5. Корені з одиниці та двочленні рівняння

Коренем n-го степеня з 1 називатимемо таке число, що.

Корені з одиниці позначатимемо символами . Оскільки число 1 в тригонометричній формі записують так:

То за формулою (19) маємо

(20)

На комплексній площині корені n-го степеня з 1 зображуються вершинами правильного n-кутника вписаного в коло одиничного радіуса з центром у початку координат. Дійсними коренями можуть бути тільки 1 і -1. Корені з 1, які не є дійсними числами, розташовані попарно симетрично відносно дійсної осі і, отже, попарно спряжені.

З формули (20) випливає, що квадратний корінь з 1 має два значення: 1 і -1, корінь 4-го степеня з 1 – чотири значення: . Корінь 3-го степеня з 1 має три значення:

Теорема. Всі значення кореня n-го степеня з комплексного числа z можна дістати, помноживши одне з цих значень на кожен з коренів n-го степеня з 1.

Справді, нехай - кореніn-го степеня з комплексного числа z, а - кореніn-го степеня з 1. Візьмемо який-небудь корінь n-го степеня із z, наприклад, і покажемо, щоє також коріньn-го степеня із z. За означенням ,. Тоді

Нехай - довільний коріньn-го степеня із z .

Розглянемо частку . Тоді

тобто

Отже, всі корені n-го степеня із z дістаємо за формулою тобто множенням кореняна все можливі корені

Якщо відоме одне із значень кореня n-го степеня з комплексного числа z, то ця теорема дає змогу дещо спростити обчислення всіх значень цього кореня.

Так, одне із значень кубічного кореня з -8 дорівнює -2. Помноживши це значення на корені кубічні з одиниці

дістанемо всі значення кореня кубічного з -8:

, ,.

Теорема. Множина G всіх коренів n-го степеня з 1 є абельова група за множенням.

Нехай і- будь-які кореніn-го степеня з 1. Тоді і, а тому і, тобтоє коріньn-го степеня з 1. Таким чином, на множині G визначена операція множення. Ця операція, як операція множення комплексних чисел, асоціативна і комутативна. У множні G міститься одиниця й для кожного елемента в G міститься обернений елемент, оскільки, тобтоє коріньn-го степеня з 1. Отже, G є абельова група за множенням.

Серед коренів n-го степеня з одиниці є такі, що не є коренями з 1 ніякого меншого степеня: таким, зокрема, є корінь бо для будь-якого натуральногомаємо

(21)

Корінь n-го степеня з 1 називається первісним, якщо він не є коренем з 1 ніякого меншого степеня.

При будь-якому n корінь є первісним. При піднесенні його до степенівдістанемо всі кореніn-го степеня з 1. Крім є й інші первісні кореніn-го степеня з 1. найти їх дає змогу така теорема.

Теорема. Корінь n-го степеня з одиниці

Єпервісним тоді і тільки тоді, коли числоk взаємно просте з числом n.

Отже, число первісних коренів n-го степеня з одиниці дорівнює числу натуральних чисел, які менші від n і взаємно прості з n.

Приклад 1. Знайти первісні корені 6-го степеня з 1. Оскільки серед чисел 1,2,3,4,5 лише 1 і 5 взаємно прості з 6, то первісними коренями є тільки

Приклад 2. Довести, що сума всіх коренів n-го степеня з комплексного числа z дорівнює нулю.

Нехай деяке значенняВсі значеннядістанемо помножившина кожен коріньn-го степеня з 1: . Тоді матимемо

- первісний корінь , для якого виконується співвідношення

Отже,

Це э геометрична прогресія з першим членом і знаменником. Тому

З добуванням коренів із комплексних чисел тісно пов‘язано розв‘язування двочленних рівнянь.

Двочленним рівнянням n-го степеня називається рівняння виду

(22)

де n – натуральне число і .

Розв‘язком рівняння (22) є значення ,Таким чином, розв‘язування рівняння (22) зведено до добування кореняn-го степеня з числа q. Якщо , то коріньмаєn різних значень. Якщо q=0, x=0.

Приклад. Розв‘язати рівняння

, Скористаємось формулою

Вправи до самостійного розв‘язування

1. Виконати дії над комплексними числам в алгебраїчній формі:

а)

б)

2. Розв‘язати рівняння відносно дійсних змінних x,y:

а)

б)

3. Побудувати точки, які зображують комплексні числа:

4. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:

5. Побудувати вектори, які зображують суму і різницю комплексних чисел:

а) й, б)й, с)й

6. Обчислити:

1), 2), 3).

7. Знайти геометричне місце точок, які зображують комплексні числа z, для яких:

1) 2)3)4)

5) 6)7)

8) 9)10)

11) 12)

13) 14)15)

8. Розв‘язати рівняння:

1) 2)3)

9. Обчислити:

1) 2)3)4)

5) 6)7)8)

10. Розв‘язати рівняння:

1)

2)

3)

11. Знаючи, що є одним із значеньзнайти всі значення

12. Розв‘язати двочленні рівняння:

1) 2)3)4)