2. Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда

Розглянемо гіперболічний параболоїд, заданий канонічним рівнянням

. (7)

Перетворимо це рівняння так:

.

Розглянемо дві системи рівнянь:

і

Ці системи визначають рівняння прямих, які повністю лежать на гіперболічному параболоїді, бо якщо перемножити відповідні частини рівнянь однієї системи, то одержимо рівняння (7) при довільному .

Ці прямі називаються прямолінійними твірними гіперболічного параболоїда. Вони мають такі жвластивості, як і прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда:

1. Через довільну точку гіперболічного параболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім’ї.

2. Будь-які дві твірні однієї сім’ї є мимобіжними.

3. Будь-які дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.

Пропонуємо довести ці властивості самостійно.

Таким чином, гіперболіч-ний параболоїд також є ліній-чатою поверхнею (рис. 11.2).

Можна показати, що однопорожнинний гіперболоїд утворюється рухом прямої, яка ковзає по трьох мимобіжних прямих. Аналогічно гіперболічний параболоїд можна утворити рухом прямої, яка ковзає по двох мимобіжних прямих і залишається при цьому весь час паралельною заданій площині.

Природно виникає запитання: чи мають прямолінійні твірні такі поверхні другого порядку як еліпсоїд, двопорожнинний гіперболоїд і еліптичний параболоїд?

Відповідь проста: ні. Покажемо це на прикладі еліпсоїда. Як було встановлено в §6, еліпсоїд лежить всередині деякого прямокутного паралелепіпеда, тобто є обмеженою поверхнею. Але кожна пряма є необмеженою лінією, а тому не може повністю лежати на еліпсоїді.

П р и к л а д.На гіперболічному параболоїдізнайти прямолінійні твірні, паралельні до площини.

Р о з в ’ я з а н н я.

Запишемо рівняння двох сімей прямолінійних твірних даного гіперболічного параболоїда:

(8)

і

(9)

Знайдемо координати напрямних векторів прямих із сім’ї (8):

Координати напрямних векторів прямих (9):

Вектор паралельний до площини, якщо, звідки. Тоді прямою із сім’ї (8), паралельною до даної площини, є пряма

з напрямним вектором.

Точка належить цій прямій. Тому її канонічне рівняння

.

паралельний до даної площини, якщо, звідки. Тому.

Рівняння другої прямої:

Цій прямій належить точка , тому її канонічне рівняння

.

Відповідь: і.

§ 12. Діаметральні площини поверхні другого порядку

Означення. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні другого порядку, називаєтьсяхордоюцієї поверхні.

Т е о р е м а.Середини паралельних хорд поверхні другого порядку лежать на площині.

Д о в е д е н н я.

Нехай поверхня другого порядку задана загальним рівнянням у деякій системі координат :

(1)

Розглянемо хорди цієї поверхні, паралельні до заданого вектора(рис. 12.1). Нехай– одна з таких хорд, точка– її середина, координати кінців хорди:і. Розглянемо векториі. Ці вектори колінеарні з вектором, причому один з них співнапрямлений з вектором, а другий – протилежно напрямлений з. Довжини цих векторів рівні:. Тому

,

.

Звідки

(2)

і

(3)

Точки ілежать на даній поверхні, тому їх координати задовольняють рівняння (1). Підставивши (2) в (1), матимемо:

Беручи до уваги, що , дістанемо

(4)

Введемо позначення:

;

;

;

;

Тоді рівність (4) запишеться так:

(5)

Аналогічно, підставивши (3) в (1), матимемо:

(6)

Віднявши відповідні частини (5) і (6), дістанемо:

,

звідки випливає, що координати точки задовольняють рівняння

. (7)

А це є рівняння першого порядку відносно .

Цим самим ми встановили, що для того, щоб точка хорди, паралельної до вектора, була її серединою, необхідно і достатньо, щоб її координати задовольняли рівняння (7), яке є рівнянням площини. Теорему доведено.

Означення.Площина, яка проходить через середини хорд поверхні другого порядку паралельних до деякого вектора, називаєтьсядіаметральною площиною цієї поверхні, спряженою з вектором.

Як випливає з наведених вище міркувань, рівняння діаметральної площини, спряженої з вектором , має вигляд:

(8)

П р и к л а д.Скласти рівняння діаметральної площини поверхні, спряженої з вектором.

Р о з в ’ я з а н н я.

Для даної поверхні

.

Із рівняння (8) маємо:

;

.

Відповідь: .