Задача 5.2 Компания «Черные каски»
Постановка задачи
Горнопромышленная компания «Черные каски» собирается работать в некоторой области в течение следующих пяти лет. У нее имеется 4 шахты, для каждой из которых есть технический верхний предел на количество руды, которая может быть выработана за год. Эти верхние пределы составляют: шахта Койот – 2 млн. тонн, шахта Мокрая – 2.5 млн. тонн, шахта Елизавета – 1.3 млн. тонн и шахта Ореховый лог – 3 млн. тонн.
Стоимость извлечения руды на разных шахтах различная, вследствие отличающихся глубины и геологических условий. Эти стоимости составляют (включая последующую обработку): шахта Койот – $6 за тонну, шахта Мокрая – $5.5 за тонну, шахта Елизавета – $7 за тонну и шахта Ореховый лог – $5 за тонну.
При этом руда из различных шахт имеет и разное содержание извлекаемого компонента. Для упомянутых выше шахт содержание извлекаемого компонента равно: 10%, 7%, 15% и 5% соответственно. Каждая руда перерабатывается по одному и тому же технологическому процессу, а затем смешивается, чтобы получить более-менее однородную руду с заданным и фиксированным содержанием извлекаемого компонента, так как технологический процесс на металлургическом предприятии подстроен под определенное содержание соединений металла в руде.
Так как руды с течением времени становятся беднее, металлургическое предприятие, на которое компания поставляет руду, собирается провести постепенный переход на обработку более бедных руд. Если в первый год предприятие ожидает 5 млн. т руды с содержанием извлекаемого компонента 9%, то во второй и третий годы – 5,63 млн. т руды с содержанием 8%, а в четвертый и пятый годы – 6,43 млн. т 7%-ной руды.
Соответственно понизится и стоимость руды. Если в первый год руда покупается по $10 за тонну, то 8%-ная руда будет стоить $8,9 за тонну, а 7%-ная – $7,8 за тонну.
Запланируйте добычу руды на четырех шахтах в течение следующих пяти лет так, чтобы максимизировать прибыль.
Представьте, что владелец горнорудной компании получил предложение о продаже. По оценке экспертов покупатель предлагает цену, превышающую стоимость имущества компании на $70 млн. Однако владелец считает, что за пять лет он заработает большую сумму. Стоит ли в действительности продавать компанию? При оценке стоимости компании примите ставку дисконтирования равной 10% в год.
Решение задачи
Итак, необходимо выяснить, какую максимальную прибыль может дать компания в
ближайшие 5 лет. Исходя из величины этой прибыли, можно будет оценить
привлекательность предложения о продаже компании.
При тех условиях, которые описаны в задаче, единственное что мы можем варьировать, это количество руды, добываемой на каждой из шахт. Причем из-за изменения
условий размер добычи может меняться из года в год. Следовательно, нам необходимо подобрать размер добычи для 4 шахт в каждом году, на пять следующих лет. Таким образом, в задаче должно быть 4*5=20 переменных.
Если у нас будет информация о том, сколько руды добывается на каждой из шахт, мы сможем рассчитать издержки по добыче. Зная цену, по которой металлургический комбинат будет принимать руду в последующие пять лет, и планируемый объем закупок, мы сможем определить полный доход компании за пять лет – целевую функцию задачи.
Остается организовать данные в таблицу Excel для этой задачи так, чтобы было удобно задавать условия в Поиске решения.
Один из вариантов организации данных представлен на рисунке 5-12.
Рисунок 5-12
Вячейках B4:D7 приведены данные задачи: предельная годовая выработка руды на шахтах в млн. тонн, содержание извлекаемого компонента в руде в % от массы, себестоимость извлечения 1 тонны руды в долларах.
Вячейках B11:F14 приготовлено место для переменных задачи – количества руды, добываемой в разные годы на каждой шахте. Для удобства вычислений
Вячейках B15:F15 записаны заданные проценты содержания извлекаемого компонента в сырье, поставляемом металлургическому комбинату.
Встроке B16:F16 – плановый объем закупок сырья комбинатом (ожидаемый объем выработки) в млн. тонн.
Вячейках B17:F17 – цена покупки тонны сырья.
Так как нужный процент извлекаемого компонента в сырье для металлургов добывающая компания получает путем смешивания различных руд, то вся добытая руда в конечном итоге будет продана комбинату по закупочной цене. Общее количество добытой
руды подсчитываем в ячейках B19:F19 просто складывая добычу на отдельных шахтах с помощью функции
=СУММ(B11:B14)
для первого года работы (ячейка B19). Аналогично для остальных лет.
Взадании для поиска решения нужно будет потребовать, чтобы значения ячеек B19:F19 в точности равнялись плановой продаже в эти же годы B16:F16.
Вячейках B20:F20 рассчитывается процентное содержание извлекаемого компонента, которое является средневзвешенным для всего объема добычи за год (содержание извлекаемого компонента в 1 т руды). Значит для первого года его следует находить по формуле:
=СУММПРОИЗВ(B11:B14;$C$4:$C$7)/B16
Аналогично для остальных лет. Реальное процентное содержание извлекаемого компонента в руде должно в точности равняться заданному проценту. Для Поиска решения это ограничение будет иметь вид:
B20:F204 = B15:F15.
Произведение добычи за год на цену продажи даст доход за любой год. Однако для получения чистой прибыли нужно из этой суммы вычесть собственные расходы (будем полагать, что все прочие издержки и налоги расписаны на себестоимость). Формулы для расчета прибыли записаны в ячейках B21:F21 и для ячейки B21 (прибыли за первый год) эта формула выглядит следующим образом:
=B19*B17-СУММПРОИЗВ(B11:B14;$D$4:$D$7)
Аналогично для остальных лет. Соответственно, формула
=СУММ(B21:F21),
записанная в ячейке G21, дает полную прибыль за пять лет.
Однако, знать полную прибыль недостаточно. Ведь нам нужно знать, сколько стоит эта будущая прибыль сегодня. Для этого нужно дисконтировать все годовые доходы к нулевому году, т.е. к текущему моменту. Коэффициент дисконта равен 1,1 (10% в год), значит прибыль первого года нужно поделить на 1,1. Прибыль второго года – на 1,12 и т.д. Эти расчеты выполнены в ячейках B22:F22. Формула для первого года имеет вид:
=B21/$F$4^B10.
Аналогично для остальных лет. И, как итог, в ячейке G2 эти дисконтированные прибыли просуммированы:
=СУММ(B22:F22).
Таким образом, целевую функцию мы задали.
В условиях данной задачи, как вы можете проверить сами, результаты максимизации полной номинальной прибыли за пять лет (ячейка G21) и суммы дисконтированных