Задача 4:

Для опорів R1таR2 (схема задачі 3) вибрати однотипні резистори, якщо між вуз­лами А та Б кола напругаUab=12В,а струми паралельних ланцюгів І1=0,06А; І2=0,0З А.

1.Визначимо потужності, які розсіюються на резисторах у робочому режимі:

R1=Uab/I1=12/0,06=200 Om;

R2=Uab/I2=12/0,03=400 Om

2. Визначимо потужності, які розсіюються на резисторах у робочому режимі:

Р1=І₁²*R1= 0,72 Вт;

Р2=І₂²*R2= 0,Зб Вт.

З Щоб резистори були однотипні візьмемо як R1 два резистори по 4000м, з'єднавши їх паралельно: R1=400*400/400+400=2000т,струмI1 роздвоюється І1=І1’+І1’’;

І1'=І1"=(1/2)І1=0,0З А. Потужність на резисторахR1’таR1" буде: Р1’=Р1/2=0,72/2=0,ЗбВт. 4. Обираємо 3 резистори на 400 Ом потужністю 0,5Вт.

Задача 6:

До джерела е.р.с. Е=60В, r_вн=0,20м приєднані чотири послідовно з'єднаних резис­ториR1=1 0m;R2=RЗ=4 Оm;R4=0,8 0m. Визначити струм І у колі, спади напруги на кожному резисторі, напругу на затискачах джерела, потужність джерела, потужність, яка розсіюється у тепло на кожному резисторі, скласти баланс потужностей.

1. Визначимо еквівалентний опір споживача

Rе=R1 +R2+RЗ+R4= 1 +4+4+0,8=9,8 0m

2. Визначимо струм у колі I=E/ Rе+r=60/9,8+0,2=6 А

3. Напруга на затискачах джерела: U=І*Re=Е-Іr=58,8 В

4. Спади напруг на резисторах споживача: U1=І*R1=6*1=6 В;U2=І*R2=6*4=24В;U3=U2=24В;U4=I*R4=6*0,8⁼=4,8В.

5. Внутрішній спад напруги джерела: U=I*r=6*0,2=1,2В;

6. Потужність джерела: Рвн=Е*I=60*6=360Вт

7. Внутрішні витрати джерела: Рвn⁼I²*r=7,2Вт

8. Потужність споживача: Рсп=U*І=58,8*6=352,8Вт

9. Потужності, які розсіюються на резисторах:

Р1=I² *R1=ЗбВт; Р2⁼Р3⁼I²*R2=144Вт; Р4=І*R4=28,8В;

Рq⁼Рсn+Рвп=Рвп+Р1+Р2+Р3+Р4=7,2+36+144+144+28,8⁼360Вт

-28-

Лекція 7

Визначення еквівалентних опорів. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку і навпаки.

1. Визначення еквівалентних опорів.

2. Трикутник і зірка опорів.

3. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку.

4. Перетворення зірки опорів у еквівалентний трикутник.

Дом. завд. [1] стор. 71 - 76 зад. 4.

1. Метод еквівалентних опорів використовують для розрахунку таких електричних кіл у яких є пасивні елементи, включені між собою послідовно, паралельно або по змішаній схемі.

Змішаним з'єднаннямназивають послідовно-паралельне з'єднання резисторів або ділянок кола, кожна з яких, у свою чергу, може складатися з послідовно або паралельно з'єднаних резисторів.

Найбільш типовим є змішане з'єднання, при якому паралельно підключені приймачі енергії з'єднані послідовно з опором провідних проводів та внутрішнім опором джерела живлення. Розрахунок такого кола при заданій е.р.с. або напрузі джерела живлення та відомих опорах резисторів полягає у знайденні струмів та напруг на всіх ділянках кола.

Спочатку визначимо провідність розгалуженої ділянки кола.

G_БВ =G3+G4+G5=1/R3 + 1/R4 +1/R5

Еквівалентний опір цієї ділянки

R_БВ=1/G_БВ

Тепер задане коло можна зобразити схемою, яка складається з трьох послідовно з'єднаних опорів

R1 І, R2

R=RІ+R2+Rбв; І=U/R

U1=I*R1

U2=I*R2

Uбв=I* Rбв

-29-

Струми у паралельних ділянках кола:

I3=U_БВ/R3

I4=U_БВ/R4I5=U_БВ/R5 Загальна напруга :U=IR1+IR2+IR_БВ=U1+U2+U_БВ

Звідки витікає, що Uбв =U-U1-U2<U, таким чином задана схема є прикладом дільника напруги.

2. Схемуз'єднання трьох ланцюгів, які утворюють замкнений контур з трьома вузлами називають трикутником.

