§ 8. Двопорожнинний гіперболоїд

Означення. Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

. (1)

Це рівняння називається канонічним рівняннямдвопорожнинного гіперболоїда, а відповідна система координат –канонічною системою координат.

Рівняння (1) можна записати і так:

(2)

Властивості двопорожнинного гіперболоїда

1. Двопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок координат.

2. Двопорожнинний гіперболоїд не перетинається з координатними осями і, а вісьперетинає в двох точках, симетричних відносно початку координат. Ці точки називаютьсявершинами двопорожнинного гіперболоїда, а відрізок – йогодійсною віссю.

3. Двопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, оскільки всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

4. Зрівняння (1) випливає, що, тобто, абоОтже, двопорожнинний гіпер-болоїд (1) розміщений зовні смуги, обмеженої площинами, і складається з двох симетричних частин (рис. 8.1).

5. Якщо двопороднинний гіперболоїд перетнути площиною ,, то в перерізі утвориться еліпс

,

або

,

розміри якого збільшуються із збільшенням .

Я

Рис. 8.1.

кщо цю поверхню перетнути площинами, паралельними до кординатної площини, то утворяться гіперболи:

,

або

,

уявні осі яких паралельні до осі (рис. 8.1).

Аналогічною буде ситуація і тоді, коли поверхню перетнути площинами, паралельними до площини.

Конус, рівняння якого, також тісно пов’яза-ний з двопорожнинним гіперболоїдом (1). Як і у випадку однопорожнинного гіперболоїда, ці поверхні не перетинаються, наближаються одна до одної, коли, тільки тепер цей конус цілком містить в собі двопорожнинний гіперболоїд (рис. 8.2). Тому такий конус називаютьасимптотичним конусом двопорож-нинного гіперболоїда.

Рівняння ітакож задають двопорожнинні гіперболоїди, дійсні осі яких лежать на координатних осяхтавідповідно.

П р и к л а д.Знайти рівняння площини, паралельної до однієї з координатних площин, яка перетинає двопорожнинний гіперболоїдпо еліпсу з півосямиі 2.

Р о з в’ я з а н н я.

Рівняння шуканої площини , а рівняння її лінії перетину з двопорожнинним гіперболоїдом, або. За умовою задачі

звідки .

Отже, рівняння таких площин .

§ 9. Еліптичний параболоїд

Означення.Еліптичним параболоїдомназивається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

. (1)

Це рівняння називають канонічним рівнянням еліптичного параболоїда.

З цього рівняння випливають такі властивості еліптичного параболоїда:

1. Еліптичний параболоїд проходить через початок координат, і це єдина точка, в якій він перетинає координатні осі.

2. Еліптичний параболоїд симетричний відносно координатних площин , оскільки разом з точкоюйого рівняння задовольняють точки,, симетричні відносно цих площин.

3. Еліптичний параболоїд симетричний відносно осі , бо ця вісь є лінією перетину його площин симетрії. Вісьназиваєтьсявіссю еліптичного параболоїда, а точка, в якій він перетинає цю вісь – вершиною.

   Рис. 9.1

4. Якщо еліптичний парабо-лоїд перетнути площинами, паралельними до площини, то в перетині утворяться еліпси, або. Розміри цих еліпсів збільшуються із збільшенням(рис. 9.1).

Якщо еліптичний парабо-лоїд перетнути площинами , паралельними до площини, то в перетині утворяться параболи

, (2)

осі яких паралельні до осі .

Якщо перетнути площинами , паралельними до, то в перетині утворяться параболи, осі яких паралельні до осі.

Зокрема, в перерізі з площиною утвориться парабола

(3)

Координати вершини параболи (2) задовольняють рівняння (3). Тому еліптичний параболоїд може бути утворений в результаті руху параболи (2) , площина якої паралельна до площини, так, щоб її вершина рухалась по параболі (3), площина якої перпендикулярна до площин, в яких лежать перші параболи.

Зауваження: Якщо в рівнянні еліптичного параболоїда, тобто, то одержимо параболоїд обертання, який утворюється з параболи

шляхом її обертання навколо осі .

Якщо рівняння еліптичного параболоїда , то він розташований у іншому півпросторі відносно площини, ніж еліптичний параболоїд (1) (рис. 9.2).

Еліптичний параболоїд, заданий рівнянням , матиме своєю віссю вісь(рис. 9.3).

Якщо еліптичний параболоїд має рівняння, то його віссю буде вісь(рис. 9.4).

П р и к л а д.Знайти рівняння еліптичного параболоїда з вершиною в початку координат, вісь якого збігається з віссюі якому належать точкиі.

Р о з в ’ я з а н н я.

Оскільки віссю еліптичного параболоїда є пряма і абсциси точок на його поверхні додатні, то його канонічне рівняння має вигляд:

.

Підставимо координати даних точок у це рівняння і розв’яжемо систему:

Отже, шукане рівняння має вигляд

.

Відповідь: .