Роль математического моделирования
.pdf
Расчётные сетки (в горизонтальной проекции) как четырёхугольные, так и треугольные показаны на рис. 3 (соответственно a, b, c).
Рис. 3. Расчётные сетки в горизонтальной проекции (четырёхугольные и треугольные), использовавшиеся при моделировании последствий черепно- мозговых травм.
Использовалась модель, включающая желудочки, мембраны, серое вещество и 5-слойную черепную коробку. В этой задаче рассматривались различные типы условий на контактной поверхности череп–серое вещество: свободное скольжение и слипание. Первое условие более соответствует реальному биомеханическому процессу.
Области максимальных сжимающих и растягивающих напряжений представлены на рис. 4. Области поражения мозга образуются в основном в областях максимальных растягивающих и сдвиговых нагрузок, образующихся при черепно-мозговых травмах.
Рис. 4. Области максимальных сжимающих и растягивающих напряжений
11
Рис. 5. Сравнение расчётной и полученной при томографических исследованиях областей поражения головного мозга.
IV. IV. Модель Хилла [4, 9]
Одна из наиболее ранних феноменологических моделей мышечного сокращения принадлежит Хиллу. Эта модель была разработана еще до того, как стали известны детали анатомии мышечного сокращения. Хилл заметил,
что когда скелетная мышца сокращается под постоянной нагрузкой (изотонический режим сокращения), связь между постоянной скоростью
укорочения v и нагрузкой |
p |
хорошо |
описывается уравнением: |
(p + a)× v = b × (p - p0 ), где a и |
b |
константы, |
которые можно найти на |
основании экспериментальных данных. |
|
||
Чтобы имитировать переходный процесс изменения силы мышцы, возникающий при изменении ее длины, Хилл построил модель мышечного волокна, состоящую из контрактильного элемента, соединенного с последовательным упругим элементом. Хилл сделал наиболее простое предположение, что упругий элемент линеен. Если силу p = P(x) упругого элемента представить в виде P = α × (x - x0 ), где x0 – заданная длина покоя, x
– длина упругого элемента, то уравнение относительно p будет иметь вид
12
dp |
édL |
|
b × (p0 - p)ù |
|
|
||
|
= α × ê |
|
+ |
|
ú |
, где за |
L = l + x обозначена длина мышечного |
dt |
|
p + a |
|||||
ë dt |
|
û |
|
|
|||
волокна, l – длина контрактильного элемента.
Параметры модели можно найти, например, следующим образом. В состоянии тетануса (состояние максимального напряжения мышцы при частоте стимуляции, настолько высокой, что расслабления мышцы между сокращениями не происходит) к мышце прикладывают постоянную нагрузку до тех пор, пока длина мышцы не перестанет изменяться. Затем резко уменьшают нагрузку на мышцу. После переходного процесса мышца начинает укорачиваться с постоянной скоростью. Повторяя эксперимент с различными амплитудами изменения силы, можно получить серию точек кривой сила-скорость, по которым можно экстраполировать параметры в уравнении Хилла.
V.Математическая модель эпидемии [2]
Применение дифференциальных уравнений в медицине мы продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:
13
1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих
пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);
2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0).
ìx′ = axy - bx,
В результате мы получаем систему уравнения ïíy¢ = -axy,
ïîz¢ = bx.
В силу этой задачи, как легко видеть, траектории системы x′ и y′имеют вид, изображенный на рис. 3.
.
Рис. 3
14
ВЫВОД
Полезным являются не только математические расчеты, но и
накопленный в современной математике большой опыт структуризации знаний. Главным в математическом моделировании - целостность, выражающиеся в том, что их элементы могут объединяться в самостоятельно функционирующие подсистемы в зависимости от целей, которые стоят перед ними как целым. Необходимо активно воспринимать поступающую информацию, организовать ее в каждой конкретной ситуации в структуры, состоящие из небольшого числа единиц, которые определяются целостными свойствами рассматриваемого объекта и целями исследователя.
Математический подход не только облегчает точное количественное описание определенной задачи путем построения той или иной подходящей модели, но и дает (или может дать) средство к решению этой задачи. Если же
задача сформулирована неудовлетворительно или принятая модель недостаточно реалистична, то при любом количестве абсолютно точных математических выкладок будет получен ошибочный результат.
Основной проблемой прикладной математики является выбор первоначальной математической модели, и ни в одной области знания это не чувствуется так остро, как в биологии и медицине. Еще одно следствие широты математической теории состоит в том, что не только существует большое число способов решения данной задачи, но и сама задача может быть сформулирована различными способами, с использованием различных понятий, что в высшей степени полезно.
15
ЛИТЕРАТУРА
1.Алатов Д. В. Получение зависимости между изменениями формы
искривлённого позвоночника и действием изгибающего момента в его сечениях / Д. В. Алатов // Сб. науч. статей аспирантов КГУ. – Курган, 2003.
2.Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Дифференциальные уравнения в биологии, химии, медицине // Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - [Электронный ресурс]. URL: http://www.ict.nsc.ru/ru/textbooks/akhmerov/ode/index.html.
3.Бейли Н. Математика в биологии и медицине / пер. с англ. Е.Г. Коваленко. – М.: ИЗДАТЕЛЬСТВО "МИР", 1970 г.
4.Гурьев В.Ю. Математическое моделирование биомеханических процессов в неоднородном миокарде: дис…канд. физ. – мат. наук. – Екатеринбург, 2004-147с.
5.Кобринский Б.А. Системы искусственного интеллекта в медицине: Состояние, проблемы и перспективы // Новости искусственного интеллекта
1995; 2:65-79.
6.Петров И.Б. Математическое моделирование в медицине и биологии на основе моделей механики сплошных сред //ТРУДЫ МФТИ, 2009, Том 1, № 1.
7.Словарь по социальной педагогике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / авт.-сост. Л. В. Мардахаев. — М.: Издательский центр
«Академия», 2002. — 368 с.
8.Энциклопедия здоровье: [Электронный ресурс]. URL: www.curemed.ru.
9.Hill A.V. The heat of shortening and the dynamic constant of muscle // Proc.R. Soc. Lond. - 1938. - Vol. B126. - P. 136-195.
10.White D.C.S., Thorson J. The kinetics of muscle contraction. // Progress in Biophysics and Molecular Biology. - 1973. - Vol. 27.
16