некоторый замкнутый класс, состоящий из всех функций, которые можно получить суперпозициями из Σ. Такой класс называется замыканием из Σ и обозначается [Σ]. Очевидно, что если M — замкнутый класс, то [M] = M, а если M — ФПС, то [M] = P2.
Пример.
1. Множество всех дизъюнкций, т.е. функции вида x1 x2 . . . xn является замкнутым классом.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
2.Множество всех линейных функций является замкнутым классом, т.к. подстановка вида Pi αixi γ в формулу такого же вида дает формулу того же вида.
Важным примером замкнутого класса является класс монотонных функции, к рассмотрению которого мы сейчас переходим.
Для двух векторов δ = (δ1, . . . , δn) и τ = (τ1, . . . , τn) δ 6 τ, если и только если δi 6 τi для всех i = 1, . . . n. Здесь воспользуемся этим соотношением для двоичных векторов.
Функция f(x1, . . . , xn) называется монотонной, если для любых двоичных наборов δ и τ длины n из того, что δ 6 τ следует, что f(δ) 6 f(τ).
Пример.
1.Константы 0, 1 и функция x монотонны. Отрицание x немонотонно.
2.Дизъюнкция и конъюнкция любого числа переменных являются монотонными функциями.
3.Рассмотрим две функции от трех переменных, заданные таблицей
x1 |
x2 |
x3 |
f1 |
f2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Функция f1 — немонотонна, т.к. 001 6 |
101, а f1(001) > |
||
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||||
f(101). f2 |
— монотонная. |
|
||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
||||||
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Множество всех монотонных функций является замкнутым классом.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель