Высш_матемКРзаочн(2013-14)

Если z1 r1eiφ1 , z2 r2eiφ2 , z reiφ , причем z1, z2, z 0, то:

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений.

Задача 3. Система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными x1, x2 , x3 имеет вид

a11x1 a12 x2 a13x3 b1,a21x1 a22 x2 a23x3 b2 ,a31x1 a32 x2 a33x3 b3.

называется матрицей системы.

11

называется расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

1)перестановка строк;

2)умножение строки на одно и то же число λ (λ 0);

) прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое число.

Если определитель системы 0, то система имеет единственное решение. М е то д К р а м е р а . Необходимо:

1) вычислить определитель Δ;

2) в определителе заменить поочередно i-й столбец столбцом свободных членов и вычислить соответствующие определители i (i 1, 2, 3):

4) записать решение (x1; x2; x3).

М е то д о б р а тн о й м а тр и ц ы . Необходимо: 1) записать систему в матричном виде:

AX B,

где A – матрица системы;

X – матрица-столбец неизвестных;

B – матрица-столбец свободных членов;

2) решить матричное уравнение

X A 1B,

где A 1 – обратная матрица;

3) записать решение (x1; x2; x3). М е то д Г а ус с а . Необходимо:

1)записать расширенную матрицу системы;

2)с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы свести матрицу системы к треугольной или трапециевидной (с нулевыми элементами под главной диагональю);

3)для преобразованной таким образом расширенной матрицы записать соответствующую систему уравнений;

4)решить полученную систему, начиная с последнего уравнения;

5)записать решение (x1; x2; x3).

12

Задача 4. Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Для компланарности ненулевых векторов a, b, c необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. (a, b, c) 0.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к вектору b наблюдается из конца вектора c и происходит против хода часовой стрелки. В

Объем V пирамиды, построенной на векторах a, b, c :

V 16 (a, b, c) ,

где (a, b, c) – модуль числа и

13

Задача 6. На плоскости уравнение

(x x0 )2 ( y y0 )2 1 a2 b2

задает эллипс с полуосями a, b и центром в точке C(x0; y0 ); в пространстве –

эллиптический цилиндр.

На плоскости уравнение

(x x0 )2 ( y y0 )2 1 a2 b2

задает гиперболу с полуосями a, b и центром в точке C(x0; y0 ); в пространстве – гиперболический цилиндр.

задают параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, и вершиной в точке C(x0; y0 ); в пространстве – параболические цилиндры.

Задача 7. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если последовательности (xn ) и ( yn ) сходятся, то:

ностями.

14

При раскрытии неопределенности вида 1 используют формулу

цируемые функции, то

dydx dudf dgdx .

Т а б ли ц а п р о и зво д н ы х .

15

При раскрытии неопределенности вида 0 часто используют формулы:

0

lim sin x 1 (первый замечательный предел);

x 0 x

lim ln(1 x) 1;

x 0 x

lim f (x) 0.

x x0

α(x) и β(x) называются эквивалентными; пишут: α(x) ~ β(x), x x0.

Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то он не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой.

Если α(x) 0 при x x0 , то верны следующие эквивалентности:

16

Задача 10. При вычислении частной производной функции трех пере-

менных u f (x, y, z) считают y, z постоянными и пользуются правилами дифференцирования и таблицей производных для функции одной переменной x.

При вычислении частной производной считают, что y – переменная

величина, x, z – постоянные, дифференцируют как функцию переменной y; при

вычислении частной производной u считают, что z – переменная величина,

z

x, y – постоянные, дифференцируют как функцию переменной z.

Если вектор l имеет направляющие косинусы cosα, cosβ, cos γ, то производную функции u f (x, y, z) в точке M0 (x0; y0; z0 ) по направлению вектора

Задача 11. Частными производными второго порядка функции z f (x, y) называются частные производные от ее частных производных пер-

вого порядка:

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и высших порядков от функции трех и более переменных.

Смешанной частной производной называется частная производная второго порядка и выше, взятая по различным переменным.

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования.

Задача 12. Пр а ви ла и н т е г р и р о ва н и я .

c f (x)dx c f (x)dx, c const;

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx;

17

dF(x) F(x) C.

Та б ли ц а и н те г р а л о в .

0dx C;

axdx lnaxa C (a const, a 0), в частности,

exdx ex C;

Метод непосредственного интегрирования основан на использовании только основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов.

Метод замены переменной (или метод подстановки) используют в двух случаях: