Розв’язок типового варіанта
1. Знайти найменше і найбільше значення функції на відрізку .
Знаходимо критичні точки:
Якщо
,
то
якщо
то
якщо
то
якщо
то
З усіх
знайдених критичних точок тільки
і
належать відрізку
,
причому точка
співпадає з одним із кінців відрізка.
Обчислимо значення даної функції при
,
,
:
Отже,
при
при
та
.
2. Розв’язати задачу:
Знайти
такий циліндр, у якого був би найбільший
об’єм
при даній повній
поверхні
.
Нехай
радіус основи циліндра дорівнює
,
а висота дорівнює
.
Тоді
тобто,
Об’єм циліндра буде:
Задача
зводиться до дослідження функції
на максимум при
.
Знайдемо
похідну:
і прирівняємо її до нуля, звідки
.
Знайдемо
другу похідну:
.
Оскільки при
виконується
умова
,
то об’єм
має найбільше значення, причому
тобто, осьовий переріз циліндра повинен бути квадратом.
Відповідь:
радіус основи циліндра
,
висота циліндра
.