2. Основные понятия теории вероятностей. События и соотношения между ними. Классификация событий

В основе теории вероятностей, как и в любой науке, лежат некоторые определенные начальные понятия, при помощи которых даются логическое определение последующих более сложных понятий. Одними из основных понятий теории вероятностей являются: испытание и случайное событие, или (как говорят чаще) событие.

Испытание – это совокупность условий и действий, при которых получен или может быть получен тот или иной результат (это действие, которое может повторяться при неизменных условиях любое число раз).

Целью испытания является получение тех или иных результатов или исходов.

Событием называется всякий результат (исход), который может произойти или не произойти в результате испытания.

Примеры: 1)Испытание: выстрел из орудия,событие: попадание в цель.

2) Испытание: попадание в цель,событие: поражение цели.

Отличительной чертой теории вероятностей является то, что она рассматривает появление события в ходе испытания не отвлеченно, а при выполнении всех (практически всех) условий, которое можно повторять большое число раз.

Совокупность условий, при которых повторяется испытание, называют комплексом условием.Пользуясь понятием комплекса условий, всякоеиспытаниеможно понимать как реализацию определенного комплекса условий.

Очевидно, что при одном и том же испытании в зависимости от сочетания условий, определяющих течение наблюдаемого процесса, могут наступать различные события. В зависимости от комплекса условий и характера интересующего нас исхода, события могут быть достоверными, невозможными или случайными.

Достоверным называется такое событие (обозначается - ), которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий.

Пример:Реализация комплекса условий: взрыв осколочно-фугасного снаряда,достоверное событие: разрушение его оболочки.

Невозможным называется такое событие (обозначается - ), которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий.

Пример:Реализация комплекса условий: выстрел по танку,невозможное событие:одновременное попадание в башню и ходовую часть.

Случайным называется такое событие (обозначается А, В, С…), которое при реализации данного комплекса условий может произойти (наступить, осуществиться) или не произойти (не наступить, не осуществиться).

Примеры:1)Реализация комплекса условий: производство выстрела по танку,случайное событие: попадание в танк.

2) Реализация комплекса условий: попадание в танк,случайное событие: поражение экипажа танка.

Для того чтобы разработать аппарат и методику исследования случайных событий в теории вероятностей, устанавливается ряд соотношений между ними и проводится их классификация.

Рассмотреть соотношения между событиями значит ввести операции, позволяющие выражать одни случайные события через другие. Такое представление одного события через другое (или другие) событие называется комбинацией событий.

Однако перед тем как рассмотреть соотношения между событиями возникает необходимость введения определенных операций, позволяющих не только упростить форму записей, но и существенно облегчить логическое построение научных выводов.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. В теории вероятностей принято вводить такие операции над событиями, как их сумма и произведение.

Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (наступлении события А или события В или обоих вместе). Обозначается А + В = С.

Пример: Орудие производит два выстрела по танку. Событие А={попадание в танк при первом выстреле}, событие В={попадание в танк при втором выстреле}, событие С={попадание в танк}

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Обозначается АВ = С.

Пример: Орудие производит один выстрел по танку. Событие А={попадание в танк }, событие В={поражение танка при попадании в него}, событие С={поражение танка при одном выстреле}.

Кроме аналогий с арифметическими действиями, в теории вероятностей широкое применение нашла теоретико-множественная терминология, когда обычные свойства операций над множествами переносятся на операции над событиями.

Теоретико-множественной терминология в теории вероятностей, позволяет представить операции над событиями как операции над подмножествами.

Используя терминологию теории множеств некоторое основное множество  называют пространством элементарных событий или достоверным событием ({}), а его элементы -  - элементарными событиями, а некоторые его подмножества А - событиями.

Кроме того, действия над событиями (множествами) могут быть представлены и геометрическим отображением. Принятая геометрическая интерпретация случайных событий называется диаграммой Эйлера-Венна, на которой достоверное событие () обозначается прямоугольником, а наступление случайных события (А, В….) (или их комбинации) – заштрихованной областью в этом прямоугольнике.

Используя теоретико-множественную терминологию, трактовка суммы и произведения событий может быть представлена в следующем виде:

Объединением (суммой) событий А и В называется событие С, состоящее из всех элементов А и всех элементов В (совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из них). Обозначается АВ (рис. 2).

Рис. 2

Пересечением (произведением) событий А и В называется событие С, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А и в В. Обозначается АВ (рис. 3).

Ω

В

А

Рис. 3

При составлении комбинаций событий весьма удобна определенная классификация событий, указывающая на отношения различных событий между собой.

