IPP по ОММ

воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами Y = ( y1 ,..., ym ) .

За умов використання інших відмінних від оптимальних планів можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції будуть завжди менші ніж витрати на її виробництво.

були оптимальними розв’язками взаємно двоїстих задач необхідно і достатньо, щоб виконувались умови:

Наслідок 2. Якщо в результаті підстановки оптимального плану однієї із взаємно двоїстих задач в систему обмежень цієї задачі деяке обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна компонента оптимального плану спряженої задачі дорівнює нулю.

Економічний зміст другої теореми двоїстості:

а) (стосовно оптимального плану X = (x1 ,..., xn ) прямої задачі)

Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом X = (x1 ,..., xn ) , витрати деякого і-го ресурсу строго менші ніж його загальний обсяг bi , то відповідна оцінка такого ресурсу yi буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс для виробництва не є цінним (ресурс недефіцитний). Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його загальному обсягу bi , тобто його використано повністю, то він є цінним для виробництва і його оцінка yi буде строго більшою від нуля (ресурс дефіцитний).

б) (стосовно оптимального плану Y = ( y1 ,..., ym ) двоїстої задачі)

Якщо деяке j-те обмеження двоїстої задачі виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну cj , то виробництво такого виду продукції є недоцільним і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю (продукція нерентабельна).

9

Якщо ж витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції cj , то її необхідно виготовляти в обсязі, що визначає оптимальний план прямої задачі, тобто xj > 0 (продукція рентабельна).

Третя теорема двоїстості: Компоненти оптимального плану двоїстої задачі yi дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції z за відповідними аргументами bi .

Наслідок 3. За умови незначних змін запасу деякого ресурсу bi замість вихідної задачі отримуємо нову задачу, в якій bi замінено на bi + bi . Для визначення оптимального розв’язку отриманої при цьому нової задачі не потрібно її розв’язувати, а достатньо скористатися формулою

задачі.

Економічний зміст третьої теореми двоїстості: Двоїсті оцінки – це унікальний інструмент, що дає змогу порівнювати непорівнянні речі. Наприклад, як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися у грошових одиницях) стосовно зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, м2, люд/год і т.д.).

10

Запитання для самоконтролю

1.Які задачі лінійного програмування називають взаємно двоїстими?

2.Скільки змінних та обмежень має двоїста задача стосовно прямої?

3.Які умови треба перевірити перед побудовою двоїстої задачі?

4.Сформулюйте правила побудови двоїстих задач.

5.Як за розв’язком прямої задачі знайти розв’язок двоїстої?

6.Сформулюйте першу теорему двоїстості та її економічний зміст.

7.Сформулюйте другу теорему двоїстості та її економічний зміст.

8.Сформулюйте третю теорему двоїстості та її економічний зміст.

9.Дайте економічну інтерпретацію прямої та двоїстої задач.

10.Як визначити, що ресурс є дефіцитним (недефіцитним)? 11.Як визначити, що виробництво продукції є рентабельним

(нерентабельним)?

12.Як визначити інтервали стійкості двоїстих оцінок щодо зміни запасів дефіцитних ресурсів?

13.Як визначити план виробництва та зміну доходу при збільшенні (зменшенні) обсягу деякого ресурсу?

14.Як розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю кожного виду продукції?

11

Приклад розв’язування завдання № 1

Підприємство виготовляє чотири види продукції A, B, C, D, використовуючи для цього три види ресурсів А1, А2, А3 . Норми витрат ресурсів на виробництво одиниці продукції кожного виду, запаси кожного виду ресурсу та ціну одиниці продукції (в умовних одиницях) наведено у таблиці:

Завдання:

1.Скласти математичну модель задачі.

2.За допомогою симплекс-методу знайти такий план виробництва, який дав би змогу підприємству отримати найбільшу виручку від реалізації продукції.

3.Скласти двоїсту задачу до вихідної і виписати її розв’язок із останньої симплекс-таблиці розв’язаної прямої задачі.

4.Визначити статус ресурсів, що використовуються.

5.З’ясувати рентабельність кожного виду продукції.

6.Обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів.

7.Розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю рентабельної продукції.

8.Обчислити норми взаємозаміни дефіцитних ресурсів.

Розв’язання:

1.Складемо математичну модель задачі. Нехай xj – кількість продукції j-го

виду, що виготовлена за оптимальним планом, j=1,2,3,4.

Тоді, враховуючи дані задачі, система обмежень задачі матиме вигляд:

12

2x1 +5x2 +2x3 +4x4 ≤ 250

x1 +6x2 +2x3 +4x4 ≤ 2803x1 +2x2 + x3 + x4 ≤80

xj ≥ 0, j =1, 2,3, 4.

Ліва частина і-го обмеження – це кількість і-го ресурсу, що витрачається на виготовлення всієї продукції.

Через Z позначимо виручку від реалізації продукції. Тоді цільова функція має вигляд: Z = 2x1 +4x2 +3x3 +4x4 (max)

2. За допомогою симплекс-методу знайдемо такий план виробництва, який дав би змогу підприємству отримати найбільшу виручку від реалізації продукції. Запишемо систему обмежень задачі у канонічній формі

2x1 +5x2 +2x3 +4x4 + x5 = 250

x1 +6x2 +2x3 +4x4 + x6 = 2803x1 +2x2 + x3 + x4 + x7 =80

xj ≥ 0, j =1, 2,3, 4,5, 6, 7.

