практика2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Камский институт гуманитарных и инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y = lg(x + √1 + x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

166.51 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

chsh xx ).

39. y =

42. y =

1Понятие функции

1. Решить неравенства
a) \|x − 1\| < 5;	b) \|x + 2\| > 4;	c) \|3x + 2\| < 1;
d) \|2x − 3\| > 5;	e) \|x − 1\| < \|x + 1\|;	f) \|2x + 3\| > \|x − 1\|.

2.Дана функция f(x) = x3 + 3x2 − 2x − 4. Найти f(1), f(0), f(2), f(3), f(4).

3.Дана функция f(x) = √1 + x2. Найти f(0), f(−34 ), f(−x), f( x1 ), f(1x) .

4.Пусть f(x) = arccos(lg x). Найти f( 101 ), f(1), f(10).

5.Найти линейную функцию f(x), åñëè f(−2) = 3 è f(3) = −5.

Определить области существования функций:

√

y =

x − 1.

√

y = x

− 3.

y = √

12.

x − x3

15.

y = arcsin

1 + x

√

7. y = 3 x + 2.

√

10. y = 2 + x − x2.

1 + x

13. y = ln 1 − x.

16. y = arccos lg 10x .


8. y =			1	.
		4 − x2			1
11.	y =		√


			−x + √2 + x.

14.y = lg x2 − 3x + 2 . x + 1

√

17. y = cos 3x.

Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие нечетными:

y =

√

18.

19.

+ e−

y = 1 + x + x

−

1 − x + x .

y = sin(3x) + x3.

y = p3

+ p3

21.

22.

(x + 1)2

(x − 1)2

Определить, какие из перечисленных ниже функций являются периодическими, и для периодических функций найти наименьший их период T :

24. f(x) = 3 sin 5x. 27. f(x) = sin2 x.

30. f(x) = sin πx.


	f(x) = a sin πx + b cos πx.						f(x) = √
25.						26.			tg x.
	y = sin (√			).			f(x) = ctg				3πx
28.		x				29.
											4
			3π				π
31.	f(x) = cos(				x + 1).	32.	y = 3 tg(			x − π).
			2					4

2Графики элементарных функций

33. Построить графики функций при m = 0, ±1, ±2 :

a) y = mx;	b) y = x + m;
d) y = mx2;	e) y = x2 + m;

c) y = 1, 5(x − m); f) y = m + (x − 2)2.


	Построить графики функций:
34.	y = x3.						35.	y = 3 + (x − 2)3.
37.	y =	1	.				38.	y =		1			.
37.	y =		.				38.	y =					.
		x							1 − x
40.	y =	2x −			3	.	41.	y = x +				1		.
40.	y =	3x +			2	.	41.	y = x +				x		.
43.	y =	1		,	n = 2, 3.		44.	y = x +				1			.
43.	y =	n		,	n = 2, 3.		44.	y = x +				2			.
		x						√3				x
46.		n					47.	√3			2	.
	y = √x, n = 2, 3.							y =		x		.
49.	y = a sin x, a = ±2, 5, 21 . 50.							y = sin nx,								n = 2, 3,	21 .
52.	y = ax,				a = 2, 1 , e.		53.	y = log			a	x,				a = 10, 1	, e.
	y = e−x2 .				2						a					2
55.	y = e−x2 .						56.	y = ch x =							1	(ex + e−x)
	y = lg x2.							y = lg2 x.							2
58.	y = lg x2.						59.	y = lg2 x.
61.	y = 21 (x + \|x\|).						62.	y = x\|x\|.

36. y = x3 − 3x + 2.

x − 3 . x + 3

x2 x + 1 .

45.y = x2 + 1 .

√x

48.y = ±x x.

51.	y = sin(x −1ϕ), ϕ =
54.	y = sh x = 2 (ex − e−x
57.	y = th x, (th x =
60.	y = log2(1 + x).
63.	y = sin x + \| sin x\|.

π2 , π, −π4 .

3Предел последовательности и функции

Найти пределы последовательностей:

2 4 6

1 1

( 1)n−1

64.

a) 1,

−

, −

, ...,

−

...;

, ...,

, ....

−

65.

lim

n3 − 10n2 + 1

66.

lim

100n3 + 10n2

67.

lim

(n + 1)4 − (n − 1)4

n→∞

10n2 + 24n

n→∞

0, 001n4 − 25n3 + 2

n→∞

(n + 1)4 + (n − 1)4

(2n + 1)4 − (n − 1)4

(n + 1)3 + (n − 1)3

√4

−

√3

68.

lim

. 69.

lim

. 70.

lim

n5 + 2

n2 + 1

n→∞

(2n + 1)4 + (n − 1)4

n→∞

(n + 1)4 − (n − 1)4

n→∞

√5 n4 + 2 −

√n3 + 1

√3

√

+ n

nlim

n3 + 2n2 + 1

nlim

n2 + n + 2

nlim

n2 + 1

71.

72.

73.

√3

n + 1

+ 1

→∞

n + 4

→∞

1 +

+ 1

+ ... +

1 + 2 + 3 + ... + n

(n + 1)(n + 2)(n + 3)

lim

74.

75.

76.

n→∞ 1 + 31 + 91 + ... +

n→∞

77.

lim

n + (−1)n

78.

lim

2n − 1

79.

lim

2n+1 + 3n+1

n→∞ n − (−1)n

n→∞

2n + 1

n→∞

2n + 3n

n→∞ 2 4 8

n→∞

2 n1

+ 1

n→∞

−

80.

lim

2 n

−

81.

lim (√n + 1

√n).

82.

lim

+ ... +

Найти пределы функций:

83.

lim

x2 + 1

84.

lim

3x + 2

− 1 .

85.

lim

x + 1

2x2−

x→2 x2

−

x→0

−

x→2 x

−

86.

lim

x3 + 1

87.

lim

x2 − 6x + 9

88.

lim

x2 − 5x + 10

x→−1 x2 + 1

x→3

x2 − 9

x→5

x2 − 25

89.

lim

x2 − 1

90.

lim

x2 − 2x

91.

lim

3x2 − 5x − 2

2x2 − 5x + 2

x→−1 x2 + 3x + 2

x→2 x2 − 4x + 4

x→2

92.

lim

x3 − 3x + 2

93.

lim

2x4 − 3x3 − x2 − 4

94.

lim

2x2 + 3x − 2

x→1 x4 − 4x + 3

x→2

3x3 − 4x2 − 5x + 2

x→−2

5x2 − x − 22

95.

lim

8x3 − 1

96.

lim

−

97.

lim

1 − x

x→21 6x2 − 5x + 1

x→1

1 − x3

x→2

x − 2 − x3 − 8

98.

lim

(x + 1)2

99.

lim

100x

100.

lim

2x2 + 3x − 2

x→∞

x2 + 3

x→∞ x3 − 8

x→∞ 5x + 20

101.

lim

3x3 − x + 2

102.

lim

2x2 − 3x − 4

103.

lim

(2x + 3)3(3x + 2)2

x→∞ x4 − 4x + 3

x→∞ 3x2 − 4x + 2

x→∞ 5x5 − x + 2

104.

lim

(2x3 + 2)2(4x + 1)3

. 105.

lim

2x2 − 3x − 4

106.

lim

(3x + 5)

x→∞ (3x2 + 3)(x − 3)7

x→∞

√3

√x4 + 2

x→∞ x +

√3 x

√

107.

lim

108.

lim

x + x − 4

109.

lim

x→∞ 5 + 3x√x

x→∞ 4x + 1

x→∞ qx +

x + √

√

110.

lim

x + 2 −

6 − x

111.

lim

x − 3

112.

lim

4 + x −

6 + 2x

x − 2

√

2 √

√

x 2

→−

→

2x + 3 − 4x − 3

2 − x − 8 + 2x

√

113.

lim

2 − x − 3

114.

lim

3 −

5 + x

115.

lim

4 + x −

4 − x

x→7

x2 − 49

x→4 1 − √5 − x

x→0

√

− 2

√

+ 1 − x

− 2x

116.

lim

x + 2

117.

lim

x + 1

118.

lim

x2 + x + 2

x→2

√x + 2 − x

x→3

2x2 − 5x − 3

x→1

√2 − x + x − 2

x lim

(√

− x).

x lim

(√

− x).

x lim

(x −

√

119.

x2 + 4x

120.

x2 − 4

121.

x2 + 2x + 2).

→±∞

x lim

(√

+ x).

x lim

(√

− √

122.

x2 + x + 1

123.

x2 + 3x + 1

x2 − 3x − 4).

→±∞

2x − √

→±∞

√

− √

lim

x2 − x

lim

x(√

x).

lim

x2 − 1

x2 + x

124.

125.

x2 + 1

−

126.

x→±∞

√x2 + 4 + x

x→±∞

x + 1

127.	lim	sin 4x										.															128.
127.	lim											.															128.
	x→0					x
130.	lim		sin x							.																	131.
130.	lim									.																	131.
	x→π				x
133.	lim	tg 2x									.																134.
133.	lim										.																134.
	x→0 tg 3x
136.	lim			sin πx											.												137.
136.	lim														.												137.
	x→1 sin 3πx
139.	lim	sin x − sin a																		.							140.
	x→a							x − a
142.	lim			sin x − cos x																		.					143.
	x→π4						1 − tg x
145.	lim	cos mx − cos nx																							.		146.
	x→0													x2
148.	lim	arcsin 3x															.										149.
148.	lim																.										149.
	x→0				tg 4x
151.	lim	x − sin 3x																	.								152.
	x→0 x + sin 4x
154.	lim(1					−			x) tg									πx			.						155.
154.	lim(1								x) tg												.						155.
	x 1																		2
	→	2x − arcsin x
156.	lim	2x − arcsin x																				.					157.
	x→0		2x + arctg x
159.	lim			(1 − cos x)2																			.				160.
	x→0 tg3 x + sin3 x
162.	lim										cos x													.			163.


	x→π2			p3 (1 − sin x)2
165.	lim			sin x									.														166.
				sin x
	x→π	1 −							x2
	x→π	1 −							π2
		√										√
168.	lim				2 − 1 + cos x																					.	169.
	x→0										sin2 x
	x→0				3 + x												x
	x→0				2 − x												.
171.	lim																										172.
					x2 + 3x														18							sin x
	x→0				x2 + 3x														18								x
	x→0						x2									x			− 2
174.	lim										−								−								. 175.
	x→∞										−								−
													3						2x+5					.
													x											.
177.	lim						1 +												1								178.
																			1
180.	lim (1 + sin 3x) x .																										181.
	x→0
													1
183.	lim (cos x) x .																										184.

x→0

lim

sin x

129.

x→π2

lim

sin 3x

132.

x→0 sin 5x

lim

ctg 2x

135.

x→0 ctg 5x

lim

1 − cos x

138.

x→0

lim

cos x − cos a

141.

x→a

x − a

lim

1 − sin x2

144.

x→π

π − x

lim

tg x − sin x

147.

x→0

lim

arctg 3x

150.

x→0 arcsin 2x

lim

cos

πx

153.

x→1

1 − √x

√

−

√

lim

1 + sin x

1 − sin x

x→0

1 − cos3 x

lim

158.

x→0

x sin 2x

lim

161.

sin x − tg x .

x 0

→

lim

sin 3x

164.

x→π sin 2x

lim(1

−

x) tg πx .

167.

x 1

→

√

lim

1 − cos x

cos 2x

170.

x→0

x→1

−

x+1

lim

173.

−

x2+1

x2 −

lim

176.

x→∞ 2x2 + 3

lim

x − 1

3x+1 .

179.

x→∞ x + 2

x 2

−

lim (3x

x−2

182.

→

lim (cos x)

185.

x→0

lim

sin x

x→∞

lim

sin 4x

x→0

tg 3x

lim sin 2x ctg 3x.

x→0

lim

n sin

π .

n→∞

lim

tg πx

x→−2 x + 2

lim

1 − 2 cos x

x→π3

π − 3x

lim

arcsin x

x→0

lim

1 − x2

x→1

sin πx

1 − √

lim

cos x

x→0

lim

1 + sin x − cos x

x→0

1 − sin x − cos x

lim

1 − sin x

x→ 2

π −

x→π2

2 −

lim

tg x.

lim

cos x − sin x

x→π4

√

cos 2x

√

lim

1 + x sin x − cos 2x

x→0

tg2 x2

x→∞ x2

lim

x+1

n→∞ 1 − n

lim

2x−3 .

3x − 4

lim

x→∞ 3x + 2

x→1

2x −

2x−3

lim

x2−1

−

lim (tg x)tg 2x .

x→π4

186.

lim

ln(1 + 3x)

187.

lim (ln(2x + 3)

−

ln(x + 2)) .

x 0

→∞

→

lg(1 + 10x)

188.

lim

189.

lim

1 + x

190.

lim

x .

x ln r

1 − x

x→0

x→+∞ x (ln(x + 1) − ln(x + 2)) .

191.

lim

ln cos x

192.

lim

e3x − 1

193.

lim

a2x − 1

(a > 0).

x→0

e3x e2x

1 e−x

194.

lim

−

195.

lim

−

196.

lim n( √a

−

1) (a > 0).

x 0

sin x

→∞

→

Найти односторонние пределы:

197.lim √ x .

	x→±∞	x2 + 1
199.	lim	1	.

		1
	x→±0 1 + ex
202.	lim	x − 1		.
	x→1±0	\|x − 1\|

198.	lim	th x			th x =		ex − e−x	.
	x→±∞						ex + e−x
200.	lim		ln(1 + ex)			.	201. lim		\| sin x\|	.

	x→±∞			x				x→±0	x
203.	lim		x		.

	x→2±0 x −			2

204. Что происходит с корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, если коэффи-

циент a стремится к нулю, а коэффициенты b è c постоянны, причем b 6= 0?

205. Найти предел внутреннего угла правильного

n -угольника при n →x2

∞.

206.

Доказать, что при x → 0 :

1) sin x x; 2) tg x x; 3) 1 − cos x 2

;

4) ln(1 + x) x;

8) n

9) arcsin x x;

5) ex − 1 x;

6) ax − 1 x ln a;

7) (1 + x)α − 1 αx;

√1 + x − 1 nx ;

10) arctg x x.

Определить при x → 0

порядок бесконечно малых функций относительно бесконечно

малой переменной x.

207.

x sin 4x.

208.

x3 cos 2x.

209.

x ln(1 + 3x).

211.

1 + x

212.

√5

210.

x5 + 1 arcsin 3x.

lg 1 − x.

1 + x − 1)

cos πx.

(

Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными, найти пределы:

arctg(2x − 1)

arcsin(x + 2)

√3

− 1

213.

lim

214.

lim

215.

lim

1 + x2

x→1/2

4x2 − 1

x→−2

x2 + 2x

x→0

√5x2 + 1 − 1

√5

− 1

√8

− 1

sin2

1 − 3x

216.

lim

217.

lim

218.

lim

x 0

√3

x 1

√3

x 0

√

− 1

→

51 + 2x − 1

→ √x − 1

→

1 − 2x

√

219.

lim

cos x − 1

220.

lim

1 + x + x

− 1

221.

lim

ln x − 1

x→0

√3 cos 2x − 1

x→0

x→e

x − e

222.

lim

ln cos 5x

223.

lim

e4x − e2x

224.

lim

e−2x − 1

x→0 ln cos 3x

x→0 sin 4x − sin 2x

x→0 arcsin 2x

ln(1 + sin 2x)

3x − 1

cos x

225.

lim

226.

lim x ln

227.

lim

cos 3x

x→0

2sin 4x − 1

x→∞

3x − 6

x→0

Исследовать на непрерывность функции:

228.	y =		x2			.

		x + 2
231.	y = arctg				1 .
						x
	1
234.	y = e		x+2	.
237.	y = x sin				π		.

					x

Исследовать функцию

229.

y =

ln tg x .