Удеяких випадках розрахунок значно спрощується, якщо трикутник опорів замінити зіркою опорів, - трьома ланцюгами, які мають додатковий загальний вузол 0. Можливо виконати і зворотні дії. Ці обопільні заміни трикутника і зірки опорів повинні бути еквівалентними: при відповідно рівних напругах між вершинамиA,Б і В трикутника і зірки струми Іа, Iб, Iв у провідних проводах, з'єднуючих ці вершини з рештою кола, повинні лишитися без змін

Рівність струмів повинна виконуватись при будь-яких змінах у решті кола і, зокрема, при обривах його ланцюгів.

Припустимо стався обрив провідної о провода до вершини А, таким чиномІа= 0. Еквівалентні схеми наберуть вигляду :

-З0-

Повинна виконуватись рівність струмів Iв’=Iв’’,Iб’ =Iб’’ у обох схемах, тому можливо записати

R_Б+R_В=(R_ВБ(R_АВ+R_AБ))/R_AB+(R_ВБ-R_БА) (*)

Міркуючи аналогічно для випадку обрива у вершині Б (Iб =0), а потім у вершині В (Iв =0), одержимо

Rа+Rв= Rав+ (Rвб+Rба) /Rав + (Rвб+Rба) (** )

RА+RБ=R_АБ (R_АВ+R_ВБ)/R_АБ +(R_АВ+R_ВБ) ( * * * )

Щоб перетворити трикутник у зірку при відомих опорах Rаб, Rв_Б,Rва, необхідно знайти опори променів еквівалентної зіркиRа, Rс,Rв.

Складаємо напівсуму лівих та правих частин рівнянь (* ) та (* * *)

R_А+1/2R_В+1/2R_Б= (Rаб* Rав +1/2(Rбв* Rва+ Rаб* Rбв))/ Rаб+Rбв+Rва

R_А+1/2(R_В+R_Б)=RАБ*RАВ+1/2Rбв(Rва+ Rаб)/RAБ+RБВ+Rва

З отриманого виразу віднімемо (*), зменшивши у два рази його ліву і праву частини

1 /2(Rв+R_Б)= 1/2Rвв(Rва +Rабв) /Rаб+Rбв+ Rва

Отримаємо:

Rа=R_АБ*R_ВА/Rаб+Rбв+ Rва

Аналогічно:

Rб=Rбв*Rба/Rаб+Rбв+ Rва

Rв=Rвб*Rва/Rаб+Rбв+ Rва

Опір променя еквівалентної зірки дорівнює добутку опорів двох сторін трикутника, які приєднані до тієї самої вершини, що і промінь зірки, по­діленому на суму опорів усіх сторін трикутника.

-З1-

Якщо опори трикутника дорівнюють один одному: Rаб =Rбв =Rва, то будуть рівні один одному і опори зірки,RA=RБ=Rв, до того ж

R_^=R /3

При зворотному перетворенні зірки у еквівалентний трикутник при певних опорах Rа,Rб,Rв

Rаб=Rа+Rб+(Rа*Rб/Rв)

Rбв=Rб+Rв+(Rб*Rв/Rа)

Rва=Rв+Rа+(Rв*Rа/Rб)

Опір сторони еквівалентного трикутника дорівнює сумі опорів двох променів зірки ,які приєднані до тих вершин , що і сторони трикутника ,та їхнього добутка, деленого на опір третього проміня зірки.

Приклади.

1. Визначити еквівалентний і загальний опори, потужність джерела і приймача, к.к.д. струми у ланцюгах.

R1 A R3 Дано:ro=0,З ОмR1=7,7 Ом;R2=6 0м;R3=1,40м;R4=20мR5=6 Ом;R6 =4 ОмR7=40м; Е-=100 В

Визначити: Rекв,Rзаг, Рдж, Рпр, η, І₁,І₂,I₃,І₄,I₅,І₆,І₇.

1. Визначимо всі вузли і струми, які проходять у ланцюгах.

2. Знайдемо Rекв мегодом згортання кола.

Rвг= (Rб*R7)/(R6+R7)= (4*4)/ 4+4⁼2 (Ом)

R_Бвг=R5+Rвг =6+2=8 (Ом)

R_Бг =(R4*R_Бвг)/ К4+К_БВГ=(2*8)/2+8 == 1,6 (Ом)

R_AБг=R3+Rбг 1,4+1,6 = 3 (Ом)

R_Aг=R2*RАБГ / R2+RАБГ=6*3/6+3 = 2 (Ом)

Reкв=R1+RАг=7,7+2=9,7 (Ом)

Rзаг =Reкв +rо =9,7+0,3-= 10 (Ом)

3. Визначимо струми у ланцюгах.

І₁=I=Е/R_заг=100/10=10 (А)

Щоб визначити струм I2знайдемо напругу між точками А та Г.

