9.2. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(9.7)

где

(9.8)

Уравнение (9.7) называется каноническим уравнением эллипса.

Параметры эллипса

Точки F₁(–c, 0) и F₂(c, 0), где называютсяфокусами эллипса, при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние.

Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0), В₁(0, –b), B₂(0, b) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А₁А₂ = 2а образует большую ось эллипса, а В₁В₂ – малую, – центр эллипса.

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с/a – эксцентриситет эллипса;

–фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r₁ = a + εx, r₂ = a – εx;

–директрисы эллипса.

Рис. 9.2

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие

. (9.9)

Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этомr₁ + r₂ = 2b, ε = c/b, директрисы определяются уравнениями:

Рис. 9.3

При условии имеем (в виде частного случая эллипса)окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).

Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:

где

Если центр эллипса с полуосями находится в точкето его уравнение имеет вид:

(9.10)

Пример 1. Привести уравнение эллипса x² + 4y² = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.

Решение. Разделим уравнение x² + 4y² = 16 на 16, после чего получим:

По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A₁(–4, 0), A₂(4, 0), B₁(0, –2), B₂(0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точкиявляются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:

Директрисы D₁, D₂ описываются уравнениями:

Изображаем эллипс (рис. 9.4).

Рис. 9.4

Пример 2. Определить параметры эллипса

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипсаС: Большая полуосьмалая полуосьпрямые– главные оси. Половина междуфокусного расстоянияа значит, фокусыЭксцентриситетДиректрисыD₁ и D₂ могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).

Рис. 9.5

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x² + y² + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x² + y² + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x² + 4y² – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x² + 4y² – 2x + 16y + 17 = 0;

5)

Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:

x² + y² + 4x – 2y + 4 = 0;

(x² + 4x) + (y² – 2y) + 4 = 0;

(x² + 4x + 4) – 4 + (y² – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2)² + (y – 1)² = 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду

(x + 2)² + (y – 1)² = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).

Рис. 9.6

2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:

(x + 2)² + (y – 1)² = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.

3) Выделяем полные квадраты:

x² + 4y² – 2x + 16y + 1 = 0;

(x² – 2x + 1) – 1 + 4(y² + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 16 = 0;

(x – 1)² + 4(y + 2)² = 16.

Значит, уравнение имеет вид:

или

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О₁(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).

Рис. 9.7

4) После выделения полных квадратов имеем:

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 17 + 17 = 0 или (x – 1)² + 4(y + 2)² = 0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение к каноническому виду:

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениямипричем большая полуосьмалая полуось(рис. 9.8).

Рис. 9.8

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x² + 4y² = 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):

Значит, и правый фокус –Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т₁ и Т₂. По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть Тогда уравнение касательнойТ₁ примет вид:

значит, илиТ₁:

Тогда уравнение касательной Т₂ примет вид:

значит, илиТ₂:

Рис. 9.9

Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М(1, –2) и точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0.

Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим х из первого уравнения системы:

x = 7y – 10.

Затем подставим во второе:

(7y – 10)² + y² – 2(7y – 10) + 4y – 20 = 0.

Оно равносильно уравнению

y² – 3y + 2 = 0.

Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y₁ = 1, y₂ = 2, откуда x₁ = –3, x₂ = 4.

Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M(1, –2), M₁(4, 2) и M₂(–3, 1). Пусть О₁(x₀, y₀) – центр окружности. Тогда гдеR – радиус окружности.

Найдем координаты векторов:

Значит,

что равносильно системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю систему, получаем ответ:

Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус

Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид:

Задания