Аксиомы теории вероятностей

1. Вероятность случайного события есть неотрицательное число (неотрицательность Р).

Р(А)0.

2. Вероятность достоверного события равна 1 (нормированность Р).

Р() = 1.

Из 1 и 2 аксиом нетрудно вывести следствие, что вероятность есть неотрицательное число, заключенное между нулём и единицей

0≤Р(А)≤1

Статистический способ определения вероятности основан на наблюдаемом факте устойчивости частоты при проведении достаточно большого числа испытаний.Если число испытаний достаточно велико, то можно приблизительно считать, что

где:	Р(А)	-	вероятность наступления события А
		-	частота появления события А
	nА	-	число испытаний, в которых наступило событие А.
	n	-	число проведенных испытаний.

Приближенное равенство Р(А) будет тем точнее, чем больше число испытаний n.

Легко проверить, что данный способ определения вероятности удовлетворяет всем трем аксиомам.

Таким образом, при статистическом способе определение вероятности можно сформулировать следующим образом: Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируется частота этого события.

Статистический способ определения вероятности имеет то преимущество, что он опирается на реальный эксперимент, однако и он имеет существенный недостаток – для надежного определения вероятности необходимо проделать большое число опытов, что не всегда возможно или целесообразно.

В условиях, когда нет необходимости (или возможности) определить вероятность наступления события путём проведения многочисленных опытов, представляется возможным (при определенных условиях) определить численную меру возможности наступления данного события. Такой способ определения вероятности является классическим.

В условиях, когда опыт сводится к «схеме случаев» а его исходы составляют полную группу несовместных равновозможных событий, вероятность наступления события можно определить как:

где:	Р(А)	-	вероятность наступления события А;
	m	-	число случаев, благоприятствующих появлению события А
	n	-	число всех равновозможных случаев, образующих полную группу событий.

Легко проверить, что данный способ определения вероятности так же удовлетворяет всем трем аксиомам.

Таким образом, при классическом способе определение вероятности можно сформулировать следующим образом: Вероятность события равна отношению числа случаев благоприятствующих появлению данного события, к общему числу равновозможных случаев.

Классический способ определения вероятности имеет то преимущество, что вероятность наступления события может быть определена без проведения опыта, однако и он имеет существенный недостаток: возможность его использования только в том случае, когда какой-либо опыт обладает свойством «симметрии» (обладает симметрией возможных исходов) и сводится к «схеме случаев».

Пример 1: В нише для боеприпасов лежат 4 снаряда, из них два с весовыми знаками «-», а другие два - с «+». Какова вероятность того, что одновременно будут взяты два снаряда: а) оба с минусом, б) с минусом и плюсом?

Решение:

Каждый исход получается последовательным выполнением двух действий: одновременным выбором одного и другого снарядов. Пространство исходов опыта (элементарных событий) в данной задаче целесообразно представить простым перечислением исходов . Таким образом, общее количество исходов будет равно 4 (n=4).

Событие А={одновременное взятие двух снарядов со знаком «-»} однозначно представляется подмножеством одного исхода ().

Таким образом, вероятность наступления события А равна:

Событие В={одновременное взятие двух снарядов одного со знаком «-» и другого со знаком «+»} представляется подмножеством двух исходов ().

Таким образом, вероятность наступления события В равна

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа опытов в аналогичных условиях в среднем при одновременном взятии двух снарядов в половине случаев из 100 будут вынуты снаряды с одним минусом и плюсом и в 25% случаев из 100 – только снаряды с минусом.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели принципиальные вопросы теории вероятностей применительно к случайным событиям, ввели основной понятийный аппарат, необходимый для дальнейшего изучения дисциплины: определение события, их классификацию; понятия частоты и вероятности события и способов определения вероятности.

В ходе подготовки к последующим групповым и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Кроме того, на последующих занятиях по Теме 1 мы будем изучать теоремы и зависимости, позволяющие определить вероятность наступления интересующего нас события в схеме классического случая, например вероятность попадания в цель.

Приложение