2.4. Пример выполнения работы

Рассмотрим выполнение заданий варианта 24.

Текст, указанный в треугольных скобках – <текст> – является пояснением к формульным преобразованиям.

Конъюнкция обозначена как умножение: x&y=xΛy=x·y=xy.

Сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ) обозначено операцией сложения: x+y.

Отрицание обозначено: ⌐x.

В формульных преобразованиях при упрощении выражений используются эквивалентные формулы для следующих операций:

– x→y=⌐xVy <импликация>,

– x↓y=⌐x⌐y <стрелка Пирса>,

– x│y=⌐xV⌐y <штрих Шеффера>,

– x↔y=xyV⌐x⌐y <эквивалентность>,

– x+y=x⌐yV⌐xy <сложение по модулю 2>.

2.4.1. Составление таблиц истинности формул.

F₁ = x↔(y(⌐y→x) = <импликация> = x↔(y(⌐⌐yVx) =

= <эквивалентность> = x(y(⌐⌐yVx))V⌐x⌐(y(⌐⌐yVx)).

Представим выражение F₁ в виде последовательности простых формул f для получения таблицы истинности (табл. 2.1):

f₁=⌐y, f₂=f₁=⌐⌐y, f₃=f₂Vx=⌐⌐yVx,

f₄=yf₃=y(⌐⌐yVx), f₅=⌐f₄=⌐(y(⌐⌐yVx)), f₆=⌐x,

f₇=xf₄=x(y(⌐⌐yVx)), f₈=f₆f₅=⌐x(⌐(y(⌐⌐yVx))), F₁=f₇Vf₈.

Таблица 2.1

x	y	f1= ⌐y	f2= ⌐f1	f3= f2Vx	f4= yf3	f5= ⌐f4	f6= ⌐x	f7= xf4	f8= f6f5	F1= f7Vf8
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	И	И	Л	Л	И	Л	И

F₂=xV(⌐y+(z↓⌐(x│y))) = <штрих Шеффера> =

= xV(⌐y+(z↓⌐(⌐xV⌐y))) = <стрелка Пирса> =

= xV(⌐y+(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))) = <сложение по модулю 2> =

= xV(⌐y⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))V⌐⌐y(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))), (табл. 2.2).

f₁=⌐x, f₂=⌐y, f₃=⌐z, f₄=f₁Vf₂=⌐xV⌐y,

f₅=f₃⌐⌐f₄=⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y), f₆=⌐f₅=⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)),

f₇=f₆f₂=⌐y⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)), f₈=yf₅=y(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)),

f₉=f₇Vf₈=(⌐y⌐(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y)))V(y(⌐z⌐⌐(⌐xV⌐y))), F₂=f₉Vx.

Таблица 2.2

x

y

z

f1= ⌐x

f2= ⌐y

f3= ⌐z

f4= f1Vf2

f5= f3⌐⌐f4

f6= ⌐f5

f7= f6f2

f8= f5y

f9= f7Vf8

F2= f9Vx

Л

Л

Л

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

2.4.2. Проверка эквивалентности формул.

F₁=x→(y↓z), F₂=(x→y)↓(x→z).

а) Cоставление таблиц истинности.

F₁=x→(y↓z) = <импликация> = ⌐xV(y↓z) =

= <стрелка Пирса> = ⌐xV(⌐y⌐z), (табл. 2.3).

f₁=⌐x, f₂=⌐y,

f₃=⌐z, f₄=f₂f₃=⌐y⌐z, F₁=f₁Vf₄.

Таблица 2.3

x	y	z	f1= ⌐x	f2= ⌐y	f3= ⌐z	f4= f2f3	F1= f1Vf4
Л	Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	И	И	И	Л	Л	И
Л	И	Л	И	Л	И	Л	И
Л	И	И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
И	И	И	Л	Л	Л	Л	Л

F₂=(x→y)↓(x→z) = <импликация> = (⌐xVy)↓(⌐xVz) =

= <стрелка Пирса> = =⌐(⌐xVy)⌐(⌐xVz), (табл. 2.4).

f₁=⌐x, f₂=⌐y, f₃=⌐z, f₄=f₁Vy=⌐xVy,

f₅=f₁Vz=⌐xVz, f₆=⌐f₄=⌐(⌐xVy), f₇=⌐f₅=⌐(⌐xVz), F₂=f₆f₇.

Функции F₁ и F₂ не эквивалентны.

Таблица 2.4

x	y	z	f1= ⌐x	f2= ⌐y	f3= ⌐z	f4= f1Vy	f5= f1Vz	f6= ⌐f4	f7= ⌐f5	F2= f6f7
Л	Л	Л	И	И	И	И	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И	Л	И	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	Л	И	И	И	Л	Л	Л
Л	И	И	И	Л	Л	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л	И	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л	И	И	Л	Л
И	И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	И	И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л	Л

б) Приведение формул к СДНФ или СКНФ.

Упрощение:

F₁ = x→(y↓z) = <импликация> = ⌐xV(y↓z)=

= <стрелка Пирса>= ⌐xV(⌐y⌐z) = ⌐xV⌐y⌐z,

F₂ = (x→y)↓(x→z) = <импликация> = (⌐xVy)↓(⌐xVz) =

= <стрелка Пирса>=

= ⌐(⌐xVy)⌐(⌐xVz) = <закон де Моргана> =

= (⌐⌐x⌐y)(⌐⌐x⌐z) = x⌐yx⌐z=x⌐y⌐z.

СДНФ:

F₁ = ⌐xV⌐y⌐z = ⌐x(yV⌐y)V⌐y⌐z(xV⌐x) =

= ⌐xyV(zV⌐z)V⌐x⌐yV(zV⌐z)V⌐y⌐zxV⌐y⌐z⌐x =

= ⌐xyzV⌐xy⌐zV⌐x⌐yzV⌐x⌐y⌐zV⌐y⌐zxV⌐y⌐z⌐x =

= <поглощение>=

= ⌐xyzV⌐xy⌐zV⌐x⌐yzV⌐x⌐y⌐zVx⌐y⌐z,

F₂ = x⌐y⌐z.

Функции F₁ и F₂ не эквивалентны.

СКНФ:

F₁ = ⌐xV⌐y⌐z = (⌐x)V(⌐y⌐z) = (⌐xV⌐y)(⌐xV⌐z) =

= ((⌐xV⌐y)Vz⌐z)((⌐xV⌐z)Vy⌐y) =

= (⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐yV⌐z)(⌐xV⌐zVy)(⌐xV⌐z⌐y) =

= (⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐yV⌐z)(⌐xVyV⌐z),

F₂ = x⌐y⌐z = (x)(⌐y)(⌐z) = (xVy⌐y)(⌐yVx⌐x)(⌐zVy⌐y) =

= (xVy)(xV⌐y)(⌐yVx)(⌐yV⌐x)(⌐zVy)(⌐zV⌐y) =

= ((xVy)Vz⌐z)((xV⌐y)Vz⌐z)((⌐yVx)Vz⌐z) &

& ((⌐yV⌐x)Vz⌐z)((⌐zVy)Vx⌐x)((⌐zV⌐y)x⌐x) =

= (xVyVz)(xVyV⌐z)(xV⌐yVz)(xV⌐y⌐z)(⌐yVxVz)(⌐yVx⌐z) &

& (⌐yV⌐xVz)(⌐yV⌐x⌐z)(⌐zVyVx)(⌐zVy⌐x)(⌐zV⌐yVx)(⌐zV⌐y⌐x) =

= <поглощение> =

= (xVyVz)(xVyV⌐z)(xV⌐yVz)(xV⌐y⌐z) &

& (⌐xV⌐yVz)(⌐xV⌐y⌐z)(⌐xVy⌐z).

Функции F₁ и F₂ не эквивалентны.