U_AГ=I1*R_АГ=10*2=20(В)

I2=U_АГ/R2=20/6=3,3 (А)

СтрумІ₃=I₁–I₂=10 - 3,3= 6,7 (А)

Напруга між точками Б та Г

Uбг = І3-Rбг=6,7*1,6 =10,72 (В)

І₄=U_Бг/R4=10.72/2= 5,36 (А)

I₅=I₃-I₄= 6,7 - 5,36= 1,34 (А)

І₆=І₇-І₅/2=1,34/2- 0,67 (А)

4. Визначимо потужності

Рдж Е*I1= 100*10=1*10³=1 кВт

Рпр = I²1*Rекв = 100-9,7 = 970 Вт

η = Рпр/Рд= (970*100)/ 1000 = 97 %

Завдання додому схема по 1-му прикладу.

Дано: го =0,5 Ом; R1=11,5 Ом;R2=10 Ом;RЗ=30 Ом;R4=20 Ом;R5=14 Ом;

R6=10 Ом;R7=15 Ом;U1=209,7 В.

Визначити:Rекв,Rзл₁, Е, Рд, Рпр, Р1,P2

2. Визначити струми у ланцюгах мостової схеми, якщо відомі параметри кола:

Е=4,4В; R1=20 Ом;R2=60 Ом;

R3=120 Ом;R4=8 Ом;R5=44 Ом.

Розв'язання :

1. Замінимо один з трикутників схеми еквівалентною зіркою (БВГ).

2. Знайдемо опір променів зірки RБ⁼R3*R4/(RЗ+R4+R5)=120*8/172=5,бОм

-32-

R_B=R4*R5(R3+R4+R5)=44*8/172=2 ОмRг =R5*R3/(R3+R4+R5)==120*44/172=30,7 0м 3. Визначимо еквівалентний опір:

Rекв =Rв+ ((R1+R_Б)(R2+Rг)) /(R1+R_Б+R2+R_Г) =

=2+(25,6*90,7)/116,3 =22 (Ом)

4. Знайдемо струм джерела:

I=E/R_ЕКВ= 4,4/22=0,2 (А)

5. Визначимо напругу між точками 0 та А.

Uоа -Е-Uо_B⁼4,4 - 0,2*2=4 В

6. Знайдемо струми I1аI2

І1=Uоа / R1+Rб= 4/25,6=0,156 А

I2=Uоа / R2+R_Г=4/90,7=0,044 А

7. Для визначення струмів І3, І4, І5складемо рівняння згідноIIзакона Кіргофа для контура А Б Г А початкової схеми.

-І1*R1+І2*R2+Із*RЗ=0

І3- ( I1*R-І2*R2) /R3 =(0,15б*20-0,044*60)/120⁼0,004 (А)

Згідно Iзакону Кірхгофа :

для вузла Б: I4=I3+I2=0,004+0,156 =0,1б (А)

Для вузла Г: Ї5==Т2-Тз = 0,044-0,004=0,04 (А)

3. Перетворивши схему визначити струми у проводах трьохпровідної лінії постійного струму ,якщо:

UАв=Uвс=200B

RІ=R3=R7= 1 Ом

R2= 0,5 Ом

R5=R4= 4 Ом

R6⁼R8=2 Ом

R9= 8 Ом

-33-

Рішення 1. Опори R6;R.7;R8 утворюють зірку, опориR4,R5,R9 утворюють трикутник.

Перетворимо зірку у еквівалентний трикутник

Rаb=R6+R7+ (R6*R7) /R8 Rbс=R7+R8+ (R7*R8)/R6Rас=R6+R8+ (R6+R8) /К7

Каb=2+1+2/2 ⁼4 Ом,Rbс= 1+2+ 2/2=4Ом,Rас=2+2 +2*2/1=8 Ом

2. Згорнемо отримане коло:

R10=R4//Rаb⁼(R4*Rаb) / (R4+Rаb) = (4*4) / (4+4) =2 Ом

R11=R5//Rbс = (RЗ*Rbc) /(R5+Rbс) =(4*4) /(4+4) = 2 Ом

R12=R9//Rас⁼(R9*Кас) / (R9 +Rас)⁼ (8*8) /(8+8) = 4 Ом

3.Перетворимо отриманий трикутникR10,R11,R12 у зірку:

Rа⁼(R10*R12) / (R10+R11+R12)= =(2*4)/(2+2+4)=1 ОмRb=(R10*R11)/(R10+К11+R12)= =(2*2)/(2+2+4) =0,5 ОмRс=(R11*R12)/(R10+R11+R12)= =(2*4)/(2+2+4)^;=1 0м

4.Визначимо опори ланцюгів:

R_АО=R1+Rа=1+1=2 ОмRво=R2 +R6=0,5+0,5 = 1 ОмR_СО=RЗ+RС =2 0м

5. Складемо рівняння згідно І закону Кірхгофа для вузла О:

І_а+І_в+І_с =0

6. Складемо рівняння згідно II закону Кірхгофа

а) для контура А О С В А

І_а*Rао - Іс*Rсо -Uвс -Uав =0

І_А*2-Іс*2-200-200=0

І_А=Іс+200

б) для контура АОВ

Iа*R.ао -Iв*Rво - Uав =0

IA*2-I_B*1 -200=0

7. Складаємо систему рівнянь:

І_А+І_В+І_С=О

І_А=I_С+200

2І_А-Iв-200=0

Iв=-Iс-Iа

I_А=Іс+200

2I_А+І_С+І_А-200=0

2І_С+400+ Іс+200 -200 =0

4Iс= -400

Iс=-100(А)

Iа=-100+200=100 А

Ів=-(-100)-100=0

Відповідь : І_А=100А; Ів=0; Іс= -100 А

-34-

Лекція 8-9

Методи розрахунку складних електричних кіл.

1. Метод вузлових і контурних рівнянь

2. Метод накладання струмів 3. Метод еквівалентного генератора

4. Метод контурних струмів 5. Метод вузлових напруг Дом. завд. [1] стор. 76-82 зад. 5.2; 5.4

[1] стор. 82-91 зад. 5.7; 5.9

1. Розрахунок кола з декількома колами можливо виконати, використовуючи два закони Кірхгофа. Якщо для кола задані значення е.р.с або струмів джерел е.р.с або струму та опори, то для визначення усіх струмів необхідно стільки розрахункових рівнянь, скільки у колі невідомих струмів.

Кількість незалежних вузлових рівнянь, які складаютья згідно з першим законом Кірхгофа, повинна бути на одиницю менше кількості вузлів у колі. Якщо у колі nвузлів, то необхідно скласти (n-1) рівнянь. Решту рівнянь складають згідно з другого закону Кірхгофа. Якщо у схемі т ланцюгів та п вузлів, то згідно другого закону Кірхгофа можна скласти (m-n+1) незалежних контурних рівнянь.

Контурні рівняння рекомендують складати для простіших контурів з малою кількістю ланцюгів. Кожний новий контур, для якого складається рівняння, повинен мати хоч би один ланцюг, який не входив у контури, для яких вже складені рівняння. Розглянемо приклад схеми розгалудженого кола

Для складання вузлових та контурних рівнянь необхідно знати напрям струмів. Довільно виберемо напрями струмів I. Будемо вважати їх позитивними. Якщо після розрахунків якийсь струм вийде негативним, в дійсності його напрям буде протилежний вибраному.

Коло має три вузли А, В, Д (n=3), тому треба скласти два рівняння згідно з першим законом Кірхгофа ( два вузлових рівняння ) Для вузла А: Іі-Із-І4⁼О Для вузла D: І2+І3-І5 =0

Оскільки кількість ланцюгів з невідомими струмами m=5, то необхідно мати 5 незалежних рівнянь, тому три недостаючих рівняння контурні. Контур АБВА: Е1=І1(R1+г1)+І4R4

Контур АВДА : -І4R4+І5R5+ІЗR3⁼0 Контур ВГДВ : -Е2=-I2(R2+r2)-I5R5 Розрахувавши систему з п'яти рівнянь з п'ятьома невідомими, визначимо невідомі струми.

Вірність розрахунків можливо перевірити, склавши баланс потужностей : сума потужностей джерел повинна дорівнювати сумі потужностей споживачів.

Приклад 1 Визначити струми, застосувавши вузлові та контурні рівняння, і скласти баланс потужностей якщо Е1=225 В; Е2=200 В;R1=R2=1 0м; Е3=2 Ом Рішення

1. Оскільки у колі 2 вузла, то необхідно скласти 2-1=1 вузлове рівняння. 2. 2. Коло має 3 ланцюги, складаємо ще (3-2+1 )=2 контурних рівняння.

-35-

Для вузла Б : І1+І2+І3=0 Для контурів : Е1+Е2=І1R1-І2R2

-E2⁼I2R2-I3R3

3. Складемо систему рівнянь, підставляючи числові значення опорів і е.р.с.

I1+I2+I3=0 I1=-I2-I3

425= I1-I2 => 425=-I2-I3

-200=I2-2I3 -200=I2-2I3 425=-2I2-I3 *2 => 425= -2I2-I3

-200=I2-2I3 *2 => -400= 2I2-4I3

25=-5Із; ІЗ=-5 А

І2=2ІЗ-200=-10-200=-210 А І1=-І2-І3=-(-210)-(-5)=215А

4. Потужність першого джерела:

РД1=Е1I1=225*215 =48375 Вт

5. Струм І2 другого джерела має напрям, протилежний е.р.с E2, але чисельне значення струму від'ємне, таким чином дійсний напрям струму збігається з напрямом Е2, отже друге джерело також працює у режимі генератора з потужністю:

Рд2=Е2|І2| -200*210 =42000 Вт

6. Потужності приймачів:

P1=Іі²*R1 = 215²*1 = 46225 Вт;

Р2==І₂²*R2 = (-210)²*1= 44100 Вт;

P3= І₃²*R3 = (-5)²* 2 = 50 Вт.

