Ііі індивідуальні домашні завдання
Замість n – номер варіанта.
І Таблиця інтегрування.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
.
ІІ Методи інтегрування: частинами і заміна змінних.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
ІІІ
Інтегрування раціональних дробів та
інтегралів виду
.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
Тим, хто бажає краще підготуватися до складання даного модуля, рекомендуємо після закінчення теми “Невизначений інтеграл” виконати завдання.
ІV Знайти інтеграли:
Варіант 1
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 2
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 3
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 4
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 5
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
. 10.
Варіант 6
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 7
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 8
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 9
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 10
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 11
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 12
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 13
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 14
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 15
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 16
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 17
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 18
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 19
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 20
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 21
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 22
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 23
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 24
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 25
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 26
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 27
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 28
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 29
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Варіант 30
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
ІV ПІДСУМКОВІ ЗАВДАННЯ
ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ
Метою індивідуальних завдань є перевірка результативності самостійної роботи з даного модуля. Студент повинен самостійно розв’язувати індивідуальні завдання свого варіанта, який відповідає номеру у списку навчальної групи.
Розв’язання завдань із поясненнями подати у шкільному зошиті, на обкладинці якого необхідно написати назву дисципліни та модуля, прізвище, ім’я та по батькові студента, назву спеціальності, номер групи, номер варіанта. Умову завдання необхідно повністю переписати.
Нижче наведено зразок виконання індивідуального завдання “Застосування визначеного інтеграла”.
Задача
1 Знайти площу фігури, обмеженої кардіоїдою
і колом
.
Задача
2 Знайти довжину астроїди, що задана
рівнянням
Задача 3 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої лініями xy=2, x+2y-5=0.
Задача
4 Знайти масу дуги кривої
від
точки з абсцисою
x=
до точки з абсцисою х=
,
якщо густина матеріалу в кожній точці
дорівнює
.
Розв’язання задачі 1
Криві,
що обмежують фігуру, задані в полярній
системі координат. Побудуємо ці криві.
Рівняння
визначає кардіоїду. Кут
змінюється від 0 до 2
.
Побудуємо криву по точках.
Рівняння
визначає коло радіуса 4 з центром у
початку координат.
|
|
|
|
0 |
|
|
± |
|
|
± |
|
Мал.1
З мал.1 ми бачимо, що площа, яку ми шукаємо, є різницею між площею круга і площею, що обмежує кардіоїда.
.
=
Відповідь:
S=10
кв.од.
Роз’язання задачі 2
Рівняння
визначає астроїду, де параметрt
– це кут.
Якщо
t=0,
то
тобто точка А(2;0) (мал.2).
Якщо
t=2
,
то
тобто точка В(0;2) (мал.2).
Таким
чином, якщо t
змінюється від 0 до 2
,
точка описує чверть кола (мал.2).
Мал.2
Сама
ж крива є симетричною відносно двох
координатних вісей, тому довжина всієї
астроїди дорівнює
.
Оскільки крива задана параметрично, то
Таким
чином:
Відповідь:
кв.од.
Розв’язання задачі 3
Побудуємо криволінійну трапецію обмежену лініями xy=2, x+2y-5=0. (мал.3.)
Мал.3
Знайдемо абсциси точок перетину ліній.
Для визначення об’єма тіла обертання використаємо формулу
.
Відповідь:
куб.од.
Розв’язання задачі 4
Для визначення маси дуги використаємо формулу
За
умовою задачі
,
.
Тоді
.
Відповідь:
од.маси.