9. Аналитическая геометрия на плоскости

9.1. Прямая на плоскости

Рассмотрим различные случаи задания прямой L на плоскости.

1. Если задан ненулевой направляющий вектор и радиус-вектор некоторой фиксированной точкито в этом случае радиус-векторпроизвольной точкизадается формулой

(9.1)

где

Уравнение (9.1) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.

2. Если – координаты точкикоторая лежит на прямойL, (l, m) – координаты направляющего вектора то прямая задаетсяпараметрическими уравнениями:

3. Если – направляющий вектор, такой, чтои– точка, через которую проходит прямая, то имеемканоническое уравнение:

(9.2)

4. Если прямая L не параллельна оси Ox, то для всех направляющих векторов отношение По заданному угловому коэффициентуk прямой L и точке уравнение прямойL может быть задано в следующем виде:

– это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М₀.

В случае, если – точка пересечения прямойL с осью Oy, это уравнение может быть записано в следующем виде:

5. Координаты направляющего вектора прямойL могут быть найдены, если известны две точки иэтой прямой: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(9.3)

6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M₀(a, 0) и M₁(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:

7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан ненулевой нормальный вектор этой прямой и точкаУсловие перпендикулярности векторовпозволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его координатной форме:

или

(9.4)

где

Уравнение (9.4) называется общим уравнением прямой L.

8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор направленный из начала координат в сторону прямой, т. е.

то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:

где – расстояние от начала координат до прямой.

Величина δ(M₀, L) = x₀cos α + y₀cos β – p, где называется отклонением точки М₀ от прямой L. При этом δ < 0, если точки M₀ и O(0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d(M₀, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.

От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель:

где

Расстояние от точки M₀(x₀, y₀) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле

(9.5)

Угол между прямыми легко найти с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле

где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны частные случаи:

Здесь L₁ и L₂ – прямые на плоскости, для которых – угловые коэффициенты соответственно прямыхи

В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

ρcos(φ – φ₀) = p,

где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ₀ – угол между полярной осью и перпендикуляром.

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1, 2), B(–1, –3), C(2, –1). Найти:

1) уравнение прямой BC;

2) уравнение высоты AH и ее длину;

3) уравнение медианы BM;

4) угол между прямыми BM и AH;

5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.

Решение. 1) Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой (9.3), проходящей через две заданные точки. Так как B(–1, –3), C(2, –1), имеем:

Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:

2(x + 1) = 3(y + 3) или 2x – 3y – 7 = 0.

Таким образом, окончательно получаем:

ВС: 2x – 3y – 7 = 0.

2) Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является , т. е.Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямойАН. Следовательно, каноническое уравнение прямой AH согласно формуле (9.2) имеет вид:

(9.6)

где А(1, 2)АН.

В общем виде получим АН: 3х + 2у – 7 = 0.

Чтобы найти длину высотыАВС, опущенной из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (9.5):

3) Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:

Получим M(3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B(–1, –3) и используя формулу (9.3):

Приведя его к общему уравнению, получим:

ВМ: 7x – 5y – 8 = 0.

4) Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами:

Получаем

5) Пусть точка M(x, y) лежит на биссектрисе угла BАС. Тогда по свойству биссектрисы d(M, AB) = d(M, AC). Запишем уравнения прямых АВ и АС. Имеем:

Следовательно,

Аналогично

т. е.

Используем формулу расстояния (9.5):

Следовательно,

По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем:

Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):

Пример 2. Даны две точки A(–3, 8) и B(2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.

Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьший путь между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB (рис. 9.1) с осью Ox, где B – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой AB с осью Ox, где A – точка, симметричная точке А относительно оси Ox).

Рис. 9.1

Точки B(2, –2) и A(–3, 8) определяют прямую AB:

т. е. или

Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений:

Решаем ее:

Итак, точка М(1, 0) является искомой.

Задания