Минимальной является функция f3.
В нашем примере ядром являются две импликанты x1x4 и x1x2x3.
Импликанта x2x3x4 — лишняя, так как ядро накрывает все столбцы таблицы. Поэтому функция имеет единственную минимальную ДНФ: f = x2x3x4 x1x4
Полнота и замкнутость
Мы рассмотрели два способа задания логических функций — табличный и формульный.
Таблица — универсальна, но громоздка. Формула — гораздо более компактный способ, но задает функцию через другие функции. Поэтому для любой системы функций Σ возникает вопрос: всякая ли логическая функция представима формулой над Σ? Мы это доказали для системы Σ0 = {&, , ¬}. Рассмотрим, как решать этот вопрос для произвольной системы Σ.
Функционально полные системы (ф.п.с.)
Система функций называется функционально полной (ФПC), если любая логическая функция может быть представлена формулой над Σ, т.е. является суперпозицией функций из Σ.
Система Σ0 — функционально полная. Функционально полной будет и любая система Σ, через функции которой можно выразить &, и отрицание. Действительно, для любой логической функции f представляющую ее формулу над Σ можно построить так: взять булеву формулу для f (по теореме такая формула обязательно найдется) и все булевы операции в ней заменить формулами над Σ, представляющими эти операции. Аналогично доказывается и более общее утверждение: если все функции формул системы Σ представимы формулами над системой Σ, то Σ также функционально полная. Этом случае будем говорить, что Σ сводится к Σ . Такое сведение широко используется в дальнейшем.
Пример.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
1.Системы Σ1 = {&, отрицание} и Σ2 = { , отрицание} функционально полны. Действительно, из законов де Моргана и двойного отрицания следует, что в каждой из этих двух систем недостающая до Σ0 функция выражается через остальные
|
1 |
|
2 = x1x2, |
|
1 |
|
2 = x1 x2. |
x |
x |
x |
x |
С точки зрения функциональной полноты систему Σ0 можно считать избыточной.
Отметим, правда, что за избыточность систем Σ1, Σ2 приходится платить избыточностью формул.
2. Системы Σ3 ={ | } (штрих Шеффера) и Σ4 = { ↓ } (стрелка Пирса) функционально полны.
x1 x2 |
x1|x2 x1 ↓ x2 x1 x2 x1 x2 |
||||||||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
x |
x |
|
|
x|x |
x ↓ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. x = x|x = x ↓ x; x1 x2 = x1 ↓ x2 = (x1 ↓ x2) ↓ (x1 ↓ x2); x1x2 = x1|x2 = (x1|x2)|(x1|x2)
Следовательно, Σ3 сводится к Σ1, а Σ4 к Σ2.
3. Система Σ5 = {&, , 1} функционально полная, т.к. x = x 1
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
|
|
x1 1 |
0 |
0 |
0 |
|
x1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. Σ5 сводится к Σ1
Двойственность
Функция f (x1, . . . , xn) называется двойственной к функции f(x1, . . . , xn), если f (x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn).
Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.
Пример.
Дизъюнкция двойственна конъюнкции (в силу правил де Моргана); const 1 двойственна 0; отрицание самодвойственно.
Самодвойственная функция f(x, y, z) = xy xz yz.
f (x, y, z) = xy xz yz = (x y) (x z) (y z) = xy xz yz = f(x, y, z)
Пример.
Проверка функции f(x, y) = x&y на несамодвойственность с использованием таблицы истинности.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
xy x&y
0 |
0 |
0 |
x |
y |
|
|
& |
|
|
|
x |
y |
|
||||||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
||
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) = x&y
Вывод. Так как таблицы истинности не одинаковы, то функция & не самодвойственная. Пользуясь определением двойственности, нетрудно (прямой выкладкой) доказать следующее
утверждение, называемое принципом двойственности: если в формуле F , представляющей функцию f, все знаки функций заменить на знаки двойственных функций, то полученная формула F будет представлять функцию f , двойственную f.
В БА принцип двойственности имеет более конкретный вид: если в формуле F , представляющей функцию f, все конъюнкции заменить на дизъюнкции, а дизъюнкции на конъюнкции, 1 на 0, а 0 на 1, то получим формулу F , представляющую функцию f , двойственную f. Если функции равны, то и двойственные им функции также равны. Это позволяет с помощью принципа двойственности получать новые эквивалентные соотношения, переходя от равенства F1 = F2 с помощью указанных замен к
равенству F1 = F2 .
Примером пары соотношений, получаемых друг из друга по принципу двойственности, являются два равенства.
x xy = x x(x y) = x
По принципу двойственности заменим x (x y), получим второе.
Пример.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель