Алгебра (теоремы)Korableva[1]

Д нны м то ич ски ук ния пр н н ч ны сту нт м п р о о курс м т м тич ско о и фи ич ско о ф культ то при и уч нии т мы По рхности торо о поря к уч ных курсо Г ом трия , Ан литич ск я о- м трия и Ан литич ск я ом трия и лин йн я л р . Ук ния при-

ны н учить ычислять к нонич ски ур н ния по рхност й, нных о щим ур н ниями, н хо ить прямоу ольны сист мы коор ин т, которых по рхности у ут им ть к нонич ски ур н ния. Для ости ния этих ц л й р ссм три тся орто он льн я кл ссифик ция по рхност йторо о поря к , ются ния н с мостоят льную р оту. При нныок т льст т ор м носят конструкти ный х р кт р. Осно но ним ни у ля тся при м м р ш ния ч, н ни которых я ля тся н о хо имым усло и м поним ния с о курс ом трии. В к ч ст прим ро р о р - ны типо ы чи сн ны по ро ными р ш ниями. В конц ук ний при н список ч. Соот тст ующую т орию мо но н йти лю ом уч ник по н литич ской ом трии. Н и ол р спростр н нны и них при ны списк лит р туры. Р ш ни ч тр у т н которых н ний, ум ний и н ыко и курс л ры. При о ится список исполь у мых понятий и л тся ссылк н соот тст ующую лит р туру, н прим р, ссыл- к [4], III.11.4 о н ч т, что кни [4] ну но н йти л у III, п р р ф 11 ну ный пункт 4.

1Ïð î ð î íè ñèñò ìû êîîð èí ò

Âн литич ской ом трии осно но н ч ни им т ч ïð î ð î-íèÿ êîîð èí ò. Он ключ тся сл ующ м: ны сист мы коор-ин т, тр у тся, н я коор ин ты н которой точки или ктор о ной сист м коор ин т, н йти коор ин ты той точки или ктор ру-ой сист м коор ин т. По прямоу ольной сист мой коор ин т поним м сист му коор ин т простр нст с ортонормиро нным исом. Д л

р ссм три м только т ки сист мы коор ин т.

0 ~ ~ ~

Пусть ны ст р я сист м коор ин т O~e1~e2~e3 è íî ÿ O f1f2f3. Â ê-

~ ~ ~

òîðû ~e1, ~e2, ~e3 è f1, f2, f3 этих сист м о р уют ортонормиро нны исы

~ ~ ~

простр нст . Но ый ис f1, f2, f3 им т сл ующи коор ин ты относи- т льно ст ро о ис ~e1, ~e2, ~e3:

~

f1 = c11~e1 + c21~e2 + c31~e3;

~

f2 = c12~e1 + c22~e2 + c32~e3;

~

f3 = c13~e1 + c23~e2 + c33~e3:

Ñîñò èì м трицу п р хо C

C =

~

Стол ц ми м трицы C я ляются коор ин ты но ых исных кторо f1,

~ ~

f2, f3 ñò ðîì èñ ~e1, ~e2, ~e3. Ñî ë ñíî îïð ë íèþ ([4], I.1.3), ê ð ò- í ÿ ì òðèö S í û òñÿ орто он льной, ñëè SSt = StS = E, òî ñòü, ñ-

ли тр нспониро нн я м триц о р тн исхо ной. Отм тим, что р нст о

3

Р ссмотрим к к с я ны м у со ой коор ин ты (x; y; z) è (x0; y0; z0) прои ольной точки M ñò ðîé è íî îé ñèñò ì õ êîîð èí ò. Èì ì

=x0(c11~e1 + c21~e2 + c31~e3) + y0(c12~e1 + c22~e2 + c32~e3) +

+z0(c13~e1 + c23~e2 + c33~e3) =

=(c11x0 + c12y0 + c13z0)~e1 + (c21x0 + c22y0 + c23z0)~e2 +

+(c31x0 + c32y0 + c33z0)~e3 + x0~e1 + y0~e2 + z0~e3:

Âсилу инст нности р ло ния ктор по ису им м

x = c11x0 + c12y0 + c13z0 + x0; y = c21x0 + c22y0 + c23z0 + y0; z = c31x0 + c32y0 + c33z0 + z0;

или м тричном и

Т к к к коор ин ты прои ольно о ктор ~a р ны р ностям соот-тст ующих коор ин т о конц и н ч л , то ст ры коор ин ты x; y; z

Åñëè ó ñò ðîé è íî îé ñèñò ì êîîð èí ò í ÷ ë ñî ï þò, òî ñòü x0 = y0 = z0 = 0, òî ïð î ð î íè êîîð èí ò ýòîì ñëó÷ ó ì í û-òü î íîðî íûì и формулы пр о р о ния коор ин т у ут им ть и

(1).

2При ни к к нонич скому и у ур н ния по рхности торо о поря к

2.1 Т ор мы о при нии ур н ния по рхноститоро о поря к к к нонич скому и у

Ò îð ì 1. Всяк я к р тичн я форм о норо ным орто он льным пр - о р о ни м мо т ыть при н к и у, н со р щ му чл но с

4

÷ ñòè ýòî î ð íñò ñë í C. Ñ ó÷ òîì ð íñò CCt = E получим AC = CA0. Р ссмотрим тр тий стол ц это о м трично о р нст :

 êòîð f3 = (c13; c23; c33) ол н ыть иничным, лин йн я и о норо - н я относит льно c13; c23; c33 сист м (4) им т н нул о р ш ни то и только то , ко опр лит ль р н нулю. Им м

то ур н ни н ы тся х р кт ристич ским ур н ни м к р тичной формы , мно очл н от п р м нной , стоящий сл , н ы тся х р к- т ристич ским мно очл ном. Ур н ни (5) я ля тся ур н ни м тр ть й ст п ни относит льно . И л ры и стно (см. [3], VI.3.1), что к о ур н ни тр ть й ст п ни с йст ит льными коэффици нт ми им т й- ст ит льный кор нь. О о н чим о ч р 3.

