Овал Кассини

ННУ им. В.О. Сухомлинского

Механико-математический факультет

Кафедра математики

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:

«ОВАЛИ КАССИНИ»

Выполнил:

Студент 312 группы

Вансач Д.С.

План:

Введение

• 1 Уравнения

• 2 Особенности формы

• 3 Свойства

Литература Примечания

Введение

Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1].

Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

1. Уравнения

Расстояние между фокусами 2c.

• В прямоугольных координатах:

Вывод

Фокусы — F1( − c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y), найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к a2: Возводим в квадрат обе части равенства: Раскрываем скобки в левой части: Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

Вывод

Возводим в квадрат и раскрываем скобки: Приводим к виду Это квадратное уравнение относительно y2. Решив его, получим Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

• В полярной системе координат:

Вывод

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим: Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1: Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = cos2α:

2. Особенности формы

Меняется параметр a

Меняется параметр c

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: c — половина расстояния между фокусами и a — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :

• , то есть при .

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При форма кривой стремится к двум точкам.

• , то есть

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

• , то есть

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

• , то есть

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью OY стремится к нулю, когда a стремится к c и к бесконечности, когда a стремится к .

• , то есть

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

• , то есть при

По мере увеличения a (то есть стремления отношения к нулю) кривая стремится к окружности радиуса a. Если c = 0, то отношение достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

3. Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.

• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.

• При имеет два абсолютных максимума и два минимума:

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.

• При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.

• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

Примечания

1. Космические овалы Кассини - ezhe.ru/ib/issue26.html Е. Скляревский