7. Складаємо баланс потужностей

Рд1+Рд2=Р1+Р2

48375+42000=46225+44100+50; 90375=90375 Вт.

Приклад 2. Визначити струми в ланцюгах схеми, якщо:

Е1=50 В;Е5=20 B; Ik=3A R1=R3=R5=10 0м; R2 =5 0мR4=20 0м

Рішення

1. Кількість вузлів: n= 4 Кількість ланцюгів:n= 5 ( у одному ланцюзі струм відомий)

Кількість рівнянь:

Вузлових n-1=3 ; контурнихm-n+1=2

2. Вузол Б : І1=І3 +І4; I1-I3-I4 =0 Вузол В : І4-І5+Ік=0 Вузол Г : -І2+І3+І5=0 Контур АГБА: Е1=I1R1+I2R3+І3R3 Контур БГВБ : Е5=І5R5+І4R4-І3R3 3. Складаємо систему, підставивши чисельні значення :

-36-

І₁-І_З-І₄=0 І₄-І₅+3=0 -І₂+І₂+І₅=0 => 50=10І₁+5 І₂+10І₃20=10І₅+20І₄-10I₃,

1.І₁=ІЗ+І4 2.14= І5-З З.І₂=І₃+І₅;І₅=І₂-І₃

(2+3) І₄=I₂-І₃-З (1+3)I₁=I₃+I₂-I₃-3=I₂-3 (4+5) 70=10І1+5І₂+10І₅+20І₄

(підставимо (3) і (2+3) і (1+3) 70 = 10І₂+ 5І₂+10I₃- 10І₂ + 20І₂ - 20І₃-60-30 70=45І₂-ЗОІ₃-90

160 = 45I2; (в 4 підставити (1+3)) 50=10І2-30+5І2+10І3

1бО =45I₂-ЗОIз*3±1бО = 45I₂– ЗОI₃ 80 =15І2 +10І₃ *3 ± 240 = 45I₂+ ЗОI₃

400 = 90 І₂ І₂=4,44 А 80=60І₃; І₃=1,33 А І₅=3,11 А; І₄=0,11А I₁=1,44 А

2. Метод накладання струмів походить з принципа накладання або незалежності дії сил в лінійній системі.

Принцип накладання- струм у будь-якому ланцюзі кола з опорами, які не залежать від струмів і напруг, дорівнює алгебраїчній сумі часткових струмів, які створені у цьому ланцюзі усіма по черзі діючими е.р.с.

Щоб виконати розрахунки з застосуванням принципа накладання, спочатку припустимо, що в колі діє тільки перша е.р.с. Е₁. Всі опори кола, включаючи і опори джерел, е.р.с. яких прирівнюється до нуля, лишаються незмінними. Для такого кола знаходимо часткові струми у всіх ланцюгах. Потім розрахунки повторюють, припускаючи, що діє тільки друга е.р.с. Е₂. Аналогічні розрахунки виконують почергово для всіх джерел, включаючи і джерела струму.

Для кожного ланцюга виходить стільки часткових струмів, скільки джерел має коло. Алгебраічно сума цих часткових струмів дорівнює струму І у ланцюгу при одночасній дії всіх джерел:

І=I’+I’’+I’’’+...

При визначенні загальних струмів необхідно вірно урахувати напрям часткових струмів: у початковій схемі позначають умовно-позитивні напрями струмів у ланцюгах. Частковий струм вважають позитивним, якщо він має напрям, який збігається з позитивним струмом у тому ж ланцюзі початкової схеми. Частковий струм протилежного напряму вважають негативним. Приклад:

-37-

Визначити струми і скласти баланс потужно­стей, якщо Е1=120 В; Е2=80 В; Е3=60 В;

г1=0,5 Ом;R1=2 Ом;r2=0,4 Ом;R2=15,6 Ом;

г3=0,2 Ом;R3=12,4 Ом;R4=7,5 Ом;R5=7,4 Ом. Рішення:

1. Визначимо напрями струмів

2.Припустимо Е2=0; Е3=0.

Rекв=((R5+r3+R3)(R2+r2)/R5+r3+R3+R2 +r2) +

+R4+R1+r1

R_аБ = (7,4+0,2+12,4)(0,4+15,6)/ 7,4+0,2+

+12,4+0,4+15,6)=9 Ом

Rекв =9+ 7,5+0,5+2 = 19 0м

I₁’=E1/ Rекв=120/19= 6,35 А

I₂’=U_АБ/ R2+r2; U_АБ = I₁’* R_АБ ; I₂’= I₁’*(R_АБ/ R2+r2) = 6,35 (9/16)=6,35 А

I₃’= (U_АБ/ R5+r3+R3)= I₁’ (R_АБ/ R5+r3+R3)=6,35(9/20)=2,82 A

Перевіримо по І закону Кірхгофа

I₁’= I₂’+ I₃’; 6,35=3,53+2,82=6,35 А

3. Припустимо Е1=0; Е3=0

R_АБ =((R4+r1+R1)( R5+r3+R3)/ R4+r1+R1+ R5+r3+R3) =

= ((7,5+0,5+2)(7,4+0,2+12,4)/ 7,5+0,5+2+7,4+0,2+12,4=

=10*20/30=6,67 Ом

Rекв=R_АБ+r2+R2=6,67+15,6+0,4=22,67Ом

Визначимо часткові струми

I₂”=E2/Rекв=80/22,67=3,53A;U_АБ=I₂”*R_АБ

I₁”=I2*(R_АБ/ R4+r1+R1)=3,53* 6,67/10=2,35 A

-38-

I3’’=(I2’’* R_AБ )/R5+r3+R3

Перевіримо по І закону Кірхгофа

І2’’=І1'+І3’’; 3,53 =2,35+1,18 =3,53 А

I2’’’=I3’’’ (R_AБ)-R2+r2= 2,29*6,15/16=0,88 A

Перевіримо по І закону Кірхгофа

І3’’’=І1’’’+І2’’’; 2,29 =1,41+0,88 =2,29 А

5.Струми у початковій схемі знайдемо по принципу накладання, зважаючи на напрям початкових струмів у схемах

I1=I1’+I1" –I1”= 6,35 + 2,35 -1,41 = 7,29 А

I2= -І2’–I2”–I2”= -3,53 - 3,53 - 0,88 = -7,94 А

І3= -I3’+I3”+I3”= -2,82 +1,18 + 2,29 = 0,65 А

6.Складемо баланс потужностей, зважаючи на те, що напрям реальних струмів збігається з напрямом е.р.с. у ланцюгах,таким чином е.р.с. є джерелом енергії.

E1I1 + Е2І2 + Е3I3 = І₁²R1 + І₁²r1+ І₁²R4+ І₂²r2+ І₂²R2+ І₂²R5+ І₃²r3+; І₃²R3 120 * 7,29 + 80 * 7,94 + 60 * 0,65 = 39 + 635,2 + 874,8 = 1549 Вт 531,44+1008,7 + 8,45 = 1548,59 Вт

3.Метод еквівалентного генератора . Застосовується для розрахунку струма у одному ланцюзі. Схему поділяють на дві частини: ділянку кола або ланцюг з опоромR,струм І у якому необхідно визначити, і решту кола, яка складається з ланцюгів з джерелами живлення

-39-

та без джерел, з'єднаних по будь- якій схемі. Ця друга частина кола має два виводи, якими приєднується ланцюг з невідомим струмом І; ії можливо вважати активним двохполюсником

Замінимо опірRідеальним джерелом е.р.с. Ео=R* І =U=U_AB.Така заміна має назву принципу компенсації. Після заміни струм І залишається таким, яким він був у колі на рис.1.,оскільки різниця потенціалівUа-U_B =U_AB не змінилася, а джерело е.р.с. працює у режимі споживача.

Невідомий струм І в колі розрахуємо методом накладання.

Визначимо струм І від усіх джерел, які знахо­дяться у активному двохполюснику.

Струм I’дорівнює струму короткого замикання активного двохполюсника (рис.3), оскільки джерело е.р.с. Воне діє, а внутрішній опір цього джерела дорівнює нулю (ідеальний).

Визначимо струм І; якщо діє тільки джерело е.р.с. Ео (рис.4). Джерела активного двохполюсника не діють.Тому активний двохполюсник замінюється пасивним, який у свою чергу, можливо замінити його внутрішнім (вхідним) опором (рис.5). Струм

I"=Ео/г_вт =U/г_вт.

Згідно метода накладання для активного двохполюсника І = I’-I’’ ==Ik-U/г_вт, звідкиU=-r_вт*Ik.-r_вт*I

В режимі короткого замкнення І = Ik;U= О

В режимі холостого ходу І = 0; Uxx=r_вт*Ik, таке саме як і у джерела з е.р.с. Е_екв=Uxxі внутрішнім опором г_вт ,для якого вірне рівнянняU= Е_екв–I* . Таким чином при

розрахунках струму І ділянки кола з опором Rактивний двохполюсник можливо зобразити джерелом е.р.с. (мал.6).

I= Е_екв/R+г_вт=Uxx/R+г_вт(*)

Щоб визначити струм по (*), необхідно спочатку Знайти напругу холостого ходу активного двохполюсника і внутрішній (вхідний) опір відповідного

пасивного двохполюсника, який відрізняється від активного тільки тим, що всі джерела усередині двохполюсника не діють.

-40-

Приклад:

Визначити струм у вітці з опором R=8 Ом, якщоR1=20 Ом;R2=5 Ом;R3=10Ом;

R4=40 Oм; E5=25В_ - о

1. ВизначимоUxxактивного двохполюсника, відключивши вітку з опоромR.

Іx=О

I1x=E5/R1+R2=25/25=1 A

I2x=E5/R3+R4=25/50=0,5 А

Uxx=U_Ax-U_BX=I1x*R2- I2x*R4=1*5-0,5*40=-15В

2.Визначимо внутрішній опір двохполюсника, вважаючи Е5=0;rо5=0

r_ВТ=(R1*R2/R1+R2)+(R3*R4/R3+R4)=(20*5/25)+(10*40/50)=10 Ом

3.Струм у вітці з опором R

I=Uxx/R+ r_ВТ=-15/8+12=-0,75 A

4. Метод контурних струмів.

Базується на використані II закону Кірхгофа Розглянемо на прикладі

Для розрахунку струмів у заданому колі виберемо контури як при складанні рівнянь по II закону Кірхгофа, розбиваючи коло на елементарні комірки. перетинаються, то кількість незалежних рівнянь по II закону Кірхгофа дорівнює кількості комірок. Розв'язуючи ці рівняння визначають всі контурні струми.

Контурний струм - це деяка розрахункова величина однакова для всіх віток даного контура.На схемі контурні струми І_І, І_ІІ, І_ІІІмають індекс, позначений римською цифрою; який відповідає своєму контуру.

Контурний струм дорівнює дійсному струму вітки, яка належить тільки даному контуру

ІЗ=І_ІІІ; І1=І_І; І2=-І_ІІ

Алгебраїчна сума е.р.с. в контурі має назву контурної е.р.с. Знак "+" має е.р.с., напрям якої збігається з напрямом контурного струму, знак "-" - спрямована назустріч.

У даному прикдладі Е1= Е_І; Е2=-Е_ІІ; Е3=0

Складемо для кожного контура рівняння по ІІ-му закону Кірхгофа:

Е_I=Е1=(R1+R4)І_I-R4І_III

Е_II=-Е2=(R5+R2)І_II-R5І_III

Е_III=0=(Rз+R4+R,)І_III-R4I_I-R5І_II

Сума опорів віток, які належать контуру, має назву власного опору контура.

r_I =R1+R4;r_II=R2+R5;r_III=R3+R4+R5

Опір вітки, яка належить двом контурам, має назву загального опору цих контурів

r_{I III}=R4; r_{II III}⁼R5

Контурне рівняння містить добуток струму в контурі на всі опори контура і добутки струмів інших контурів на загальні опори.

Порядок складання рівнянь з контурними струмами

1. У заданій схемі вибирають напрями струмів віток (довільно).

2. Позначають незалежні контури та напрями контурних струмів.

3.Визначають контурні е.р.с., власні і загальні опори контурів у відповідності з напрямами контурних струмів.

4.Складають систему рівнянь, де у правій частині доданки з власними опорами контурів беруить зі знаком "+", а додатки з загальними опорами - зі знаком "-".

Приклад

Визначити струми у вітках схеми, якщо

Е1=225 В; Е2=200 В;R1=R2=1 Ом,R3=2 Ом

Рішення

1 .Визначимо контурні е.р.с.

E_I=E1+E2;E_II=-E2

2.Складемо рівняння

E_I= (R1+R2)І_I-R2І_IIЕ₁+Е2=(R1+R2)І_I-R2І_II

E_II= (R2+R3)І_II-R2I_I-Е2=-R2I_I+(R2+R3)І_II

425=2I_I-I_IIx2 25=5 I_II 425=2I_I-5 І1=І_I=215А

-200=-I_I+3I_IIx2 I_II=5A I_I=215A І2=І_I-Іп=210А

І3=-І_II=-5А

5.Метод вузлових напруг. Базується на використанні І закону Кірхгофа та узагальненого закону Ома. Розглянемо окремі вітки електричної схеми:

E’=E1;R’=R1+R2E”=E2;R”=R

Напрям струмів обрано довільно

Визначимо потенціали точок а і с

φа=φв+Е’+I₁R1’ Uaв=φа-φв= Е’+I₁R1’

φc= φd–E”+I₂R" Ucd= φc-φd=-E”+ I₂R"

Визначимо струми через різницю потенціалів

I₁= Uaв-E’/R’; I₂= Ucd+E”/R”

Залежності струмів від напруги між виводами вітки та її параметрами мають назву узагальненого закону Ома.

Потенціал виводу, від якого струм відтікає визначають знаком "+", а потенціал виводу, до якого струм притікає- знаком "-". Е.р.с. має знак "+", якщо її напрям збігається з напрямом струму, знак "-", якщо напрям протилежний напряму струму. Розглянемо розрахунок струмів на попередньому прикладі.

1.Виберемо напрям струмів у вітках.

2. Запишемо (n-1) рівнянь по І закону

Кірхгофа

вузол А: I₁- І₂- І₄=0

вузол Б: І₄+ І₅-I₁-I₂=0

3.Запишемо струми I₁та І₂по узагальненому

закону Ома.

решту струмів по закону Ома

I₃=( φ_А-φ_Б+E₁)/R1; I₄=(φ_Б- φА)/R4; I₅=(φ_Б- φ_B)/R5

4. Приймемо потенціал одного з вузлів рівним 0 (φв=0)

5. Отримані вирази підставимо у рівняння струмів

вузол А: (φ_А-φ_Б+E₁/R1)- (φ_B- φ_А/R3)-( φ_Б-Φа/R4) =0

вузол Б: (φ_Б-φ_А/R4)-( φ_Б-φ_B/R5)- (φ_B-φ_Б+Е2/R2)-( φ_А-φ_Б+Е₁/R1)=0

6. Замінимо опори віток провідностями G=1/R

φ_A-φ_Б+ φ_А*G₁– φБ*G₁+E₁G₁+ φ_АG₃- φ_БG₄+ φ_АG₄⁼0

φ_БG₄- φ_AG₄+φ_БG₂–E₂G₂- φ_АG₁+ φ_БG₁-E₁G₁= 0

7. Перенесемо праворуч усі додатки, що містять е.р.с

φA(G1+G3+G4)-φБ(G1+G4)=-Е1G1

-φA(G1+G4)+φБ(G1+G2+G4+G5=Е1G1+Е2G2

8. З отриманої системи визначають потенціали φA та φБ , а потім струми. Власна вузлова провідність- сума провідностей віток, приєднаних до вузла. Загальна вузлова провідність- сума провідностей віток, які з'єднують два вузла. Систему рівнянь можливо скласти відразу, враховуючи, що власна провідність вузла має знак "+", загальна провідність - знак "-". Праворуч узагальному випадку записують алгебраїчну сумму добутківGЕ.

Порядок складання рівнянь методом вузлових потенціалів

1. Вибрати напрям струмів у вітках.

2. Скласти рівняння для кожного струму по узагальненому закону Ома.

3. Вибрати базисний вузол, потенціал якого прирівняти до 0.

4. Визначити провідність усіх віток.

5. Скласти рівняння для решти вузлів, ліва частина яких містить добутки потенціала вузла на власну провідність мінус добутки потенціалів інших вузлів на загальні провідності, а права - алгебраїчні суми добутків дЕ, до того ж:

а) знак "'+" мають е.р.с, спрямовані до вузла; б) знак "-"мають е.р.с, спрямовані від вузла; в) якщо до вузла підключена вітка, яка має джерело струму, то праворуч додатково записати струм Ік зі знаком "+", якщо він спрямований до вузла і "-", якщо від вузла

6.Знайти вузлові потенціали і, підставивши у рівняння по п.2-струми у вітках.

R1=20м;R2 =1 0 Ом;

R3 =R5 =4 0м;r₄=1 0мR4=З Ом; Е₁’ =2В;

Е₁”=20В; Е₄=4В;Е₅=6В

Визначити струми у колі методом вузлових потенціалів.

I₁=φ_В-φ_А-Е₁'+Е₁”/R1;I₂=φ_А-φ_В/R2; I₃=φ_А-φ_Б/R3;

2.

І₄= φ_А-φ_Б+E₄/R₄+r4;I₅= φ_Б- φ_B+E₅/R5

3 .φ_B=0

G₁=1/R1= 0,5 см;G₂= 1/R2 = 0,1см;G₃= 1/R3 = 0,25см;

4. G₄= 1/R4+r4= 0,25см;G₅= 1/R5= 0,25см

5.вузол..А- φ_А(G₁+G₂+G₃+G₄)-φ_Б(G₃+G₄)= (Е₁”-Е₁’)G₁–Е₄G₄

вузол.Б -φ_А(G₃+G₄)+φ_Б(G₃+G₄+G₅)=E₄G₄-E₅G₅

-44-

φ_A(0,5+0,1+0,25+0,25)-φ_Б*0,5 =18*0,5-4*0,25

-φ_A*0,5+φБ (0,25+0,25+0,25) =4-0,25-6*0,25

1,1φ_A-0,5 φ_Б=8 *3+ 3,3 φA-1,5 φ_Б=24

-0,5 φ_A+0,75 φ_Б=-0,5 *3 + -1,0 φA+1,5 φ_Б=-1

φ_Б= φ_A-1/1,5=9/1,5=6B; 2,3 φ_A=23; φ_A=10B

I₁=(-10-2+20)/2=4 A; I2=10/10=1 A; I3=10-6/4=1 A

6.

I₄=(10-6+4)/3+1=2 A; I5=6+6/4=3 A

7.Складемо баланс потужностей

-E₁’I₁ +Е₁’’I₁+Е₄I₄ + Е5І5 =І₁² R₁ +I₂² R₂+I₃² R₃+ I₄²(R₄ +r₄)+I₅²R5

-8+80+8+18=98 Вт

16*2+1*10+1*4+12+4+36= 98 Вт