4. Электромагнитная индукция. Самоиндукция. Индуктивность.

Согласно закону электромагнитной индукции, при изменении магнитного потока Ф, пронизывающего контур, в последнем возникает ЭДС индукции ε _i, пропорциональная скорости изменения магнитного потока во времени :

ε_i = (3.4.1)

Знак “минуc” в выражении (3.4.1) соответствует правилу Лоренца: индукционный ток всегда направлен таким образом, чтобы противодействовать причине, его вызвавшей.

Если контур содержит N витков и каждый виток сцеплен с переменным магнитным потоком Ф, то

ε _{i = ,}

здесь N · Ф = Ψ – полный магнитный поток или потокосцепление.

Изменение магнитного потока может быть обусловлено равными причинами, связанными с изменением : магнитной индукции во времени; формы контура (площади, охватываемой им); угла между нормалью к плоскости и вектором В (например, при вращении рамки в магнитном поле); площади, описываемой проводником, пересекающим силовые линии поля и т.д. Поэтому при решении задач на эту тему надо, прежде всего, установить причину изменения магнитного потока.

Пример. Найти заряд, протекающий по замкнутому витку с сопротивлением R, при удалении его из магнитного поля. Магнитный поток сквозь виток равен Ф.

Решение. Причина изменения магнитного потока – исчезновение поля, магнитный поток сначала был равен Ф, затем снизился до нуля. Так как проводник замкнутый, по нему течет индукционный ток I. Тогда заряд, прошедший по витку, q = I dt^΄. По закону Ома I = ε _i / R, а ЭДС индукции ε _i = - dФ / dt. Тогда :

q =

Ответ : q = Ф / R.

Пример. Прямолинейный проводник длиной l движется в однородном магнитном поле так, что его скорость v составляет угол β с направлением силовых линий. Найти ЭДС индукции, возникающей на концах проводника. Магнитная индукция поля В считается известной.

Решение. Причина изменения магнитного потока – изменение площади, пересекаемой проводником при его движении. Поэтому скорость изменения магнитного потока во времени

dФ/dt = B(dS/dt) cosα.

dS/dt – площадь, пересекаемая проводником в единицу времени, равная ldx/dt = lν, а угол α дополняет угол β до 90 ⁰ (рис. 13). Тогда

ε_i = - B l ν sin β.

Ответ : ε _i = - B l ν sin β.

Пример. Рамка площадью 100 см² вращается в магнитном поле с индукцией 0,2 Тл так, что ось вращения расположена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Рамка делает 5 оборотов в секунду. Найти значение ЭДС индукции в момент времени t = 2с и максимальную ЭДС индукции в рамке. В начальный момент времени плоскость рамки располагалась перпендикулярно силовым линиям поля.

Решение. Причина изменения магнитного потока здесь – изменение угла между нормалью к рамке и магнитной индукцией, причем угловая скорость вращения ω = 2πn (n – число оборотов в единицу времени.). Согласно основному закону электромагнитной индукции :

Подставив числовые данные, получим в момент t = 2 c

ε _i = - 0,2 · 10 ^{– 2} · 2 · 3,14 · 5 · sin (2π · 5 · 2) = 0

Максимальное значение ЭДС находим из условия, что sin (2πn) =1:

ε _maх = 0, 2 · 10 ^{– 2} · 2 · 3,14 · 5 = 0, 0628 В.

Ответ : В момент времени 2 с ЭДС индукции равна нулю.

Максимальная ЭДС индукции 0, 0628 В.

Если по контуру протекает изменяющийся во времени ток, то в контуре возникает ЭДС самоиндукции :

ε _S = (3.4.2)

где L – индуктивность контура, определяемая отношением потокосцепления к силе тока в контуре :

(3.4.2 ΄ )

В СИ индуктивность измеряется в Генри (Гн).

Выведем формулу для индуктивности соленоида. При протекании тока по соленоиду длиной l в нем возбуждается магнитное поле, индукция которого на оси соленоида определяется формулой (3.2.4). Потокосцепление

,

где Ψ = BS – поток, пронизывающий каждый из витков; S – площадь поперечного сечения соленоида; N = nl – общее число витков. Следовательно, индуктивность соленоида равна

,

где IS = V – объем соленоида. По этой формуле вычисляется индуктивность соленоида без сердечника или немагнитным сердечником ( в том и другом случае μ = 1 ).

Если соленоид содержит ферромагнитный сердечник, то надо сначала определить значение магнитной проницаемости материала сердечника. Для этого надо знать ход кривой B = f(H) (рис.14).

Определив из условий задачи либо напряженность поля, либо магнитную индукцию, нужно по графику для данного материала определить недостающую из этих двух величин и затем найти

μ = B/(μ₀H).

Пример. Найти индуктивность соленоида с железным сердечником, если обмотка соленоида выполнена в один слой из проволоки диаметром 0,4 мм, витки плотно прилегают друг к другу. По соленоиду идет ток 1 А. Объем соленоида 1500 с³ .

Решение. Индуктивность соленоида можно определить по формуле (1.4.3). Так как соленоид имеет магнитный сердечник, то сначала определим магнитную проницаемость последнего, как отношение B/(μ₀H). Для этого находим напряженность поля на оси соленоида по формуле H = In , где n (число витков на единицу длины) подсчитывается следующим образом: витки плотно прилегают друг к другу и общее число витков равно N = l/d ( d – диаметр проволоки), n = N/l = 1/d .

Тогда напряженность

H = I/d = 1/(0,4·10^-3 ) = 2500 А/м.

Из графика (рис. 14) следует, что этому значению для железа соответствует магнитная индукция 1,4 Тл. Этих данных достаточно для определения дтносительной магнитной проницаемости сердечника и далее индуктивности. Подставив их в формулу (1.4.3) , получим

Ответ: L = 5,25 Гн.