Упрощение формул

д) Обобщением всех этих равенств ((а) и (г)) является равенство

x1 f(x1, x2, . . . xn) = x1 f(0, x2, . . . xn).

При доказательстве используется разложение по x1 и равенства (а) и (г):

x1 f(x1, x2, . . . xn) = x1 x1f(0, x2, . . . xn) x1f(1, x2, . . . xn) = x1 f(0, x2, . . . xn).

Приведение к ДНФ (в том числе СДНФ)

Элементарными конъюнкциями называются конъюнкции переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Приведение к ДНФ делается так.

Сначала все отрицания опускаются до переменных. Затем раскрываются скобки, удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях, затем удаляются const.

Пример.

xy (x(y z) xz) = xy (x(yz) xz) = xy xyz xz

Всякую ДНФ можно привести к СДНФ расщеплением конъюнкций, которые содержат не все переменные, например:

xy xyz = xyz xyz xyz.

Если из формулы F1 с помощью некоторых эквивалентных соотношений можно получить формулу F2, то F1 можно получить из F2, используя те же эквивалентные соотношения, иначе говоря, всякое эквивалентное преобразование обратимо. Это позволяет доказать следующую теорему.

Теорема эквивалентности. Для любых двух эквивалентных формул F1 и F2 существует эквивалентное преобразование F1 в F2 с помощью описанных выше соотношений.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Действительно, преобразуем F1 и F2 в СДНФ. Поскольку F1 и F2 эквивалентны, то их СДНФ совпадают.

Можно преобразовать F1 СДНФ F2.

Важность этой теоремы в том, что соотношений оказывается достаточно для любого эквивалентного преобразования в булевой алгебре.

Приведение к конъюнктивной нормальной форме (КНФ)

Аналогично ДНФ определяется КНФ как конъюнкция элементарных дизъюнкций. От ДНФ к КНФ перейдем следующим образом.

конъюнкций преобразуются в элементарные дизъюнкции, что и даст КНФ.

Аналогом СДНФ является СКНФ. Единственная функция, не имеющая СКНФ — const.

Нахождение минимальной ДНФ методом Квайна

Булева функция g(x1, x2, . . . , xn) называется импликантой булевой функции f(x1, x2, . . . , xn), если для любого набора переменных, на котором g = 1, справедливо f = 1.

Импликанта g булевой функции f, являющаяся простой элементарной конъюнкцией, называется простой, если никакая часть импликанты g не является импликантой функции f. Метод Квайна продемонстрируем на примере.

Пример.

Найти минимальную ДНФ функции, заданной таблично:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

5-6) x1x2x3

Затем всевозможные склеивания и поглощения производим между полученными результатами:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

К этим результатам невозможно применить соотношения склеивания и поглощения. Переходим ко второму этапу. Для получения минимальной ДНФ строим специальную таблицу Квайна.

Минимальная ДНФ строится по таблице следующим образом:

1.Ищутся столбцы, имеющиеся только один крестик. Соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро булевой функции булевой функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ.

2.Рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы таблицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв в ДНФ.

Пример.

f1 = x1x2x3 x1x2x3 — 7 символов. f2 = x1 x2 x3 — 5 символов.

f3 = x1x2x3 — 3 символа.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель