Матем / 12

 

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

 

1.     Основные понятия. Сходимость ряда.

2.     Необходимый признак сходимости.

3.     Достаточные признаки сходимости.

4.     Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5.     Абсолютная и условная  сходимость.

 

1. Основные понятия. Сходимость ряда.

Рядом называется выражение вида:

 

 

 

где a₁, a₂, a₃,… - числа, называемые членами ряда.  Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n- частичной суммой данного ряда,  то есть   S_n= a₁ + a₂ + a₃ +…+ a_n.              (2)

Частичные суммы S₁, S₂, S₃,…, S_n,… образуют числовую последовательность.  Суммой данного ряда называется предел n-частичной суммы при неограниченном возрастании n:

 

 

Если предел (3) не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся. При наличии конечного предела ряд называетсясходящимся.

Пример.  Пусть дан ряд  

 

 

Составим частичную сумму:

 

Следовательно, ряд сходится и его сумма S=1.

Определение. Если в ряде (1) все , то ряд называют положительным.

 

2.    Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

           (4)

Следствие. Если n-ый член ряда не стремится к нулю при n→∞ , то ряд расходится.

Пример: Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда:

Общий член а_n=,      

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, поэтому этот ряд расходится.

 

Условие  является необходимым, но не достаточным, т.е. из того, что n-й член стремится нулю, еще не следует, что ряд сходится, ряд может и расходиться.

Пример.  Гармонический ряд:  1+

расходится, хотя предел общего члена стремится к нулю.

 

3.    Достаточные признаки сходимости.

1) Признак сравнения рядов.

Пусть даны два ряда с положительными членами

U₁+U₂…+U_n+…      (5),

V₁+V₂+…+V_n+…   (6),

если начиная хотя бы с некоторого номера, выполняется неравенство  ,  то из сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (5), а из расходимости ряда (5) вытекает расходимость ряда (6).

 

2) Признак Даламбера.

Если в ряде с положительными членами  а₁+а₂+…+а_n+…

отношение (n+1)-го члена ряда к n-му члену при  имеет конечный предел , т.е., то

а) при  <1 ряд сходится;

б) при >1 ряд расходится;

в) при =1 признак определенного ответа не дает. Ряд в этом случае исследуют по другим признакам.

Замечание: Для того, чтобы из выражения а_n общего члена ряда получить выражение а_(n+1), надо в формуле для определения а_n заменить n на (n+1).

Пример. Исследовать сходимость  ряда по признаку Даламбера.

ряд  расходится.

 

 

 

 

3) Признак Коши.

Если для ряда с положительными членами а₁+а₂+…+а_n+… ,   величина  имеет конечный предел  при, т.е., то

а) при <1 ряд  сходится;

б) при >1 ряд  расходится;

в) при =1 признак определенного ответа не дает.

4) Интегральный признак сходимости Коши.

Теорема: пусть дан положительный ряд  а₁+а₂+а₃+…+а_n+…

с убывающими членами,  ,

а функция f(x), определенная в промежутке