2.3. Вынужденные колебания

В

Запишем второе правило Кирхгофа для такой цепи:

U_C + U_R = _S + U_m cos  t.

Учтем, что

U_C = q/C; U_R = IR; _S = -L( dI / dt ).

ынужденными будут электромагнитные колебания вRLC-контуре, если в контур включить периодически изменяющуюся во времени ЭДС или, разорвав контур, подать на концы цепи переменное напряжениеU= U _mcost(рис. 2.6).

Преобразуем предыдущее уравнение к виду

L(dI/dt) + IR + q/C = U_m cos  t. (2.17)

Заменим I наdq / dt; поделив все члены уравнения наL, получим

, (2.18)

где  = R /(2L); ₀² = 1 / (LC).

Уравнение (2.18) является дифференциальным уравнением вынужденных электромагнитных колебаний. Это линейное неодноpодноедифференциальное уравнение второго порядка. Установившиеся вынужденные колебания описываются выражением

q = q_m cos( t - α),(2.19) гдеq_m - амплитуда колебаний заряда,

(2.20)

α - сдвиг фаз между колебаниями заряда и внешнего напряжения,

(2.21)

 - циклическая частота вынужденных колебаний (внешнего напряжения).

Собственные колебания в контуре затухают тем быстрее, чем больше сопротивление R. Поэтому вынужденные колебания устанавливаются не сразу, а через некоторый промежуток времени (рис. 2.7).

Из формулы (2.20) видно, что амплитуда колебаний заряда зависит от частоты внешней ЭДС. При частоте внешнего напряжения

(2.22)

наблюдается электрический резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний заряда.

Дифференцированием уравнения (2.19) получим закон изменения тока:

I = -q_m  sin( t -  ) = q_m  cos( t -  + /2) = I_m cos( t -  ), (2.23)

где q_m=I_m - амплитуда тока;=-/2 - сдвиг фаз между колебаниями тока и внешнего напряжения.

2.4. Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитые колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в цепи, содержащей резистор, конденсатор и катушку индуктивности (рис. 2.6). Тогда внешнее напряжение U=U_mcosωtравно сумме падений напряжений на отдельных элементах схемы:

U = U_R+U_C + U_L. (2.24)

Напряжение на резисторе, с учетом (2.23),

U_R = IR = I_mR cos( t -  ). (2.25)

Напряжение на конденсаторе

U_C=q/C=q_m/C cos( t - α)

или, с учетом того, что q_m=I_m/ω,

U_C = I_m/(ωC) cos( t + φ - π/2). (2.26)

Напряжение на катушке индуктивости

U_L = - ε_s = LdI / dt = -I_m ωL sin(ωt - φ) = I_m ωLcos(ωt – φ + π/2). (2.27)

В уравнениях (2.25) - (2.27) R- этоактивное сопротивлениемцепи;X_C = 1/(C) –реактивное емкостноесопротивление (или емкостное сопротивление);X_L = L – реактивное индуктивное сопротивление (или индуктивное сопротивление).

Из уравнений (2.25) - (2.27) видно, что колебания напряжения на резисторе и силы тока в цепи происходят в фазе, колебания напряжения на конденсатореотстаютна2, а колебания напряжения на катушкеопережают на2 колебания силы тока в цепи. Это удобно представить на векторной диаграмме (рис. 2.8). Вдоль координатыxнаправляем опорную oсь - ось токов. На ней строим вектор длинойU_Rm =I_mR ,противчасовой стрелки отмечаем угол/ 2 (опережениеU_L) и строим вектор длинойU_Lm = I_m ωL,почасовой стрелке отмечаем угол/ 2 (отставаниеU_C) и строим вектор длинойU_Cm =I_m /(ωC). ВекторU_m получаем как результат векторного сложения. ВекторыU_Rm,U_Cm,U_Lm представляют собой амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности соответственно.

По диаграмме можно определить величины I_m,и. Воспользуемся соотношениями (2.25) - (2.27) и векторной диаграммой (рис. 2.8). Видно, что

. Отсюда следует закон Ома для переменного тока

(2.28) где-полноесопротивлениецепи, илиэлектрическийимпеданс;X = (L - 1 / C) -pеактивное сопротивление.

На рис. 2.8 видно, что угол α - это сдвиг фаз между колебаниями напряжения на конденсаторе (заряда) и внешнего напряжения, угол φ - между колебаниями тока и напряжения,

tg = (L - 1 /C) /R. (2.29)

Резонансомназывается явление резкого возрастания амплитудыU, q, Iпри  ₀ (рис. 2.9) .

Резонанс напряженийвозникает в цепи последовательно соединенныхR, L, Cпри условииX_L = X_C, т.е. L = 1/(C).Отсюда

(2.30)

При этих условиях полное сопротивление цепи Z имеет наименьшее, возможное при данныхR, LиC, значение, равноеR (Z_min = R). Ток достигает наибольшего при данном напряжении значения,I_max = U₀ / R (рис. 2.9,а).

Максимальное значение заряда, и следовательно, напряжения на конденсаторе, достигается при условии (2.22). Подставив в него выражения ω₀ ² =1/(LC) и β =R/(2L), получим

(2.31)

Видно, что с увеличением сопротивления R резонансная частота уменьшается, и максимум резонансной кривой смещается в сторону меньших частот (рис. 2.9,б).

Ширина резонансной кривой  связана с добротностью контураQсоотношением (для малых затуханий)

 =  /Q, (2.32)

т.е. чем выше добротность контура, тем уже резонансная кривая.

Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока за время, равное периоду,

(2.33)

Такую же мощность развивает постоянный ток величиной I_эф=I_m/√2. Это значение тока называетсяэффективным, илидействующим, значением тока. По аналогии,U_эф=U_m/√2 –эффективное (действующее) значение напряжения.

На векторной диаграмме (рис. 2.8) видно, что U_mcosφ =U_R=I_mR.

Тогда (2.34)

П р и м е р 15. Колебательный контур содержит конденсатор емкостьюС= 5 мкФ, катушку индуктивности и резистор с активным сопротивлениемR = 0,1 Ом. Частота внешнего напряжения равна 50 Гц. Найти среднюю мощность, потребляемую контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудой напряжения на конденсатореU_Cm= 100 В.

Р е ш е н и е. Среднюю мощность определим по формуле (2.34). Сила тока, исходя из данных задачи, I_m =U_Cm/X_C=U_Cm/(1/ωC) =U_CmωC= = 2πνU_CmC. Подставим это выражение в формулу (2.34):

Сделаем вычисления и вывод единиц измерения:

59