230.

y =

1 + x3

√

7 +

1 + x

232.

y =

−

233.

y = (1 + x) arctg

1−x

235.

y = e−

.−

236.

y = sin π .

238.

y =

239.

y =

sin x

1 ± e1−x

f(x) на непрерывность. Построить график функции:

0 x < 1,

241.

f(x) =

ïðè

x < 0,

ïðè

x < 2,

≤

x < 0,

2 x

≤

≥

−

ïðè

x ≥ 2.

Показать, что уравнение имеет на заданном интервале действительный корень. Найти этот корень приближенно с точностью 0,1 методом половинного деления:

242. x2 − 5x + 1 = 0, (−1; 1).

243. x3 − 3x + 1 = 0, (1; 2).

4Производная

244.

Найти приращение функции

y = x2, соответствующее пареходу аргумента от

x = 1

äî: a) x1 = 2;

x1 = 1, 1;

= 1 + h.

для функции y =

√3

245. Найти

x, åñëè

a) x = 0,

x = 0, 001;

b) x = 8,

x = −9;

c) x = a,

x = h.

246. Найти приращение

y и отношение

для функций: a) y =

x = 1

(x2 −

2)2

ïðè

è x = 0, 04; b) y = √

ïðè x = 0 è

x = 0, 0001.

247. Найти y0

lim

для функций a) y = x3; b) y =

; c) y = tg x.

x→0

Найти производные функций:

248.

y = x3 + 4x2

−

3x + 5.

249.

y = 3x4

2x−2

−

2 .

250.

y =

√4 x

−

4−

− x

+ b

3 √4

251.

252.

253.

y = − a

+ x2 .

y = √a2 + b2 .

y = x

254.

y = ex + 3 ln x − 3 cos x.

255.

y =

+ sin 2 − lg 3.

256.

y = 2 arcsin x − 3 arccos x.

y = 3x2 sin x − 2xex.

y = x3(tg x + ctg x).

y = √

log2 x.

257.

258.

259.

260.

y =

2x + 3

261.

y =

a + bx

262.

y =

2x − 1

c + dx

2x − 3

x2 + x −

2 −

√

263.

y =

264.

y =

265.

y =

2 +

2x − 3 − x

√x

y = (x2 − 2x) sin x.

y = √3

arcsin x.

y = x2 + x log2 x.

266.

267.

268.

y =

ln x

+ x tg x.

y =

cos x

y =

ctg x

269.

270.

271.

√

cos x

1 + 2 sin x

√

x tg x

1 + ex

272.

y =

√

273.

y =

274.

y =

+ 1

1 + x2

1 − ex

275.

f(x) = xex,

найти f0(2).

276.

f(x) =

+ x2 + x,

найти f0(0),

f0(1),

f0(−1).

277.

f(x) =

− x

найти f0(1). 278.

f(x) = x2 +

найти f0(2) − f0(−2).

+ x

√

279.

280.

281.

y = x2 + 1

+ (x2 + 1)2 .

y = (2 + 3x )

y = 1 − x

y = (a2/3 − x2/3)3/2.

y = 31 tg3 x − 51 tg5 x.

y = √

− √

282.

283.

284.

ctg x

ctg α.

y = 3x2 + 5 cos3 x.

y = sec2 x + cosec2 x.

y = √

285.

286.

287.

1 + arcsin x.

−3(1 3 cos x)2

cos3 x

− cos x

288.

y =

289.

y =

290.

y =

2 sin x − 3 cos x

−

√3

291.

292.

293.

√

y =

arctg x

− arcsin x.

y =

xe + x.

y =

− 2

+ 1 + ln x.

294.

y = sin(x2 + 3x) + tg 2 .

295.

y = cos(αx + β).

296.

y = sin t sin(t + ϕ).

1 + 2 cos 3x

297.

y =

298.

y =

299.

y = a ctg

arctg x

1 − 2 cos 3x

y = arccos 3x2.

y = arcsin

y = arctg √

300.

301.

302.

303.

y = arcsin

304.

y = arcctg

1 + x

305.

y =

1 − x

3x2

306.

y = 3e−x

307.

y = x2102x.

308.

y = t sin 2t.

309.

y = arctg ex.

310.

y = ln(2x − 3).

311.

y = lg sin x.

312.

y = ln(1 − x3).

313.

y = ln2 x − ln(ln x).

314.

y = ln(ex + 3 sin x + 2 ln x).

y = arctg ln x + ln arctg x.

y = ln(x + √

y = √

+ ln(√

+ 1).

x2 + 3).

ln x + 1

315.

316.