Ïîë ÿ óð í íèÿõ (4) = 3, получим сист му

Д л , прои м по орот сист мы коор ин т Ox0y0z0 окру оси Oz0. Т кому по ороту сот тст у т орто он льно пр о р о ни

6

поря к , см. н прим р, [1], V.1.1). При посл о т льном ыполн нии орто он льных пр о р о ний, мых формул ми (1) и (6), им нно при пр о р о нии, мом р нст ом

Ïîê ì, ÷òî a0011 = 1, a0022 = 2, ì ñò ñ a0033 = a033 = 3 я ляются корнями х р кт ристич ско о мно очл н м трицы к р тичной формы A. О о н чим м трицу пр о р о ния (7) ч р C1, м трицу к р тичной формы (8) ч р A00, òî

С ру ой стороны

=det C1 det(A E) det C1 = (det C1) det(A E) =

=1 det(A E) = det(A E);t 2

det2 C1 = 1. Поэтому a0011, a0022, a0033 я ляются корнями х р кт ристич ско о ур н ния det(A E), которо т м с мым им т три йст ит льных корня a0011, a0022, a0033 ( о мо но кр тных), и получ м, что с корни ур н ния

det(A E) = 0 éñò èò ëüíû .

Ò êèì î ð îì 1x002 + 2y002 + 3z002 сть к нонич ский и к р тич- ной формы . Т ор м ок н .

Ò îð ì 2. Î ù óð í íè

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

+ 2a1x + 2a2y + 2a3z + a = 0 (9)

по рхности торо о поря к , нно прямоу ольной сист м коор-ин т, мо но пр о р о ть к о ному и сл ующих пяти прост йших ур н ний:

1)1X2 + 2Y 2 + 3Z2 + D = 0; 1 6= 0; 2 6= 0; 3 6= 0;

2)1X2 + 2Y 2 + 2a03Z = 0; 1 6= 0; 2 6= 0; a03 6= 0;

3)1X2 + 2Y 2 + D = 0; 1 6= 0; 2 6= 0;

4)1X2 + 2a002 Y = 0; 1 6= 0; a002 6= 0;

5)1X2 + D = 0; 1 6= 0:

7

Док т льст о т ор мы монстриру т спосо , с помощью которо о о - щ ур н ни по рхности мо но при сти к о ному и пяти типо ур - н ний, ук нных формулиро к , поэтому при м о.

Äîê ò ëüñò î. Пусть ур н ни (9) но прямоу ольной сист м коор ин т Oxyz. В т ор м 1 ыло пок но, что мо но п р йти к но ой прямоу ольной сист м коор ин т Ox0y0z0, которой ур н ни по рхности

(9) ïðèì ò è :

1; 2; 3 корни х р кт ристич ско о ур н ния (5). Коор ин ты -

~ ~ ~ 0 0 0

исных кторо f1, f2, f3 íî îé ñèñò ìû êîîð èí ò Ox y z í õî ÿòñÿ è ñèñò ì

ñèñò ìû êîîð èí ò Ox0y0z0. Í ÷ ëî O00 íî îé ñèñò ìû êîîð èí ò O00x00y00z00 им т относит льно сист мы Ox0y0z0 êîîð èí òû

O00 a01 ; a02 ; a03 :1 2 3

Óð í íè (10) ó ò èì òü è

1x002 + 2y002 + 3z002 + D = 0:

II.Пр поло им, что х р кт ристич ских корня отличны от нуля,

òð òèé ð í íóëþ. Ï ð èì íî , ñëè íó íî, îñè êîîð èí ò, ìî íî

ñ÷èò òü, ÷òî 1 6= 0, 2 6= 0, 3 = 0.

IIa. Пусть a03 6= 0, òî óð í íè (10) èì ò è

1x02 + 2y02 + 2a01x0 + 2a02y0 + 2a03z0 + a = 0

è î ìî íî ïð ñò èòü è

8

ñèñò ìû êîîð èí ò Ox0y0z0. Относит льно Ox0y0z0 òî÷ê O00 í ÷ ëî íî îé

ñèñò ìû êîîð èí ò Ox0y0z0 óð í íè (10) ó ò èì òü è

1x002 + 2y002 + D = 0;

1 6= 0, 2 6= 0. Í ÷ ëî O00 íî îé ñèñò ìû êîîð èí ò O00x00y00z00 им т относит льно сист мы Ox0y0z0 êîîð èí òû

O00 a01 ; a02 ; 0 :1 2

III. Пусть х р кт ристич ских корня р ны нулю, то тр тий отлич н от нуля (ин ч сист м коор ин т Ox0y0z0 по рхность им л ы поря ок ни торо о). П р им но , сли ну но, оси коор ин т, мо но

ñ÷èò òü, ÷òî 1 6= 0, 2 = 3 = 0.

Вс мо но о ится, что ы но ой сист м коор ин т коэффици нт при при п р ой ст п ни тр ть й п р м нной ыл р н нулю. то мо но с л ть по оротом плоскости Oy0z0. Ïðîè ì ïî îðîò ñèñò ìû êîîð-

9

òî óð í íè (10) ïðè òñÿ ê è ó

Ò îð ì îê í .

Ò îð ì 3. Î ù óð í íè

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

+ 2a1x + 2a2y + 2a3z + a = 0

по рхности торо о поря к , нно прямоу ольной сист м коор и- н т, опр ля т о ну и сл ующих с мн ц ти по рхност й:

10