События А и В называют совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

Пример:Два орудия производят по одному выстрелу по танку. Cобытия А={попадание в танк из первого орудия}, и В={попадание в танк из второго орудия} совместные, так как попадание в танк из первого орудия не исключает возможности попадания в танк из второго орудия.

События А и В называют несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример:Орудие производит один выстрел по танку, при этом возможны следующие исходы: попадание или недолет. События А={попадание в танк }, и В={получение недолета} несовместные, так как появление одного из них исключает появление другого: в результате выстрела при попадании в танк получение недолета невозможно.

Несовместные события должны удовлетворять условию: произведение несовместных событий есть событие невозможное ()

Говорят, что несколько событий образуют полную группу событий, если при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из них.

Пример 1:Орудие производит выстрел по танку, при этом может быть получен либо перелет, либо недолет, либо попадание в танк. События А₁={получение недолёта}, А₂={получение перелета} и А₃={попадание в танк} образует полную группу, так как получить какой-либо иной результат выстрела невозможно.

Пример 2: В ящике для взрывателей находятся три исправных и два неисправных взрывателя. Вынимают два взрывателя. Событие А = {вынуть хотя бы один исправный взрыватель} и событие В = {вынуть хотя бы один неисправный взрыватель} составляют полную группу событий, так как при вынимании двух взрывателей неизбежно один будет либо исправен, либо неисправен.

Сумма событий, образующих полную группу, есть событие достоверное.

А₁ + А₂ + А₃ + … + А_n = .

В примере 1 имеют место несовместные события (т.к. наступление любого из них исключает появление другого) В примере 2 даны два события, которые не исключают друг друга. При этом вне зависимости от того, какие события составляют полную группу – совместные или несовместные, опыт не может кончиться помимо них.

Несовместные события, образующие полную группу, называют единственно-возможными.

События А₁, А₂, А₃,…, А_n называют равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является объективно возможным, чем другое. При этом следует иметь в виду, что наше незнание о том, какое из них вероятнее, не является основанием для того, чтобы считать события равновозможными.

Про опыт, в котором имеют место равновозможные события, образующие полную группу несовместных событий, говорят, что он обладает симметрией возможных исходов.

С опытами, обладающими симметрией возможных исходов, связывают группу событий, обладающих всеми тремя свойствами. Если события образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то такие события называют случаями (или «шансами»), а про опыт говорят, что он сводится к «схеме случаев» (к «схеме урн»).

Достаточно часто на практике приходится сталкиваться с наступлением двух несовместных событий, образующих полную группу. Если по условиям предыдущего примера объединить получение недолета и перелета как получение промаха, то мы будем иметь только два события, образующих полную группу: попадание в танк и промах.

Два несовместных события А и В, образующие полную группу событий называют противоположными (обозначают )(рис. 4)

Рис. 4

Противоположные события должны удовлетворять следующим условиям:

• сумма противоположных событий есть событие достоверное (А+= Ω),

• произведение противоположных событий есть событие невозможное (А=)

Говорят, что событие А влечет за собой событие В (событие А благоприятствует событию В), если из наступления события А следует наступление события В. (- событие В содержится в А)(рис. 5).

Рис.5

Для того, чтобы событие А влекло за собой наступление события В необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

• сумма событий А и В есть событие А (А+В=А),

• произведение событий А и В есть событие В (АВ=В),

• произведение события В и противоположного событию А, есть событие невозможное (В=)

Пример:Орудие производится выстрел по танку. Событие А={попадание в танк}, событие В={попадание в башню танка}. Для того, чтобы попасть в башню танка, необходимо попасть в танк, но при этом, попадание в танк не означает попадание в его башню. Таким образом, можно говорить о том, что событие В содержится в событии А или является его частью.

Несомненно, для того, чтобы попасть в башню танка, необходимо попасть в танк. Таким образом, событие В={попадание в башню танка} содержится в событии А или является его частью и обозначается В А (событие В содержится в событии А).

Легко проверить, что для того, чтобы событие В содержалось в событии А, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

1. Если снаряд попадает либо в танк, либо в башню, он все равно попадет в танк

(А + В = А).

2. Для того чтобы попасть в башню, необходимо попасть в танк. (АВ=В).

3. Если снаряд не попадет в танк, то соответственно он и не попадет в башню( В =).

Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в А, то такие события равносильны.( еслии,то А=В

Пример:Для поражения цели достаточно одного попадания. События А={попадание в цель хотя бы одним снарядом}, событие В={поражение цели} равносильны.