а функцию «стрелка Пирса» — формулами
|
1 |
|
2 и |
x1 x2 |
(2.3) |
x |
x |
Формулы, представляющие одну функцию, называются эквивалентными или равносильными. Эквивалентность формул обозначается знаком равенства, поэтому можно записать Ψ14(x1, x2) = x1 x2 =
x1x2.
Как выяснить эквивалентность: по каждой формуле восстанавливается таблица функции. Этот метод требует 2 · 2n вычислений. Существуют и другие методы установления эквивалентности формул.
Булева алгебра
Рассмотрим представление логических функций в виде суперпозиций функций и, или, не.
Разложение функций по переменным СДНФ
Введем обозначения x0 = x, x1 = x.
Пусть α — параметр, равный 0 или 1. Тогда xα = 1, если x = α и xα = 0, если x 6= α.
Теорема. Всякая логическая функция f(x1, . . . , xn) может быть представлена в следующем виде:
|
α1[m |
|
(2.4) |
f(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn) = |
x1α1 |
. . . xmαmf(α1, . . . , αm, xm+1, . . . xn), |
...α
где m 6 n, а дизъюнкция берется по всем 2m наборам значений переменных x1, . . . , xm.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Это равенство называется разложением по переменным x1, . . . , xm. Например, при n = 4, m = 2 разложение (2.4) имеет вид:
f(x1, x2, x3, x4) = x1x2f(0, 0, x3, x4) x1x2&f(0, 1, x3, x4)
x1 |
|
2f(1, 0, x3, x4) x1x2f(1, 1, x3, x4) |
|
x |
|||
Теорема доказывается подстановкой в обе |
части равенства (2.4) произвольного набора |
||
(δ1, . . . , δm, δm+1, . . . , δn) всех n переменных. Т.к. xα |
= 1 только когда x = α, то среди 2m конъюнк- |
||
ций x1α1 , . . . , xmαm правой части (2.4) в 1 превратится только одна — та, в которой α1 |
= δ1, . . . , αm = δm. |
||
Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому получим: |
|
||
f(δ1, . . . , δn) = δδ1 . . . δδmf(δ1, . . . , δm, δm+1, . . . , δn) = f(δ1, . . . , δn). |
|
||
При m = 1 из (2.4) получаем разложение функции по одной переменной: |
|
||
f(x1, x2, . . . , xn) = |
|
1f(0, x2, . . . , xn) x1f(1, x2, . . . , xn) |
(2.5) |
x |
|||
Ясно, что аналогичное разложение справедливо для любой из n переменных.
Другой важный случай — разложение по всем n переменным (m = n). При этом все переменные в правой части (2.4) получают фиксированные значения и функции в конъюнкциях правой части становятся равными 0 или 1, что дает:
f(δ1,[n |
x1δ1 . . . xnδn, |
(2.6) |
f(x1, . . . , xn) = |
||
...,δ |
)=1 |
|
где дизъюнкция берется по всем наборам (δ1, . . . , δn) на которых f = 1. Такое разложение называется совершенной ДНФ функции f. СДНФ функции f содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц в таблице f; каждому единичному набору (δ1, . . . , δn) соответствует конъюнкция всех переменных,
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
в которой xi взято с отрицанием, если δi = 0, и без отрицания, если δi = 1. Т.о. существует взаимнооднозначное соответствие между таблицей функции f(x1, . . . , xn) и ее СДНФ и, следовательно, СДНФ для всякой логической функции единственна.
Единственная функция, не имеющая СДНФ — это константа 0.
Формулы, содержащие кроме переменных только знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, называются булевыми формулами.
Соотношение (2.6) приводит к важной теореме.
Теорема. Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Действительно, для всякой функции, кроме константы 0, таким представлением может служить ее СДНФ. Константу 0 можно представить булевой формулой xx.
Булева алгебра функций и эквивалентные преобразования в ней
Пусть функция f1 задана формулой F1, а функция f2 — формулой F2. Подстановка F1 и F2 в дизъюнкцию x1 x2 дает формулу F1 F2. Если взять формулу F11, эквивалентную F1(т.е. тоже представляющую f1) и F21, эквивалентную F2, то получим формулу F11 F21, эквивалентную F1 F2. Т.о. дизъюнкцию логично рассматривать как бинарную операцию на множестве логических функций, которая каждой паре функций f1, f2 независимо от вида формул, которыми они представлены, однозначно ставит в соответствие функцию f1 f2. Аналогично этому можно рассматривать конъюнкцию как бинарную операцию, а отрицание — как унарную операцию над функциями.
Алгебра (P2, , &, ¬), основным множеством которой является все множество логических функций, а операциями — дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических функций (БА). Операции булевой алгебры также часто называют булевыми операциями.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Основные свойства булевых операций
1. Ассоциативность
а) x1(x2x3) = (x1x2)x3;
б) (x1 x2) x3=x1 (x2 x3)
2. Коммутативность
а) x1x2 = x2x1;
б) x1 x2 = x2 x1
3.Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции x1 (x2x3) = (x1 x2)(x1 x3)
4.Идемпотентность
а) xx = x; б) x x = x
5.Двойное отношение x = x. Свойства констант:
а) x&1 = x;
б) x&0 = 0;
в) x 1 = 1;
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
г) x 0 = x; |
|
|||||||||||
д) |
0 |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е) |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Правила де Моргана |
|
|||||||||||
а) |
|
= |
|
|
1 |
|
2; |
|
||||
x1x2 |
x |
x |
|
|||||||||
б) |
|
= |
|
1 |
|
2. |
(2.7) |
|||||
x1 x2 |
||||||||||||
x |
x |
|||||||||||
7.Закон противоречия xx = 0
8.Закон «исключения третьего»: x x = 1.
Пример. Запишем (2.7) x1x2 = x1 x2.
Подставим x1x3 вместо x1: x2x1x3 = x1x3 x2; значит, эти формулы эквивалентны.
Такие преобразования, использующие эквивалентные соотношения и правило замены, называются
эквивалентными преобразованиями.
Рассмотрим некоторые основные эквивалентные преобразования в БА и новые соотношения, полученные с их помощью.
Будем помнить, что в БА принято опускать скобки в следующих двух случаях:
1.) при последовательном выполнении нескольких конъюнкций или дизъюнкций ((x1x2)x3x1x2x3);
2.) если они являются внешними скобками у конъюнкции: например, вместо (x1(x2 x3)) (x4x5) пишут x1(x2 x3) x4x5.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель