2.2. Затухающие колебания

В RLC-контуpе (рис. 2.3) энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно расходуется на выделение теплоты Джоуля-Ленца, в pезультате чего колебания затухают.

Запишем для контура второе правило Кирхгофа:

U_C + U_R = ε_S

или

, (2.9)

где U_R = IR- падение напряжения на сопротивлении.

Разделив левую и правую часть уравнения (2.9) наLи заменивIчерезdq/dt, преобразуем его к виду

или

(2.10)

где  = R/(2L) - коэффициент затухания;₀² = 1/(LC).Выражение (2.10) представляет собойдифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний; его решение имеет вид

q = q₀ e^{- t} сos(t + α), (2.11)

где q₀ - начальная амплитуда колебаний заряда;q₀ e^{-  t}- амплитуда затухающих колебаний (рис. 2.4);- циклическая частота затухающих электромагнитных колебаний,

, или. (2.12)

П

ериод затухающих колебаний

q(t)

(2.13)

При малых R (<<₀) формула (2.13) переходит к видуС возрастаниемRувеличиваетсяT.

Колебания напряжения на обкладках конденсатора U_C происходят в фазе с колебаниями заряда, их уравнение имеет вид, сходный с выражением (2.11):

Колебания энергии электрического поля в конденсаторе происходят по закону

. (2.14)

Можно показать, что в RLC-контуре ток опережает по фазе заряд на конденсаторе более чем на/ 2(а вLC-контуре на/ 2).

Колебания энергии магнитного поля в контуре определяются соотношением W_М = L I ²/ 2, гдеIнаходится дифференцированием функции (2.11).

Затухание электpомагнитных колебаний, как и в случае механических колебаний, принято характеризовать логарифмическим декрементомзатухания- натуральным логарифмом отношения амплитуд колебаний, следующих друг за другом через периодT(рис. 2.4):

гдеA- амплитуда соответствующей величины (q, U_С, Iи т. д.), аT находят чеpезR, L, Cпо фоpмуле (2.13).

ДобротностьконтураQопределяет относительные потери энергии в колебательном контуре за один период (при малом затухании):

Q = 2 W / W, (2.15)

где W- энергия контура;W- энергия, теряемая за период колебаний. Добротность связана с соотношением

Q =  /  =  N_e, откуда следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз.

Апериодическийразряд конденсатора (рис. 2.5) происходит при условии ² ₀², т. е.R² / (4L²)  1 / (LC). Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называетсякритическим. Условие R_кр² / (4L²) = 1 / (LC) дает значение критического сопротивления

(2.16)

П р и м е р 14.Катушка с индуктивностьюL и омическим сопротивлениемR, два одинаковых конденсатора емкостьюС₀, соединенных между собой последовательно, образуют колебательный контур. Определить периодТ затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания δ.

Р е ш е н и е. Период электромагнитных колебаний определим по формуле (2.13).

Емкость конденсатора при последовательном соединении равна: откуда. Следовательно,

Логарифмический декремент затухания

где

Тогда

Проверим единицы измерения для периода колебаний и логарифмического декремента затухания:

.

Таким образом, δ - безразмерная величина.