317.

	y = cos4 3x sin2											x	.							y = ex2+1 sin x.																								y = (x + √								) ln(x + √				).
318.												x						319.																						320.											x				x
318.												3						319.																						320.											x				x
				11											4											x8																					√							.
321.	y =			11					+						4				. 322.	y =						x8					.									323.				y =			√		2x2 − 2x + 1
321.	y =	2(x2 −				2)2			+					x −			2		. 322.	y =	8(1				− x2)4						.									323.				y =
		2(x2 −				2)2								x −			2				8(1				− x2)4																						4			x
																											x3																					4					.
324.	y =				x						.							325.		y =							x3							.						326.				y =						x − 1
324.	y =										.							325.		y =														.						326.				y =
		a2		√a2			x2															3 (1 + x2)3																									3 rx + 2
	4					− 3 2																1	p3														1	3
327.																		328.				1						3					8				1	3		3				5
327.					−													328.										3					8		−			p		3				5
	y = x (a				−	2x ) .														y =		4 p													−			p	(1 + x ) .
	y = x (a					2x ) .														y =	8					(1 + x )										5			(1 + x ) .
	y = (a +																			y =	p																									p

332.					1				−				x.					333.						√						x										√				x
329.					x)√a								x.					330.					x +					√x.												331.				y =					(x + a)(x + b)(x + c).
	x =																			y = ln(												− 1) − ln(													+ 1).
										.																	1 + e															1 + e

				2ay − y2
334.	y = p																	5). 335.		y = tg2(3x2 + 1).																				336.				y = 3 sin x cos2 x + sin3 x.
334.	(cos3 x)(3 cos2 x														−			5). 335.		y = tg2(3x2 + 1).																				336.				y = 3 sin x cos2 x + sin3 x.
	4									cosx					−					y = x −								1	arcsin											1
	4									cosx																		1												1			√x
337.	y =		ctg x			−										.		338.																		√x +								− x2.
337.	y =	3	ctg x			−		3 sin3 x								.		338.										2								√x +					2			− x2.

339.	y = (arcsin		x2 − 1		.
				x2

342.	y = ln(arcsin 3x).
	2		5 tg x		+ 4
345.	y =	arctg		2		.
			3
	3

	y = arcsin			x
340.					.
			1 + x2
343.	y = arcsin(ln x).
346.	√				tg x

	y = x +	2 arcctg				√		.
							2


	y =	arccos x
341.		√			.
			1 − x2
344.	y = arctg			x sin α				.

	1			− x cos α
	y = (x3 − 1)√						.
347.						eax

348.	y = esin2 x.																						349.	y = eαt cos βt.																				350.		y = e−x(3 sin 3x − cos 3x).
	y = √									a√									.					y = ln ln(4 − 3x4).																						y = x sin							ln x − π2 .
															cos x
351.			cos x												cos x								352.																					353.
354.										√													355.																					356.							+ x +								√							).
	y = ln(x +											a					+ x ).							y = ln(arccos 3x).																						y = ln(a
357.	y =	1					.																358.	y = ln cos								x − 3						.						359.		y = ln					(x − 3)6							.
357.	y =						.																358.	y = ln cos														.						359.		y = ln												.
		ln2 x																																x2																	(x + 2)3
360.	y = ln tg x								−								1			.			361.	y = ln			(x − 1)3(x − 2)																.	362.		y =		1	ln			x2 − 2x + 1											.
360.	y = ln tg x																			.			361.	y = ln																			.	362.		y =			ln														.
												2 sin2 x									√											(x + 3)2														3							x2 + x + 1
		1							tg x2 + 2 −																											cos x																		1
363.		1							tg x2 + 2 −													3	364.							x						cos x								365.										1
363.																							364.																					365.
	y = √3 ln tg x2 − 2 +																				√3 .			y = ln tg						2			− sin2 x.													y = arctg ln x.
																											1 + √
																																			sin x
		3										+4
		3										+4
366.	y = qln sin x4 .																						367.	y = ln			1 − √												+ 2 arctg √sin x.
366.	y = qln sin x4 .																						367.	y = ln			1 − √								sin x				+ 2 arctg √sin x.
368.					√																		369.		x arcsin x															√
368.					√										2								369.		x arcsin x															√				2
	ln arctg							1 + x .																y =	√											+ ln 1 − x									.
	ln arctg							1 + x .																y =	√		1 − x2									+ ln 1 − x									.
						x2																																																							1
370.	y =	√											.										371.	y = 1 + cos2 x 5 .																				372.		y = s1 + tg x +																	.
																																																														x
				x2 + a2																																																										x
						1 −					√																																							arcsin √
	y = tg3													x										y =																						y = 4
373.														x		.							374.			1			−				(arccos x)2									.		375.														x2 + x.
373.																.							374.			1							(arccos x)2									.		375.														x2 + x.
					1 +						√x													p																							p
																																														y = r4											+ 1
376.	y = log2(log3(log4 x)).																						377.	y = ln arctg √1 + x2.																				378.						ln sin						x	+ 1			.
376.	y = log2(log3(log4 x)).																						377.	y = ln arctg √1 + x2.																				378.						ln sin							4			.
							x2+2x+3																		√
																												ln(ax2+bx+c)
379.	y = cos(e																	).					380.					ln(ax2+bx+c)												.				381.		y = ln sin							4		arctg e						3x			.
379.	y = cos(e																	).					380.	y = e																.				381.		y = ln sin									arctg e									.
		2																																																			x
382.	y = xx .																						383.	y = (sin x)cos x.																				384.									x
382.	y = xx .																						383.	y = (sin x)cos x.																				384.		y = (ln x)3p.
																								y = x4ex2 √																						y =		(x + 3)2 3																	.
	y = (x + 2) x2 +3.																																																										(2x + 5)2
385.																							386.											sin 2x.										387.															(2x + 5)2
385.																							386.											sin 2x.										387.
																																																			3(x						1) sin x
																																																			3(x					p
																									(x + 2)4 √4																													−
																																					3 + 2x

388.	y = xln x.																						389.	y =																	.			390.		y = px cos x√1 − ex.
388.	y = xln x.																						389.	y =					7		(x + 3)4										.			390.		y = px cos x√1 − ex.
																												p

391.	y = xx .			392.	y = xcos 2x.					393.	y =			1 + x						x
391.	y = xx .			392.	y = xcos 2x.					393.	y =			1 + x						.
	1													x
394.	y = (2x)√x.			395.	y = (x2 + 1)sin 2x.					396.	s3
394.	y = (2x)√x.			395.	y = (x2 + 1)sin 2x.					396.	s3	(x2		− 3)2 .
								d2y				x(x2 + 3)
Найти производные второго порядка y00(x) =								d2y	от функций:
Найти производные второго порядка y00(x) =									от функций:
							d2x
	2																x
397.	y = e−x	.		398.	y = tg x − cos x.					399.	y = arcsin								.
397.	y = e−x	.		398.	y = tg x − cos x.					399.	y = arcsin						2		.
	y = sin2 x.				y = √		.				y = arctg					x		.
400.				401.		1 + x2				402.						x
400.				401.		1 + x2				402.
														2
403.	y = ln(3x + 5).			404.	y = x cos x.					405.	y =		x + 2		.
403.	y = ln(3x + 5).			404.	y = x cos x.					405.	y =				.
	y = ln √3												x − 2
406.	y = ln √3	1 + x2	.	407.	y = (1 + x2) arctg x.					408.	a ch x .
												a

Найти производную x0(y)

409. y = 1 + 3x + x3.

1 − x4

412. y = 1 + x4 .

Найти производную y0(x)

415. 3x + 4yx − 5 = 0.

418. √x + √y = √a.

421. x4 + y4 = 4x2y2.

424. 2y ln y = x.

=	dx	, åñëè:
=	dy	, åñëè:
	dy
		y = 2x − cos x.		x
410.		y = 2x − cos x.	411.	y = 0, 1x + e 2 .
413.		y = xx.	414.	y = arcsin 2x.
=	dy	от неявных функций:
=	dx	от неявных функций:
	dx
416.		x3 + y3 = a3.	417.	x3 + x2y + y2 = 0.
419.		y2 cos x = a2 sin 3x.	420.	y2 − 2xy + 4 = 0.
422.		2x + 2y = 2x+y.	423.	sin xy + cos xy = tg(x + y).
425.		y = tg(x + y).	426.	y = 3 − x ln(x − y2).

Найти производную второго порядка y00(x) =				d2y
Найти производную второго порядка y00(x) =				dx2	от неявных функций:
				dx2	от неявных функций:
427.	x2	+ y2 = 1.	428. y2 = 2px.		429. y = x + arctg y.
430.	x2	+ 5xy + y2 − 2x + y − 6 = 0 в точке (1, 1).

Построить графики функций, заданных параметрически; найти производные yx0 =

d2y

è yxx00

dx2

( y = t2

+ 2t.

( y = t + 2 sin t.

431.

( y = 4 sin t.

432.

433.

x = 3 cos t,

x = t2

− 2t,

x = cos t,

434.

x = t1

435.

x = a(t − sin t),

436.

x = a cos3

− t.

( y = a(1 − cos t).

( y = a sin

y = 3 t

d2y

Найти производные yx0 =

è yxx00 =

( y = e3t.

( y = t arctg t.

437.

438.

( y = et

cos t.

439.

x = e2t

x = et

sin t,

x = ln(1 + t2),

1 + t2

3at

−

x =

x = t(1

−

sin t),

440.

441.

1 +

442.

− 1

x =

t3 ,

y =

t2 − 1

1 + t3

Найти

ю производную от

−

функций:

443.	y = sin x.			444.	y = cos 2x.				445.	y = e−3x.
446.	y =	1	.	447.	y =	1	+ x	.	448.	y = ln(1 + x).

		1 + x			1		− x		x, выражается по формуле S = x2.
449. Площадь S				квадрата со стороной, равной

Найти приращение и, пользуясь определением дифференциала, дифференциал этой функции и выяснить геометрическое значение последнего.

450. Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифференциала следующих функций: a) площадь круга S = πx2; b) объем куба v = x3.

Пользуясь формулой нахождения дифференциала, найти дифференциалы функций:

	π			π		2
451. y = cos x ïðè x =		è	x =		.	452. y =	√		ïðè x = 9 è x = −0, 01.
	6			36
								x

Найти дифференциалы следующих функций для произвольных значений аргумента и

его приращения:

453.

y =

454.

y = x ln x

−

455.

y =

1 − x

1 + x

456.

y = arcsin

457.

s = arcctg ex.

458.

r = tg ϕ + sec ϕ.

√

Получить из нее (для

459. Вывести формулу

x + x =

x +

n√

+ o(Δx).

xn−1

| x|

малых по сравнению с

) приближенные формулы при

= 2; 3; 5. Найти по этим

√5; b) √70;

ôîðìулам приближенные значения a)

c) √640; d) √10;

√70; f) √200; g)

√5 250.

Получить нужные формулы и вычислить приближенно

460.

tg 45◦302000.

461.

arcsin 0, 54.

462.

y = arctg 1, 2.

Найти приближенные значения функций:

y = √

ïðè x = 0, 2. 464.

y = x3 − 4x2 + 5x + 3 ïðè x = 0, 2.

463.

1 + x

465. Какие углы ϕ образует с осью

Ox касательные к кривой y = x − x2 в точках с

абсциссами a) x = 0; b) x = 0, 5; c) x = 1?

466. Под какими углами синусоиды

y = sin x

è y = sin 2x пересекают ось абсцисс в

начале координат?

467.Под каким углом кривая y = e0,5x пересекает прямую x = 1?

468.Найти точки, в которых касательные к кривой y = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 20 парал-

лельны оси абсцисс.

469. В какой точке касательная к параболе y = x2 − 7x + 3 параллельна прямой 5x + y − 3 = 0?

470. В какой точке кривой y2 = 2x3 касательная перпендикулярна прямой 4x−3y+2 =

471. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y = x3 + 2x2 −4x −3 в точке

(−2; 5).

Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках:

472.

y = tg 2x в начале координат.

473.

y = arcsin x−1

Ox.

2 в точке пересечения с осью

474.

y = arccos 3x в точке пересечения с осью

Oy.

475.

y = ln x в точке пересечения с осью Ox.

476.

y = e1−x2

в точке пересечения с прямой

y = 1.

x =

+ t

477.

в точке (2; 2).

y =

x = t2cos t,

в начале координат и в точке

478.

t = 4 .

( y = t sin t

479.x3 + y2 + 2x − 6 в точке (1; 1).

480.x5 + y5 − 2xy = 0 в точке пересечения с прямой y = 1.

481.Найти угол, под которым пересекаются параболы y = (x − 2)2 è y = 6x − 4 − x2.

482.Показать, что гиперболы xy = a2 è x2 −y2 = b2 пересекаются под прямым углом.

483. Показать, что кривые y = 4x2 + 2x − 8 = 0 è y = x3 − x + 10 касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке (−2; 4)?

Для нахождения следующих пределов применить правило Лопиталя:

484.

lim

x cos x − sin x

485.

lim

1 − x

x→0

x→1 1 − sin

πx

xlim

ln x

487.

488.

√3

→∞ x

→∞

490.

lim(1 cos x) ctg x.

491.

lim(xne−x), n > 0.

→

−

→

x 1

− 2 cos x

x 0

x→π2

ctg x

x→+∞

lim

493.

. 494.

xx .

486.	lim		ch x − 1		.
	x→0	1 − cos x
489.	lim		ln(sin 3x)			.
489.	lim					.
	x→0		ln sin x
							1
492.	lim			x			1
	x→1		x − 1 − ln x .
495.	lim xsin x.
	x→0

496. Можно ли найти следующие пределы с помощью правила Лопиталя? Найти эти пределы непосредственно.


a) lim		x2 sin x1			;											b)	lim	x − sin x							.
a) lim		sin x			;											b)	lim								.
x→0		sin x														x→+∞ x + sin x
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
497.	y = 3 − 4x − 2x2.															498.	y = (x + 2)2.											499.	y = (x − 3)3.
	y = x2(x + 2).																y = (x − 4)√												y = x − cos x.
500.	y = x2(x + 2).															501.	y = (x − 4)√									x.		502.	y = x − cos x.
503.	y =		x				.									504.	y =	1							.			505.	y =				x		.
503.	y =						.									504.	y =		(x − 2)2						.			505.	y =	x2 − 6x − 16					.
			x − 4																(x − 2)2											x2 − 6x − 16
	y = x − √3																y = x ln x.												y = arcsin(1 + x).
506.	y = x − √3							x.								507.	y = x ln x.											508.	y = arcsin(1 + x).
	y = 3ex2−4x.																	1
509.	y = 3ex2−4x.															510.	y = 2			x−a				.				511.	y = x2e−x.
	y = 0, 1x2 − ln x.																y =		2x										y = (x − 2)3(2 + 3)2.
512.																513.							.					514.
512.																513.			ln x				.					514.
Исследовать следующие функции на экстремум:
515.	y = x2(x − 5)2.															516.	y = x(x − 1)3(x + 2)2.											517.	y = x − ln(x + 1).
518.	y =		x3						.							519.	y =		x2 − 2x + 2								.	520.	y =	(x − 2)(8 − x)						.
518.	y =		x2 + 4						.							519.	y =										.	520.	y =							.
			x2 + 4																			x − 1											x2
			16															4														x
521.	y =											.				522.	y =		√						.			523.	y =	√3				.
			x(4 − x2)
			x(4 − x2)																		x2 + 8											x2 − 4
524.	y =		3	(x2							1)2		.			525.		2 sin 2x + sin 4x.										526.	y = x ln2 x.
			p		x−									x			y = ex
527.	y = 2 cos									+ 3 cos					.	528.	y =					.						529.	y = x − arctg x.
527.	y = 2 cos					2				+ 3 cos				3	.	528.	y =		x			.						529.	y = x − arctg x.
	y = x2e−x.																y = ch x.												y = √3				.
530.	y = x2e−x.															531.	y = ch x.											532.	y = √3		x2		.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанных множествах:

y = x4 − 8x2 + 3, x [−2; 2].

y = x + √

x [0; 4].

