IPP по ОММ

першого ресурсу.

Отже, якщо перший ресурс збільшити на 4 у.о. і використовувати в обсязі 284 у.о., а третій зменшити на 1 у.о. і залишити у виробництві 79 у.о., то обсяг виручки від реалізації продукції залишиться незмінним у порівнянні з початковими умовами задачі – 285 у.о.

19

Завдання № 1 індивідуальної розрахункової роботи Тема: Практичне використання двоїстих оцінок в аналізі економічних задач

На виготовлення двох видів продукції Р1 та Р2 використовується три види ресурсів А1, А2, А3. Запаси ресурсів, норми їх витрат і прибуток від реалізації одиниці продукції для 30 варіантів задано в таблиці.

Завдання:

1.Скласти математичну модель задачі.

2.За допомогою симплекс-методу знайти такий план виробництва, який дав би змогу підприємству отримати найбільшу виручку від реалізації продукції.

3.Скласти двоїсту задачу до вихідної і виписати її розв’язок із останньої симплекс-таблиці розв’язаної задачі.

4.Визначити статус ресурсів, що використовуються.

5.З’ясувати рентабельність кожного виду продукції.

6.Обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів.

7.Розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю рентабельної продукції.

8.Обчислити норми взаємозаміни дефіцитних ресурсів.

21

Список рекомендованої літератури для опрацювання теми: Двоїсті задачі лінійного програмування та взаємозв’язок між ними

22

Тема: Транспортні задачі та методи їх розв’язування Основні теоретичні відомості

1. Класична транспортна задача (ТЗ) полягає у пошуку найбільш економного плану перевезення однорідного продукту (або взаємозамінних продуктів) із пунктів виробництва (станцій відправлення) до пунктів споживання (станцій призначення), ефективність якого будемо оцінювати за критерієм найменшої вартості перевезення.

Означення 1. Якщо загальний запас вантажу на всіх станціях відправлення дорівнює загальній сумі потреб усіх пунктів призначення, то таку транспортну задачу називають закритою ТЗ або ТЗ із правильним балансом.

Якщо ж рівність між запасами і потребами порушується, то ТЗ називають

відкритою або ТЗ із неправильним балансом.

Усі дані транспортної задачі заносять у спеціальну таблицю, яку називають матрицею перевезень.

Теорема 1. Ранг матриці системи обмежень ТЗ визначається за формулою r = m +n −1, де m –кількість станцій відправлення, n – кількість станцій призначення.

Зауваження. Опорний план ТЗ, що містить не більше ніж додатних компонент, а всі інші його компоненти дорівнюють нулю, називають невиродженим. Якщо ж кількість базисних змінних менша ніж m +n −1, то маємо вироджений план. Щоб позбутися виродженості опорного плану, в деякі клітинки матриці перевезень записують нульові постачання і ці клітинки вважають заповненими.

2. Методи побудови початкового опорного плану закритої транспортної задачі

1). Діагональний метод (північно-західного кута). Починаємо заповнювати клітинки матриці перевезення із її лівого верхнього кута. Записуємо у клітинці мінімальне число із кількостей запасів і потреб у відповідній клітинці, поступово вичерпуючи всі запаси і задовольняючи всі потреби.

23

2). Метод мінімального елемента (метод найменшої вартості). Спочатку визначаємо клітинки матриці перевезення в кожному рядку та стовці, в яких вартість перевезення найменша. Починаємо заповнювати матрицю перевезень з клітинки із найменшою вартістю перевезення, потім із наступною найменшою вартістю, поступово вичерпуючи всі запаси і задовольняючи всі потреби.

3. Критерій оптимальності опорних розв’язків за методом потенціалів

Кожній станції відправлення поставимо у відповідність потенціал

αi ,i =1, 2,…, m , а кожній станції призначення потенціал βj , j =1, 2,…, n .

Для базисних клітинок матриці перевезень виконуються рівності

αi +βj = cij .

Кількість рівнянь на одне менша, ніж кількість невідомих, тому система є невизначеною і одному із потенціалів надають нульове значення. Тоді значення всіх інших потенціалів визначаються однозначно.

Правило обчислення потенціалів: невідомий потенціал дорівнює різниці вартості перевезення у базисній клітинці і значення відомого потенціалу.

Теорема 2. Для того, щоб опорний план ТЗ був оптимальним необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти

γij = cij −(αi +βj ) ,

обчислені для всіх вільних клітинок матриці перевезень, були невід’ємними.

4. Перехід від одного опорного плану до іншого за методом квадратів.

Означення 2. Чотири клітинки, розміщені у кутах виділеного прямокутника матриці перевезень, в яких хоча б на одній діагоналі містяться базисні клітинки, називають квадратом.

Означення 3. Квадрат називають неправильним, якщо сума вартостей перевезення клітинок базисної діагоналі більша суми двох інших вартостей, і правильним, якщо сума менша. Квадрат називають нейтральним, якщо обидві суми рівні.

24

Теорема 3. В оптимальній матриці перевезень не існує неправильних квадратів.

Зауваження. Умова теореми є необхідною, але не достатньою, тому навіть якщо неправильні квадрати у матриці перевезень відсутні, треба перевірити розв’язок на оптимальність методом потенціалів.

Правило заміни неправильного квадрата правильним: Щоб замінити неправильний квадрат правильним треба вибрати найменшу кількість вантажу, що перевозиться, серед клітинок базисної діагоналі. Далі це число відняти від кількостей перевезення на базисній діагоналі і додати до кількостей перевезення на іншій діагоналі неправильного квадрата.

5. Побудова і аналіз контурів перерахунку.

Означення 4. Циклом перерахунку у матриці перевезень називають замкнену ламану лінію, одна вершина якої розміщена у вільній клітинці, а всі решта – у базисних. Усі кути циклу перерахунку – прямі.

Означення 5. Цикл сусіднім вершинам, якого поставлені у відповідність протилежні знаки «+» або «-» називають означеним. У вільній клітинці завжди ставимо знак «+».

Означення 6. Зсувом за циклом перерахунку називають таку операцію, при якій у додатній вершині додається одне і те саме число, а у від’ємній віднімається.

Правило здійснення зсуву за циклом перерахунку: Вибрати найменшу кількість вантажу, що перевозиться, серед клітинок циклу із знаком «–». Далі це число відняти від кількостей перевезення у клітинках циклу із знаком «–» і додати до кількостей перевезення у клітинках циклу із знаком «–».

Зауваження. Значення базисних клітинок, які не брали участі у циклі перерахунку, не змінюються.

Теорема 4. Зсув за означеним циклом перетворює один розв’язок ТЗ у інший тієї самої задачі.

Теорема 5. Для будь-якої вільної клітинки існує лише один цикл перерахунку.

25

Запитання для самоконтролю

1.Опишіть економічну та математичну постановку класичної транспортної задачі.

2.Чим відрізняється відкрита транспортна задача від закритої?

3.Які методи побудови початкового опорного плану транспортної задачі Вам відомі? Як побудувати початковий опорний план ТЗ за відомими Вам методами?

4.Яку клітинку матриці перевезень називають вільною, а яку базисною?

5.Сформулюйте критерій оптимальності за методом потенціалів.

6.Як обчислюють потенціали?

7.Які Ви знаєте методи переходу від одного опорного плану транспортної задачі до іншого?

8.Який квадрат у матриці перевезення називають правильним (неправильним)?

9.У чому полягає суть методу квадратів?

10.Чи існують у матриці перевезення неправильні квадрати?

11.Якщо в матриці перевезення не існує неправильних квадратів, то чи можна стверджувати, що опорний розв’язок є оптимальним?

12.Що називають циклом у матриці перевезень?

13.Який цикл у матриці перевезень називають означеним?

14.Як будують цикл у матриці перевезень та здійснюють його перерахунок? 15.Скільки циклів перерахунку існує для вільної клітинки у матриці

перевезень?

26

Приклад розв’язання завдання

Задача про розподіл фінансових ресурсів.

Туристична фірма уклала угоду про співпрацю з трьома туристичними комплексами, потужності задоволення туристичних потреб на яких 50,40, 60 відпочиваючих за сезон. Серед постійних клієнтів цієї фірми є чотири замовники, попит яких у туристичних послугах становить 35, 45, 55, 65 відпочиваючих за сезон відповідно.

Транспортні витрати на перевезення однієї людини від і-того замовника до j-того туристичного комплексу задані матрицею:

Додаткові затрати туристичної фірми на задоволення потреб відпочиваючих становлять 10, 5, 15 у. г. о. відповідно на І, ІІ та ІІІ туристичних комплексах. Оскільки зазначені туристичні комплекси не забезпечують потреб замовників, то планується збільшити загальну потужність туристичних комплексів.

Проектом передбачено такі варіанти:

1)будівництво нового туристичного комплексу, транспортні витрати для якого оцінюють відповідно в 2, 10, 7, 8 у. г. о. та додаткові витрати d4=10 у. г. о. на одну людину;

2)реконструкція 2-го туристичного комплексу з додатковими затратами на одну людину ∆ d2=10 у. г. о.

Необхідно визначити найекономніший для туристичної фірми варіант задоволення всіх потреб замовників.

План роботи над задачею:

1.Аналіз умови, введення необхідних позначень.

2.Побудова математичної моделі задачі.

3.Розв’язування задачі методами розв’язування ТЗ.

4.Інтерпретація розв’язку.

27

Перший проект:

1. Аналіз умови, введення необхідних позначень.

Нехай

a1 = 35;a2 = 45; a3 = 55;a4 = 65 – попит чотирьох фірм-замовників туристичних послуг;

b1 = 50;b2 = 40;b3 = 60 , b4 = 50 – потужності туристичних комплексів;

одного відпочиваючого від i-го замовника до j-го тур. комплексу у 1-ому проекті;

d j – додаткові витрати тур. фірми (в у.о.) на одну людину:

2. Математична модель задачі:

Нехай xij - це кількість відпочиваючих за сезон від i-тої фірми-

замовника на j-тому тур. комплексі. Тоді система обмежень задачі:

∑4 xij = ai ,i =1, 2,3, 4;

j =1

∑4 xij = b j , j =1, 2,3, 4;

i=1

xij ≥ 0,i, j =1, 2,3, 4.

Загальні витрати туристичної фірми за першим проектом обчислюємо за

3. Розв’язання:

Складемо матрицю загальних витрат (у вигляді матриці перевезень класичної транспортної задачі) та обчислимо значення потенціалів.

28