Підготуємо також нульовий рядок симплекс-таблиці. Нехай Z = x0 , тоді

x0 = 2x1 +4x2 +3x3 +4x4 або x0 −2x1 −4x2 −3x3 −4x4 = 0 .

Із останньої симлекс-таблиці (ІІІ ітерація) випишемо розв’язок прямої

задачі X = (x1 = 0; x2 = 0; x3 = 35; x4 = 45; x5 = 0; x6 = 30; x7 = 0) .

3. Складемо двоїсту задачу до вихідної і випишемо її розв’язок із останньої симплекс-таблиці розв’язаної прямої задачі.

Кожному ресурсу bi , i =1, 2,3 , поставимо у відповідність його оцінку yi , i =1, 2,3 . Умовно вважатимемо, що yi – ціна одиниці і-го ресурсу. Тоді маємо таку систему обмежень двоїстої задачі:

де ліва частина j-го обмеження – це загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виготовлення одиниці j-го виду продукції.

Двоїста задача полягає в тому, що необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсу, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Тоді цільова функція двоїстої задачі має вигляд:

Z = 250 y1 +280 y2 +80 y3 (min) .

Розв’язок двоїстої задачі також виписуємо із останньої симлекс-таблиці (ІІІ іт.), а саме із її нульового рядка:

Симплекс-таблиця задачі має вигляд:

4. Визначимо статус ресурсів, що використовуються.

1спосіб. Підставимо значення вектора Х* (оптимального плану прямої задачі)

усистему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівність, то відповідний ресурс дефіцитний, в іншому випадку – недефіцитний.

X = (x1 = 0; x2 = 0; x3 = 35; x4 = 45; x5 = 0; x6 = 30; x7 = 0);

2·0+5·0+2·35+4·45=250 (ресурс А1 – дефіцитний); 1·0+6·0+2·35+4·45=250 <280 (ресурс А2 – недефіцитний); 3·0+2·0+1·35+1·45=80 (ресурс А3 – дефіцитний).

2 спосіб (через додаткові змінні прямої задачі). Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо

більша від нуля – недефіцитний: x5 = 0; x6 = 30 > 0; x7 = 0 .

3 спосіб (за допомогою двоїстих оцінок). Якщо уі>0, то зміна обсягів іншого ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж уі =0, то і-тий ресурс – недефіцитний. y1 = 12 > 0; y2 = 0; y3 = 2 > 0.

5. З’ясуємо рентабельність кожного виду продукції.

1 спосіб. Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістью відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-го виду продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції cj, то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна xj=0.

Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то продукція рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна xj>0.

Y = ( y1 = 12 ; y2 = 0; y3 = 2; y4 = 5; y5 = 52 ; y6 = 0; y7 = 0) ; 2·+1·0+3·2=7>2; A – нерентабельна;

5·+6·0+2·2=>4; B – нерентабельна;

2·+2·0+1·2=3=3; C – рентабельна;

4·+4·0+1·2=4=4; D – рентабельна.

2 спосіб. Проаналізуємо додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі. Значення додаткових змінних показують на скільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Якщо додаткова змінна двоїстої задачі дорівнює нулю, то продукція рентабельна, якщо уi>0, то відповідна

продукція і-го виду нерентабельна:. y4 = 5 > 0; y5 = 52 > 0; y6 = 0; y7 = 0

15

Отже, якщо запас третього ресурсу збільшиться на 45 умовних одиниць або зменшиться на 17,5 умовних одиниць то двоїста оцінка у3=2 цього ресурсу залишиться такою ж.

Згідно з цим можлива виручка підприємства за оптимальним планом виробництва продукції буде знаходитися в межах:

62,5i3 ≤ zmax ≤125i3; 250 ≤ zmax ≤ 375 у.о.

7. Розрахуємо інтервали можливих змін цін на одиницю рентабельної продукції.

Продукція С і D рентабельна. У межах яких змін цін на продукцію кожного виду структура оптимального плану виробництва ще може залишатися такою самою.

Нехай ціна на одиницю продукції виду С змінюється на c3 , тобто

Тоді замінюємо ціну продукції виду С на нову у нульовому рядку і виконуємо в симплекс-таблиці ті самі перетворення над нульовим рядком, що були виконані у перші, другій та третій ітераціях. Результати обчислень записані у рядках під симплекс-таблицею (див. ст. 13).

Оцінки зміни коефіцієнта c3 цільової функції на c3 ще можемо обчислити за такою формулою:

Cá ài −ci ≥ 0 ,

де Cá = (4, 0,3 + c3 ) – вектор-рядок коефіцієнтів при базисних невідомих x4 , x6 , x3 в

оптимальному плані задачі у порядку їх слідування;

ài – вектор-стовпець коефіцієнтів при невідомій xi у останній симплекс-

таблиці;

ci – коефіцієнт при невідомій xi у цільовій функції вихідної задачі.

Тобто у нашій задачі маємо:

−2

Cá à1 −c1 = (4, 0,3 + c3 ) −1 − 2 = 5 +5 c3 ;5

−1

Cá à7 −c7 = (4, 0,3 + c3 ) 0 −0 = 2 + 2 c3 .

2

Оскільки цільова функція вихідної задачі оптимізується на максимум, то розв’язок є оптимальним тоді і тільки тоді, коли у нульовому рядку таблиці відсутні від’ємні числа, тобто справедливими є такі нерівності:

17