533.

534.

y = √

x [−2; 2].

y = ln x, x (0; 2].

535.

4 − x2

536.

537.

y = cos 2x + 2x, x [−π2 ; π2 ].

538.

y = sin x sin 2x, x (−∞; ∞).

y = √

y = arccos x,

539.

5x − x2

в области определения. 540.

в области определения.

y = tg x − x,

x [−π4 ; π4 ].

y = arccos x2,

x [−

√

;

√

541.

542.

543.Какое число в сумме со своим квадратом дает наименьшее возможное значение?

544.Данное положительное число a разложить на два слагаемых так, чтобы их про-

изведение было наибольшим.

545.Найти положительное число, которое будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую суммму.

546.Найти такое положительное число, чтобы разность между ним и его кубом была наибольшей.

547.Кусок проволоки данной длины L согнуть в виде прямоугольника так, чтобы

площадь последнего была наибольшей.

548. Требуется огородить с трех сторон прямоугольную площадку, примыкающую одной стороной к длинной стене так, чтобы при заданной длине забора L площадь ее была

максимальной.

549. Из квадратного листа картона со стороной a требуется сделать открытую прямо-

угольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.

550. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на приготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

551.Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую полную поверхность?

552.Какими должны быть размеры консервной банки, имеющей наибольший объем при заданной площади поверхности?

553.В данный шар радиуса R вписать конус наибольшего объема.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций:																	y = √3
	y = x3 − 6x2 + 12x + 4.								y = (x + 1)4.
554.								555.								556.			4x3 − 12x.
557.	y =	1			.			558.	y =		x3		.			559.	y =			x2	.

		x + 4								x2 + 12								x2 − 1
560.	y = x − sin x.							561.	y = x2 ln x.							562.	y = arctg x − x.
563.	y = (1 + x2)ex.							564.	y = x4 + x2 + ex.							565.	y = ln(1 + x3).
566.	y = x arctg x.							567.	y = earctg x.							568.	y = ecos x.
Найти асимптоты кривых:
	y =		1						y =		x						y =			x2
569.							.	570.							.	571.					.
		(x − 2)2								x2 − 4x + 3								x2 − 4
	y =	x3							y =		x						y =	x2 + 1
572.						.		573.		√				.		574.		√				.
		x2 + 4
											x2 + 3									x2 − 1
			2							1								1
575.	y = e−x			+ 2.				576.	y =			.				577.	y = ex .
										1 − ex

																		1						1
578.	y = ln(1 + x).										579.	y = x ln					e +					.	580.	y = xex .

																				x
Провести полное исследование функций и построить их графики:
581.	y = x3 − 3x2.										582.	y = (x − 1)2(x + 3).											583.	y = 6x2 − x4.
584.	y =	x2 − 2x + 2						.			585.	y =		x4 − 3				.					586.	y =	x4 + 3		.

				x − 1												x									x
587.	y = x2 +					2	.				588.	y =			4x			.					589.	y =	4x − 12				.
														4 + x2
						x																			(x − 2)2
590.	√					√					591.		√								√		592.		√
	y = x + 4 − x.											y = 8 + x − 8 − x.												y = x x + 3.
593.	y = xe−x.										594.	y = e8x−x2−14.											595.	y = (2 + x2)e−x2 .
		ln x												x2			x								x
596.	y =	√			.						597.	y =				ln			.				598.	y =		.
														2			3								ln x
			x
599.	y = sin x + cos x.										600.	y = 2 sin x + sin 2x.											601.	y = cos x − cos2 x.
	y = arcsin(1 − √3									).		y = x arctg x.												y = earcsin √					.
602.									x2		603.												604.					x

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.201955.81 Кб7Ответы по катку.doc
#
26.02.20161.16 Mб357ОТД_Краткий курс лекций_2010.pdf
#
26.02.2016308.74 Кб60отчёт по практике для морозова.doc
#
21.07.201947.1 Кб3Понятие о социальных общностях и группах.doc
#
26.02.2016219.65 Кб259Пособие Методика оценки.doc
#
26.02.2016166.51 Кб11практика2.pdf
#
26.02.2016226.3 Кб20примерный отчет Курта от 10 июля вариант.doc
#
26.02.2016878.59 Кб91Программа Оценка обстановки в зоне ЧС.doc
#
26.02.2016317.44 Кб8Программа уч.практики.doc
#
08.12.20181.6 Mб18Проектирование_газопровода_-_копия.doc
#
17.11.20185.4 Mб5Пряхин_СОПРОМАТ_ РПР_ 3_ исправленый_31_марта_2....docx

1. Решить неравенства
a) \|x − 1\| < 5;	b) \|x + 2\| > 4;	c) \|3x + 2\| < 1;
d) \|2x − 3\| > 5;	e) \|x − 1\| < \|x + 1\|;	f) \|2x + 3\| > \|x − 1\|.