Скачиваний:
17
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
382.98 Кб
Скачать

2.3. Вынужденные колебания

В

Запишем второе правило Кирхгофа для такой цепи:

UC + UR = S + Um cos  t.

Учтем, что

UC = q/C; UR = IR; S = -L( dI / dt ).

ынужденными будут электромагнитные колебания вRLC-контуре, если в контур включить периодически изменяющуюся во времени ЭДС или, разорвав контур, подать на концы цепи переменное напряжениеU= U mcost(рис. 2.6).

Преобразуем предыдущее уравнение к виду

L(dI/dt) + IR + q/C = Um cos t. (2.17)

Заменим I наdq / dt; поделив все члены уравнения наL, получим

, (2.18)

где  = R /(2L); 02 = 1 / (LC).

Уравнение (2.18) является дифференциальным уравнением вынужденных электромагнитных колебаний. Это линейное неодноpодноедифференциальное уравнение второго порядка. Установившиеся вынужденные колебания описываются выражением

q = qm cos( t - α),(2.19) гдеqm - амплитуда колебаний заряда,

(2.20)

α - сдвиг фаз между колебаниями заряда и внешнего напряжения,

(2.21)

 - циклическая частота вынужденных колебаний (внешнего напряжения).

Собственные колебания в контуре затухают тем быстрее, чем больше сопротивление R. Поэтому вынужденные колебания устанавливаются не сразу, а через некоторый промежуток времени (рис. 2.7).

Из формулы (2.20) видно, что амплитуда колебаний заряда зависит от частоты внешней ЭДС. При частоте внешнего напряжения

(2.22)

наблюдается электрический резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний заряда.

Дифференцированием уравнения (2.19) получим закон изменения тока:

I = -qm sin( t -  ) = qm cos( t -  + /2) = Im cos( t -  ), (2.23)

где qm=Im - амплитуда тока;=-/2 - сдвиг фаз между колебаниями тока и внешнего напряжения.

2.4. Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитые колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в цепи, содержащей резистор, конденсатор и катушку индуктивности (рис. 2.6). Тогда внешнее напряжение U=Umcosωtравно сумме падений напряжений на отдельных элементах схемы:

U = UR+UC + UL. (2.24)

Напряжение на резисторе, с учетом (2.23),

UR = IR = ImR cos( t -  ). (2.25)

Напряжение на конденсаторе

UC=q/C=qm/C cos( t - α)

или, с учетом того, что qm=Im/ω,

UC = Im/(ωC) cos( t + φ - π/2). (2.26)

Напряжение на катушке индуктивости

UL = - εs = LdI / dt = -Im ωL sin(ωt - φ) = Im ωLcos(ωt – φ + π/2). (2.27)

В уравнениях (2.25) - (2.27) R- этоактивное сопротивлениемцепи;XC = 1/(C) –реактивное емкостноесопротивление (или емкостное сопротивление);XL = L – реактивное индуктивное сопротивление (или индуктивное сопротивление).

Из уравнений (2.25) - (2.27) видно, что колебания напряжения на резисторе и силы тока в цепи происходят в фазе, колебания напряжения на конденсатореотстаютна2, а колебания напряжения на катушкеопережают на2 колебания силы тока в цепи. Это удобно представить на векторной диаграмме (рис. 2.8). Вдоль координатыxнаправляем опорную oсь - ось токов. На ней строим вектор длинойURm =ImR ,противчасовой стрелки отмечаем угол/ 2 (опережениеUL) и строим вектор длинойULm = Im ωL,почасовой стрелке отмечаем угол/ 2 (отставаниеUC) и строим вектор длинойUCm =Im /(ωC). ВекторUm получаем как результат векторного сложения. ВекторыURm,UCm,ULm представляют собой амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности соответственно.

По диаграмме можно определить величины Im,и. Воспользуемся соотношениями (2.25) - (2.27) и векторной диаграммой (рис. 2.8). Видно, что

. Отсюда следует закон Ома для переменного тока

(2.28) где-полноесопротивлениецепи, илиэлектрическийимпеданс;X = (L - 1 / C) -pеактивное сопротивление.

На рис. 2.8 видно, что угол α - это сдвиг фаз между колебаниями напряжения на конденсаторе (заряда) и внешнего напряжения, угол φ - между колебаниями тока и напряжения,

tg = (L - 1 /C) /R. (2.29)

Резонансомназывается явление резкого возрастания амплитудыU, q, Iпри 0 (рис. 2.9) .

Резонанс напряженийвозникает в цепи последовательно соединенныхR, L, Cпри условииXL = XC, т.е. L = 1/(C).Отсюда

(2.30)

При этих условиях полное сопротивление цепи Z имеет наименьшее, возможное при данныхR, LиC, значение, равноеR (Zmin = R). Ток достигает наибольшего при данном напряжении значения,Imax = U0 / R (рис. 2.9,а).

Максимальное значение заряда, и следовательно, напряжения на конденсаторе, достигается при условии (2.22). Подставив в него выражения ω0 2 =1/(LC) и β =R/(2L), получим

(2.31)

Видно, что с увеличением сопротивления R резонансная частота уменьшается, и максимум резонансной кривой смещается в сторону меньших частот (рис. 2.9,б).

Ширина резонансной кривой  связана с добротностью контураQсоотношением (для малых затуханий)

 = /Q, (2.32)

т.е. чем выше добротность контура, тем уже резонансная кривая.

Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока за время, равное периоду,

(2.33)

Такую же мощность развивает постоянный ток величиной Iэф=Im/√2. Это значение тока называетсяэффективным, илидействующим, значением тока. По аналогии,Uэф=Um/√2 –эффективное (действующее) значение напряжения.

На векторной диаграмме (рис. 2.8) видно, что Umcosφ =UR=ImR.

Тогда (2.34)

П р и м е р 15. Колебательный контур содержит конденсатор емкостьюС= 5 мкФ, катушку индуктивности и резистор с активным сопротивлениемR = 0,1 Ом. Частота внешнего напряжения равна 50 Гц. Найти среднюю мощность, потребляемую контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудой напряжения на конденсатореUCm= 100 В.

Р е ш е н и е. Среднюю мощность определим по формуле (2.34). Сила тока, исходя из данных задачи, Im =UCm/XC=UCm/(1/ωC) =UCmωC= = 2πνUCmC. Подставим это выражение в формулу (2.34):

Сделаем вычисления и вывод единиц измерения:

59

Соседние файлы в папке Колебания и волны с заданиями